双线性变换法设计数字低通滤波器

燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 1 燕山大学 课课 程程 设设 计计 说说 明明 书书 题目 题目 双线性变换法设计数字低通滤波器双线性变换法设计数字低通滤波器 学院 系 学院 系 电气工程学院电气工程学院 年级专业 年级专业 检测检测 学学 号 号 学生姓名 学生姓名 沫沫沫沫 指导教师 指导教师 王娜王娜 教师职称 教师职称 讲师讲师 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 2 电气工程学院电气工程学院 课程设计课程设计 任务书任务书 课程名称 数字信号处理课程设计 基层教学单位 仪器科学与工程系 指导教师 王娜 学号 8 学生姓名沫沫 专业 班 级 检测 设计题目12 双线性变换法设计数字低通滤波器 设 计 技 术 参 数 给定技术指标为 采样频率Hzfp100 Hzfs300 dB p 3 dB s 20 HzFs1000 设 计 要 求 设计 Butterworth 低通滤波器 用双线性变换法转换成数字滤波器 buttord buttap butter bilinear 参 考 资 料 数字信号处理方面资料 MATLAB 方面资料 周次前半周后半周 应 完 成 内 容 收集消化资料 学习 MATLAB 软件 进 行相关参数计算 编写仿真程序 调试 指导教 师签字 基层教学单 位主任签字 说明 1 此表一式四份 系 指导教师 学生各一份 报送院教务科一份 2 学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面 电气工程学院 教务科 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 3 目录目录 第一章 绪论 4 第二章 用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理 5 2 1 双线性变换法 5 2 1 1 双线性变换法的基本原理 5 2 1 2 转换关系分析 6 2 2 巴特沃斯低通滤波器原理 9 第三章 用双线性变换法设计低通滤波器步骤 11 第四章 MATLAB 程序 11 第五章 程序中命令介绍 13 第六章 运行结果及波形 14 第七章 结果分析 16 第八章 心得体会 17 参考文献参考文献 18 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 4 第一章第一章 绪论绪论 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统 数字滤波实质上是一种 运算过程 实现对信号的运算处理 输入数字信号 数字序列 通过特定的运算转 变为输出的数字序列 因此 数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过 程 也可以理解为是一台计算机 描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程 只是给数字信号滤波器提供运算规则 使其按照这个规则完成对输入数据的处理 时域离散系统的频域特性 其中 分别是 jjj eHeXeY j eY j eX 数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性 或称为频谱特性 是数 j eH 字滤波器的单位取样响应的频谱 又称为数字滤波器的频域响应 输入序列的频谱 经过滤波后 因此 只要按照输入信号频谱的特点和处理信 j eX jj eHeX 号的目的 适当选择 使得滤波后的满足设计的要求 这 j eH jj eHeX 就是数字滤波器的滤波原理 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性 可分为两种 即无限长冲激响应 IIR 数字滤波器和有限长冲激响应 FIR 数字滤波器 IIR数字滤波器的特征是 具有无限持续时间冲激响应 需要用递归模型来实现 其差分方程为 N i i N i i inybinxany 10 系统函数为 计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H z 使其频率 响应H z 满足所希望得到的频域指标 即符合给定的通带截止频率 阻带截止频率 通带衰减系数和阻带衰减系数 N k k k M r r r Za Zb zH 1 0 1 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 5 第二章第二章 用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理 2 12 1 双线性变换法双线性变换法 由于从平面到平面的映射具有多值性 使得设计出来的数字滤波器不可 sz sT ze 避免的出现频谱混叠现象 为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点 我们使用一种新的变换 双线性变换 2 1 12 1 1 双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分 利用对积分的数值逼近的思想 仿真滤波器的传递函数为 H s 2 0 1 M k k k N k k k c s H sMN d s 1 将展开为部份分式的形式 并假设无重复几点 则 2 2 1 N k k pk A H s ss 那么 对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲 其仿真输入和模拟输出 x t 有如下关系 y t p y ts y tAx t 利用差分方程来代替导数 即 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 6 2 3 1 y ny n y t T 同时令 1 1 2 y ty ny n 1 1 2 x tx nx n 这样 便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式 2 4 1 1 1 1 22 p s A y ny ny ny nx nx n T 两边分别取变换 可得z 2 5 1 1 21 1 p Y zA H z zX z s Tz 这样 通过上述过程 就可得到双线性变换中的基本关系 如下所示 2 6 1 1 21 1 z s Tz 2 7 2 2 s T z s T 所谓的双线性变换 仅是指变换公式中与的关系无论是分子部份还是分母部份 sz 都是线性的 2 2 1 1 2 2 