谷城一中2015年8月高三数学试题

1 谷城一中谷城一中 20152015 届高三数学训练题届高三数学训练题 1 1 2015 8 17 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四在每小题给出的四 个选项中 只有一项是符合题目要求的个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 1 设集合则中的元素 1 2 3 4 5 ABMx xab aA bB M 个数为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 2 设且 则 函数在上是减函数 是 函数0a 1a x f xa R 在上是增函数 的 3 2 g xa x R A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知 2 1 1 0 1 0 1 xx f x xx 则如图中函数的图象错误的是 4 已知 则满足关于的方程的充要条件是 0a 0 xxaxb A B 22 00 11 22 xaxbxaxbx R 22 00 11 22 xaxbxaxbx R C D 22 00 11 22 xaxbxaxbx R 22 00 11 22 xaxbxaxbx R 5 5 不等式对任意实数恒成立 实数的取值范aaxx5 2 4 2 xa 围是 A B 3 2 6 1 C D 2 3 1 6 6 6 已知命题p 函数f x 2ax2 x 1 a 0 在 0 1 内恰有一个零点 命题 q 函数y x2 a在 0 上是减函数 若p且q为真命题 则实数a的取值 范围是 A a 1 B a 2 C 12 2 7 7 已知函数 若 且 则的取值范围 lg f xx 0ab f af b 2ab 是 A B C D 2 2 2 2 3 3 8 8 设f x g x 分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数 当x 0 时 且g 3 0 则不等式f x g x f x 则有 A e2014f 2014 e2014f 0 B e2014f 2014 f 0 f 2014 f 0 f 2014 e2014f 0 D e2014f 2014 f 0 f 2014 e2014f 0 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 将答案填在答题将答案填在答题 卷相应位置上卷相应位置上 11 11 函数 2 1 4 ln 1 f xx x 的定义域为 1212 幂函数 当取不同的正数时 在区间上它 xy 1 0 们的图象是一族美丽的曲线 如上右图所示 设点 0 1 A 连接 线段恰好被其中的两个幂函数 1 0 BABAB xy 的图象三等分 即有 则 xy NAMNBM 3 13 是 f x 2x2 ln x 在定义域的一个子区间0 4 1 amam m 1 m 1 内不是单调函数 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围是 1414 设 2211 yxByxA是平面直角坐标系中的两点 定义点 A 到点 B 的 曼哈顿距离曼哈顿距离 为 1212 L A Bxxyy 若点 A 为 1 1 点 B 在 2 yx 上 则 L A B 的最小值为 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 7070 分 解答应写出文字说明 证明过分 解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤程或演算步骤 17 17 1212 分分 设命题p 函数在区间 1 1 上单调 3 1f xxax 递减 命题q 函数 2 ln 1 yxax 的值域是R 如果命题 为真命题 求a的取值范围 pq 18 18 12 12 分分 已知函数x R 13 1 2 3 23 axxaxxf 1 讨论函数 f x 的单调区间 2 当 a 3 时 若函数 f x 在区间 m 2 上的最大值为 28 求 m 的 取值范围 19 19 1212 分分 工厂生产某种产品 次品率与日产量 万件 间px 的关系为 为常数 且 cx x cx p 0 6 1 3 2 c06c 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元 每出现 1 件次品亏损 1 5 4 元 1 将日盈利额 万元 表示为日产量 万件 的函数 yx 2 为使日盈利额最大 日产量应为多少万件 注 次品率 100 次品数 产品总数 20 12 分 已知幂函数 2 2 tt f xxtZ 满足 3 2 ff 1 求t的值 写出相应函数 xf 的解析式 2 对于 1 中求得的函数 xf 试判断是否存在正数使函 q 数在区间上的值域为若存在 xqxqfxg 12 1 2 1 8 17 4 求出这个 值 若不存在 请说明理由 q 21 21 1212 分分 已知函数 ln 1 a f xxa x R 1 当时 如果函数仅有一个零点 求实数 2 9 akxfxg 的取值范围 k 2 当时 试比较与 的大小 2 a xf1 3 求证 12 1 7 1 5 1 3 1 1ln n n n N 2222 10 10 分分 设函数 5 的值域是集合 A 函数 x xx xf 1 2 的定义域是集合 B 其中 a 是实 1 1 lg 222 aaaxaxxg 数 1 分别求出集合 A B 2 若 A B B 求实数 a 的取值范围 已知不等式的解集为 2 30 xxa 1 b 1 求实数的值 2 若函数 a b 在区间的值恒小于 1 求的取 2 log 31 0 1 m ybxxamm 2 3 3 4 m 值范围 参考答案 一 选择题 1B 2A 3D 4C 5B 