《简单的线性规划问题》教学设计

简单的线性规划问题简单的线性规划问题 教学设计教学设计 一 教学内容分析一 教学内容分析 线性规划是数学规划中理论较完整 方法较成熟 应用较广泛的一个分支 主要用于 解决生活 生产中的资源利用 人力调配 生产安排等问题 它是一种重要的数学模型 简单的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划 其最优解可以用数形结合方法求 出 涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决 与其它部分知识的联系 表现在 二 学情分析二 学情分析 本节课学生在学习了不等式 直线方程的基础上 通过实例 巩固二元一次不等式 组 所表示的平面区域 使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数 理解平面区域 的意义 并会画出平面区域 还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件 将实际问题转化为数学问题 从数学知识上看 问题涉及多个已知数据 多个字母变量 多个不等关系 从数学方法上 看 学生对图解法的认识还很少 数形结合的思想方法的掌握还需时日 这都成了学生学 习的困难 所以 通过这种从点与数对的对应 线与方程的对应 到平面区域与不等式组 的对应的过渡和提升 使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性 三 设计思想三 设计思想 本课以问题为载体 以学生为主体 以数学实验为手段 以问题解决为目的 以多媒体课 件作为平台 激发他们动手操作 观察思考 猜想探究的兴趣 注重引导帮助学生充分体 验 从实际问题到数学问题 的建构过程 从具体到一般 的抽象思维过程 应用 数形结合 的思想方法 培养学生的学会分析问题 解决问题的能力 四 教学目标四 教学目标 1 使学生了解二元一次不等式表示平面区域 2 了解线性规划的意义以及约束条件 目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概 念 3 了解线性规划问题的图解法 并能应用它解决一些简单的实际问题 4 培养学生观察 联想以及作图的能力 渗透集合 化归 数形结合的数学思想 提 高学生 建模 和解决实际问题的能力 5 结合教学内容 培养学生学习数学的兴趣和 用数学 的意识 激励学生创新 五 教学重难点五 教学重难点 教学重点 教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点 教学难点 准确求得线性规划问题的最优解 六 教学支持条件分析六 教学支持条件分析 教师可借助计算机或图形计算器 从激励学生探究入手 讲练结合 精准的直观演示能 使教学更富趣味性和生动性 通过让学生观察 讨论 辨析 画图 亲身实践 调动多感官去体验数学建模 用模的思 想 让学生学会用 数形结合 思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系 七 教学过程七 教学过程 1 创设情境 创设情境 提出问题提出问题 引例 某工厂用 A B 两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件 耗时 1h 每生产一件乙产品使用 4 个 A 配件 耗时 2h 已知该厂每天最多可从配件厂获 得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件 按每天工作 8h 计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 问题问题 1 该厂日生产安排受哪些条件约束 该厂日生产安排受哪些条件约束 设甲 乙两种产品每日分别生产 x y 件 得出二元一次不等式组 师生活动师生活动 学生读题 引导阅读理解后 列表 建立数学关系式 画平面区域 教师关注有多少学生写出了线性数学关系式 有 多少学生画出了相应的平面区域 在巡视中并发现代表性的练习进行展示 强调这是同一 事物的两种表达形式数与形 设计意图设计意图 引导学生读题 完成实际问题数学化的过程 承前一课时 使学生进一步熟 练如何从实际问题中抽象出不等式组 约束条件 并用平面区域表示 2 分析问题 形成概念 分析问题 形成概念 问题问题 2 可能的日安排 什么意思 可能的日安排 什么意思 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 3 2 4 0 4 1 4 2 师生活动师生活动 教学中 可以结合几何画板 让学生 读出 可行解 即可行域中的 18 个整点 对于边界附近的点 如 3 3 4 3 4 4 是否可行域中 需引导学生配合 不等式来判断 这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考 设计意图设计意图 让学生了解日生产方案的数学符号表示 不等式组 1 的整数解 x y 的 实际意义 