转转换换关关系系分分析析 双线性变换法采用非线性频率压缩方法 也就是将整个频域轴上的频率范围压缩到 T T之间 再用z 转换到z平面上 也就是说 第一步现将整个S平面压缩映 esT 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 7 射到S1平面的 T T一条横带里 第二步再通过标准变换关系将此横带变换到 1 eS T 整 个z平面上去 这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系 消除了多值变换性 也就消除了频谱混叠现象 映射关系如图所示 j 1 j jI z S 平面 T s1 平面 z 平面 0 0 0 1 Re z T 图 2 1 双线性变换法的映射情况 为了将 S 平面的整个虚轴压缩到轴上的 T 到 T 段上 可以通过以j 1 S 平面 上的正切的变换实现 2 T tan T 2 2 1 8 式中 T 仍是采样间隔 当由 T 经过 0 变化到 T 时 由 经过 0 变化到 也即映射了整个 1 轴 将上式写成j 11 11 22 22 2 TT jj TT jj ee j T ee 2 9 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 令 s S1 则得 1 S 平面j 1 j 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 8 S 2 10 1 1 1 221 tan 21 e s T s T S Te TT 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z 2 11 S1T e 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为 2 12 2 13 1 1 2 1 1 Z S TZ 1 22 1 22 TT SS Z TT SS 式 2 12 和式 2 13 是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系 这种变换都是两个线 性函数之比 因此成为双线性变换 依靠双线性变换式建立起来 s 平面和 z 平面的单值映射关系 由上式我们可以得到 模拟频率和数字频率之间的关系 2 tan 2T 2 14 从上式可知 当时 终止在折叠频率 处 整个轴是单值地对 j 应于单位圆的一周 因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法 它不存在频率混叠问题 由于 S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内 S 平面的右半平面映射到 Z 平面 的单位圆外 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 因此 稳定的模拟滤波器经双线 性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的 但是 它的频率变换关系是非线性畸变 这种非线性即便可以通过预畸变来校正 用双线性变换设计数字滤波器时 一般总是先 将数字滤波器的各临界频率经式 2 14 的频率预畸变 求得相应参考模拟滤波器的各 临界频率 然后设计参考模拟滤波器的传递函数 最后通过双线性变换公式求出数字滤 波器的传递函数 这样通过双线性变换 正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上 o o o j a H ej H o o o earg j H j arg a H 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 9 图 2 2 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 2 22 2 巴特沃斯低通滤波器的原理巴特沃斯低通滤波器的原理 巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦 没有起伏 而在组频 带则逐渐下降为零 在振幅的对数对角频率的波特图上 从某一边界频率开始 振幅随 着角频率的增加而逐渐减少 趋向于负无穷大 一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频 6 分贝 二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每 倍频 12 分贝 三阶的衰减率为每分贝 18 分贝 如此类推 巴特沃斯滤波器的振幅对角 频率单调下降 并且滤波器的阶数越高 在组频带振幅衰减速度越快 其他滤波器高阶 的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状 N c s sHsH 1 1 2 2 上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上 如下图所示为三阶巴特沃斯滤波器极 点分布图 图 2 3 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 10 因此 极点用下式表示为 2 15 N kjj ck ees 12 2 1 2 1 0 Nk 的表示式 sHa 2 16 1 0 N k k n c a ss sH 为了使设计公式和图表统一 将频率归一化 巴特沃斯滤波器采用 3dB 截止频率 归一化 归一化后的系统函数为 c 2 17 1 0 1 N k c k c c a ss s G 令 称为归一化频率 称为归一化复变量 这 cc sjp p 样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 2 18 1 0 1 N k k a pp G 式中 为归一化极点 用下式表示 ck sp 2 19 2 12 2 1 N k j k ep 1 2 1 0 Nk 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 11 巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数N和3 dB截止频率 c 的过程 第三章第三章 用双线性变换法设计低通滤波器步骤用双线性变换法设计低通滤波器步骤 设计数字滤波器的具体步骤如下 1 确定数字低通滤波器的技术指标 通带截止频率 通带最大衰减系数 阻 p p 带截止频率 阻带最小衰减系数 s 2 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 