6C 7D 8C 9D 10A 11 B 12D 二 填空题 11 12 1 13 答案 1 1 0 0 2 14 7 4 15 2 16 53 22 三 解答题 17 解 22 30 1 1 3 1 1 3 fxxaax a p为真命题在上恒成立在上恒成立 4 分 2 22qaaa 为真命题 40恒成立或 8 分 因为命题为真命题 所以 pq 33 223 2222 aa pqapqaa aaa 真假假真或 或 综上所述 2 2 3 a 12 分 18 解 1 由题设知 2 分13 1bba 2ab 2 当是增函数 22 2 331 2312 3 448 xu xxxx 时 6 7 分 minmax 2131 3948 u xuu xu 当时 恒成立 9 分1m 1 log log1 8 mm yu x 当时 只需 11 分01m 11 log10 99 m m 的取值范围是 m 12 分 1 0 1 9 19 解 1 若 则 cx 0 6 2 9 3 62 3 6 3 x x x x x x x xy 2 分 若 则 3 分 cx 0 3 2 2 3 3 2 3 xxxy 5 分 0 6 2 29 3 2 x xx y cx cx 0 2 当 cx 0 则 7 分 22 2 6 9 3 3 6 1 29 6 49 2 3 x xx x xxxx y 若 则 函数在上为增函数 30 c 0 y c 0 9 6 2 29 3 2 max c cc ycx 分 若 在上为增 63 c 3 0 函数 在上为减函数 3 c 7 2 9 3 3 max fyx 11 分 综上 若 则当日产量为 c 万件时 日盈利额最大 30 c 若 则当日产量为 3 万件时 日盈利额最大 63 c 12 分 另解 2 当 7 2 45 6 9 6 3 62 9 3 0 x x x x xycx 分 令 8 2 45 9 3666 t tytcxt 分 若10 分 时取等号 即当且仅当3 3 2 9 2 45 6363 xtyc 若 函数在为单调减函数 30 c 6 6 c 所以 取得最大值 cxct 即6 12 分 20 1 因为 所以 3 2 ff 22 22 32 tttt 所以 即 又 所以或02 2 tt21 tZt 0 t 所以 2 分1 t 2 xxf 2 若存在这样的正数 则由 1 知q 2 22 2141 21 1 24 qq g xqxqxq x qq 2 1 x 8 为二次函数 其顶点坐标为 图象开口向下 因 xg 4 14 2 12 2 q q q q 为 所以 5 分0 q 211 11 22 q qq 当 即时 在上递减 21 1 2 q q 4 1 0 q xg 2 1 所以 令 则与矛盾 qgxg32 1 max 8 17 32 q0 24 1 q0 q 故不存在满足题设 8 分q 当 即时 有 1 1 2 12 q q 4 1 q q q xg 4 14 2 max 令 得或 舍去 所以 8 17 4 14 2 q q 2 q 8 1 q2 q 此时 所以 4 1 g1 2 g4 min xg 综上 当时 在区间上的值域2 q132 2 xxxg 2 1 为 故存在符合题设 12 分 8 17 4 2 q 21 1 证明 11111 1 234212 f n nn 11111111 12 234212242nnn 1111111 1 1 2342122nnn 3 分 111 122nnn 法二 数学归纳法 9 2 111 122 f n nnn 111111 1 2322122 f nf n nnnnnn 则在时递 11111 0 212212122nnnnn f n 2 nnN 增 则整数的最大值为 20 7 11721 2 34123636 m f nf m 分 法二 先猜想 再用数学归纳法证明 3 由 1 知 求证式等价于 41112 71222nnn 法一 由 2 知 也可用数学归纳法及单 749484 1284847 f n 调性 10 分 法二 由柯西不等式有 2 111 1 2 2 122 nnnn nnn 于是 2 11124 1 122 1 2 27 3 n nnnnnn n 10 分 10 又由柯西不等式有 222 222 111111 111 122 1 2 2 nnnnnn 111112 1 1 2 21 222 nn n nnnnnnn 所以 不等式成立 13 分 22 解 1 当时 定义域是 2 9 a 1 2 9 ln x xxf 0 令 得 22 1 2 2 12 1 2 91 xx xx xx xf0 x f 或 2 分 2 1 x2 x 当或时 当时 2 1 0 x2 x0 x f2 2 1 x0 x f 函数 xf在 上单调递增 在上单调递减 2 1 0 2 2 2 1 4 分 的极大值是 极小值是 xf 2ln3 2 1 f2ln 2 3 2 f 当时 当时 0 x xf x xf 当仅有一个零点时 的取值范围是 xgk 或 5 分2ln3 k2ln 2 3 k 2 当时 定义域为 2 a 1 2 ln x xxf 0 令 1 1 2 ln1 x xxfxh 0 1 1 1 21 2 2 2 xx x xx xh 在上是增函数 xh 0 7 分 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 11 当时 即 10 x0 1 hxh1 xf 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 9 分 3 法一 根据 2 的结论 当时 即1 x1 1 2 ln x x 1 1 ln x x x 令 则有 k k x 1 12 11 ln kk k n k n k kk k 11 12 11 ln 12 分 n k k k n 1 1 ln 1ln 12 1 5 1 3 1 1ln n n 14 分 法二 当时 1n ln 1 ln2n 即时命题成