并给出 可行解 可行域 概念 问题问题 3 若每生产一件甲产品获利 若每生产一件甲产品获利 2 万元 每生产一件乙产品获利万元 每生产一件乙产品获利 3 万元 如何安排生产万元 如何安排生产 利润最大 利润最大 利润函数模型的建立 设生产利润为 z 万元 则 z 2x 3y 师生活动师生活动 引导学生分别求各种可能安排的利润 列举 z 观察得到 当 x 4 y 2 时 z 最大 z 的最大值为 14 万元 引出最优解概念 以上过程计算繁琐 操作难度大 引导学生调整探究思路 寻找解决问题的新方法 由 利润函数的解析式 z 2x 3y 可变形为 故求 z 的最大值 可转化为求 的最大值 而 是直线 z 2x 3y 在 y 轴上的截距 只要找到直线系 z 2x 3y 与 y 轴 的交点 的最高即可 x y z 2x 3y 0 0 0 0 1 3 4 1 11 4 2 14 示范解答示范解答 解 设甲 乙两种产品每日分别生产 x y 件 依题意 得不等式组 列出不等式 列出不等式 平面区域 如图 画出可行域 画出可行域 依题意 得目标函数 z 2x 3y 求出目标函数 求出目标函数 作直线 2x 3y 0 平移之 经过点 M 时 z 最大 平移目标函数表示直线 平移目标函数表示直线 由 x 4 x 2y 8 得点 M 的坐标 4 2 求 写 出最优解 求 写 出最优解 因此 当 x 4 y 2 时 z 最大 zmax 2 4 3 2 14 万元 设计意图设计意图 通过添加最优化问题转入对新知识的探究 借助计算机技术展示数学关系式 通过添加最优化问题转入对新知识的探究 借助计算机技术展示数学关系式 平面区域 表格等各种形态的表现形式 在数 图 表的关联中进行观察 培养学生数形平面区域 表格等各种形态的表现形式 在数 图 表的关联中进行观察 培养学生数形 结合思想 结合思想 从笔算到计算 从点到直线再到平面 区域 从一个函数到多个函数 从特殊到一般 从笔算到计算 从点到直线再到平面 区域 从一个函数到多个函数 从特殊到一般 从具体到抽象的认识过程 使学生经历数学知识形成 发现 发展的过程 获得问题的解从具体到抽象的认识过程 使学生经历数学知识形成 发现 发展的过程 获得问题的解 决 这有助于培养学生的科学素养决 这有助于培养学生的科学素养 3 反思过程 提炼方法 反思过程 提炼方法 问题问题 4 什么线性规划问题是 求解简单线性规划的步骤 什么线性规划问题是 求解简单线性规划的步骤 线性规划问题 线性规划问题 在线性约束条件下 求线性目标函数的最大值或最小值的问题 称为线性 规划问题 线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成 其中可行域是可行解的集合 可行解是满足约束条件的解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最 优解 步骤 步骤 第 1 步 依题意 列出不等式组 第 2 步 画出可行域 实际上也就找到了可行解 第 3 步 依题意 求出目标函数 第 4 步 作出目标函数所表示的某条直线 通常选作过原点的直线 平移此直线并观 察此直线经过可行域的哪个 些 点时 函数有最大 小 值 第 5 步 求 写 出最优解和相应的最大 小 值 建 画 移 求 答 建 画 移 求 答 4 变式演练 深入探究 变式演练 深入探究 问题问题 5 如果每生产一件甲产品获利 如果每生产一件甲产品获利 2 万元 每生产一件乙产品获利万元 每生产一件乙产品获利 4 万元 如何安排生万元 如何安排生 产利润最大 产利润最大 目标函数为 z 2x 4y 直线 z 2x 4y 与 y 轴的交点的横坐标为 作出直线 2x 4y 0 并平移 观察知 当直线 z 2x 4y 经过点 2 3 或 4 2 时 直线与 y 轴的交点最高 即 x 2 y 3 或 x 4 y 2 时 z 取最大值 且 zmax 16 问题问题 6 如果每生产一件甲产品获利 如果每生产一件甲产品获利 3 万元 每生产一件乙产品亏损万元 每生产一件乙产品亏损 2 万元 如何安排生万元 如何安排生 产利润最大 产利润最大 让学生先猜测 注意 z 的最大值 直线 z 3x 2y 在 y 轴上的截距 z 的最小 值 目标函数为 z 3x 2y 直线 z 3x 2y 与 y 轴的交点的横坐标为 作出直线 3x 2y 0 并平移 观察知 当直线 z 3x 2y 经过点 4 0 时 直线 z 3x 2y 与 y 轴的交点 最低 即 x 4 y 0 时 z 取最大值 且 zmax 12 设计意图设计意图 进一步强调目标函数直线的纵截距与 z 的最值之间的关系 有时并不是截距越 大 z 值越大 这样使学生产生思想上的知识的冲突 从而进一步认识到目标函数直线的 纵截距与 的最值之间的关系 5 运用新知 解决问题 运用新知 解决问题 1 求 z 2x y 的最大值 使 x y 满足约束条件 2 求 z 3x 5y 的最大值 使 x y 满足约束条件 设计意图设计意图 这里是两个练习都是纯数学问题 主要是运用数形结合思想 熟练求出线性 目标函数的最值 5 归纳总结 巩固提高 归纳总结 巩