采用双线性变 换法 频率的转换关系为 2 tan 2T 3 根据转换后的性能指标 确定滤波器最小阶数 n 和固有频率 wn 4 由最小阶数 n 得到巴特沃斯模拟低通滤波器原型 5 将模拟滤波器系统函数 Ha S 从 s 平面转换到 z 平面 得到数字低通滤波器系统函 数 H z H z Ha S 1 1 21 1 z s Tz 第四章第四章 MATLABMATLAB 程序程序 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 12 用双线性变换法设计数字低通滤波器的MATLAB程序如下 fs 1000 采样频率 fp 100 fst 300 wp 2 pi fp fs 数字通带截止频率 ws 2 pi fst fs 数字阻带截止频率 Rp 3 通带最大衰减系数r Rs 20 阻带最大衰减系数 Fs fs fs Ts 1 Fs 采样周期 m 256 采样点数 Wp 2 Ts tan wp 2 模拟通带截止频率 Ws 2 Ts tan ws 2 模拟阻带截止频率 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs s 选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数 z p k buttap N 创建巴特沃斯模拟低通滤波器 Bp Ap zp2tf z p k 由零点 极点 增益确定传输函数的分子与分母的系数 b a lp2lp Bp Ap Wn 模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换 归一化 bz az bilinear b a Fs Ts 2 用双线性变换法实现模拟低通滤波器到数字低通滤 波器的转换 h w freqz bz az m Fs fs db 20 log abs h max abs h figure 1 plot w abs h r title 数字低通滤波器 grid on xlabel 频率 rad ylabel 幅度 figure 2 subplot 2 1 1 plot w pi db title 幅频特性 xlabel w pi ylabel 20lg Hg w grid on subplot 2 1 2 plot w pi angle h title 相频特性 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 13 xlabel w pi ylabel 相位 grid on Nc wc buttord Wp Ws Rp Rs s 计算滤波器阶数和3dB截止频率 bl al butter Nc wc s 计算滤波器系统函数分子分母多项式 h f freqs bl al figure 3 plot f abs h grid on xlabel 频率 HZ ylabel 幅度 title 模拟低通滤波器 第五章第五章 程序中命令介绍程序中命令介绍 程序中所用的主要指令如下 1 确定滤波阶数函数 buttord 格式 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs S 表示选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数 其中 N 满足指标的最低滤波器阶数 Wn 巴特沃斯自然频率 Rp 通带最大衰减 Rs 阻带最小衰减 Wp Ws 归一化的通带和阻带边缘频率 2 确定低通模拟滤波器原函数 buttap 格式 Z P K buttap N 其中 N 满足指标的最低滤波器阶数 Z N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的零点 P N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的极点 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 14 K N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通滤波器的增益 3 双线性变换函数 billinear 格式 bz az bilinear bs az Fs 2 其中 as 模拟滤波器传递函数的分母系数 bs 模拟滤波器传递函数的分子系数 az 数字滤波器传递函数的分母系数 bz 数字滤波器传递函数的分子系数 4 零点 极点 增益模型转换为传递函数模型 zp2tf 格式 Bp Ap zp2tf z p k 其中 Bp 模拟滤波器传递函数的分子系数 Ap 模拟滤波器传递函数的分母系数 5 模拟低通滤波器到数字低通滤波器的转换 lp2lp 格式 b a lp2lp Bp Ap Wn 其中 b 模拟滤波器传递函数的分子系数 a 模拟滤波器传递函数的分母系数 6 数字滤波器的频率响应 freqz 格式 h w freqz bz az m 其中 w m点频率 H m点频率响应 m 采样点 第六章第六章 运行结果及波形运行结果及波形 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 15 显示的图像如下 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 16 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 17 第七章第七章 结果分析结果分析 本次设计的数字低通滤波器采用巴特沃兹滤波器使用双线性变换法 避免出现频谱 混叠现象 一 根据要求的数据按照设计步骤计算 1 确定数字滤波器技术指标 Hzfp100 Hzfs300 dB p 3 采样频率 dB s 20 HzFs1000 以采样频率为标准进行归一化 p 2 fp Fs 0 628 s 2 fs Fs 1 885 Fs 1 T 1 2 将数字滤波器技术指标转换成模拟滤波器的技术指标 p 2tan0 1 0 650 燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书 18 s 2tan0 3 2 753 3 根据模拟滤波器技术指标求阶数N 经计算N 1 5 取N 2 计算3dB截止频率 c 0 8727 二 仿真结果中模拟和数字滤波器幅频响应符合设计要求即给定技术指标 通带截止频 阻带截止频率通带衰减阻带衰减 所仿真Hzfp100 Hzfs300 dBap3 dBa20 结果中数据有N 2 Wn 0 8727 与计算结果一致 仿真图中符合衰减效果 由此可得所 设计的程序符合所设计的技术和参数要求 第八章第八章 心得体会心得体会