2016届安徽省江南十校高三二模数学(理)试题(解析版)

2016 届安徽省江南十校高三二模数学 理 试题届安徽省江南十校高三二模数学 理 试题 一 选择题一 选择题 1 已知集合 则 2 xxxM 13 RxyyN x NM A B C 或 D 1 xx 1 xx0 xx 1 x 10 xx 答案 A 解析 试题分析 2 01 31 1 x Mx xxx xxNy yxRy y 或 故选 A M 1Nx x 考点 1 集合的表示 2 集合的交集 2 已知复数满足 为虚数单位 则复数则复平面内对应的zizi32 31 iz 点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 C 解析 试题分析 因为 所以 对应的izi32 31 231 3 3 413 ii z i 点为 在第三象限 故选 C 13 3 44 考点 1 复数的几何意义 2 复数的运算 3 已知数列满足 且 若 则 n a15 1 a 3 43 2 a 21 2 nnn aaa0 1 kk aa 正整数 k A 21 B 22 C 23 D 24 答案 C 解析 试题分析 由题意得 数列是等差数列 通项公式为 n a 令得 故 故选 C 2 151 3 n an A0 n a 47 2 n 2324 0 0 23aak 考点 1 等差数列的定义 2 等差数列的通项公式 4 设点是双曲线的右焦点 点到渐近线的距离与双曲F 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F 线的两焦点间的距离的比值为 则双曲线的渐近线方程为 61 A B 022 yx022 yx C D 023 yx023 yx 答案 B 解析 试题分析 由点到直线距离公式 到渐近线的距离是 所以F 22 bc b ab 可得 得 故双曲线的渐近线方程为 即 1 26 b c 1 2 2 b a 1 2 2 yx 故选 B 022 yx 考点 1 点到直线距离公式 2 双曲线的性质及渐近线方程 5 在空间直角坐标系中 已知某四面体的四个顶点坐标分别是 xyzO 0 0 1 A 则该四面体的正视图的面积不可能为 0 1 0 B 2 0 0 C 2 1 1 D A B 23 C D 2 14 22 答案 D 解析 试题分析 几何体的直观图如图所示 其正视图的最大投影面是在或xOy 或平面上 故最大面积为 不可能为 故选 D xOzyOz22 2 考点 1 几何体的三视图 2 空间坐标系的应用 6 设是由轴 直线和曲线围成的曲边三角形区域 集合Ax 10 aax 2 xy 若向区域上随机投一点 点落在区域内 10 10 yxyx PP 的概率为 则实数的值是 192 1 a A B C D 16 1 3 1 2 3 2 答案 C 解析 试题分析 因为是由轴 直线和曲线围成的曲Ax 10 aax 2 xy 边三角形区域 所以区域的面积为 故 解得A 233 0 0 11 33 a a x dxxa 3 1 1 3 1 1192 a 故选 C 1 4 a 考点 1 定积分的几何意义 2 几何概型概率公式 7 执行如图所示的程序框图 则输出的的值是 a A B C D 2 8 1 4 1 2 1 答案 C 解析 试题分析 由题图可知 开始时 第一次运行后 2 1ai 1 2 3 ai 第二次运行后 第三次运行后 依此类推 又 3 3 2 ai 2 4ai 故输出的的值为 故选 C 20163 672 a 3 2 考点 1 程序框图 2 循环结构 方法点睛 本题主要考查程序框图的循环结构流程图 属于中档题 解决程序框图 问题时一定注意以下几点 1 不要混淆处理框和输入框 2 注意区分程序框图是条 件分支结构还是循环结构 3 注意区分当型循环结构和直到型循环结构 4 处理循 环结构的问题时一定要正确控制循环次数 5 要注意各个框的顺序 8 若把函数的图象向左平移个单位 所得到的图象与函数 6 sin xy 3 的图象重合 则的一个可能取值是 xy cos A B C D 2 2 3 3 2 2 1 答案 A 解析 试题分析 把函数的图象向左平移个单位得到函数sin 6 yx 3 的图象 又函数 不妨设sin 36 yx cossin 2 yxx 解得 验证 B C D 选项可知其均不满足 故选 A 362 2 考点 1 三角函数的平移变换 2 三角函数的诱导公式 9 设点在不等式组表示的平面区域上 则 yxP 03 02 0 yx yx x 的最小值为 12 22 xyxz A B C D 1 5 5 2 5 52 答案 D 解析 试题分析 不等式组所表示的平面区域如图所示 记点 由 1 0A 知的最小值点数到直线 2 222 211zxyxxy zPA z A 的距离 即 故选 D 20 xy 22 2 12 5 5 21 考点 1 可行域的画法 2 点到直线距离公式 10 对于平面向量 给出下列四个命题 命题 若 则与的夹角为锐角 1 p0a b a b 命题 是 的充要条件 2 p a bab ab 命题 当为非零向量时 是 的必要不充分 3 p a b 0ab abab 条件 命题 若 则 4 p abb 2 2 bab 其中的真命题是 A B C D 1 p 3 p 2 p 4 p 1 p 2 p 3 p 4 p 答案 B 解析 试题分析 命题 当时 向量与的夹角可能为 故为假命题 1 p0a b a b 0 命题 当 时 则向量 中至少有一个零向量或2 p baba ba 故 当 时 则 cos 1a b ba ba baba 故为真命题 命题 当 时 成立 当3 p0 ba baba 向量 与为非零向量时 与反向 未必有 故为假 baba a b a b 0 ba 命题 命题 若 则 故为真 4 p abb 2 2ababbabbb 命题 正确 故选 B 2 p 4 p 考点 1 向量的基本概念与性质 2 充分条件与必要条件 11 已知直线 是曲线 与曲线 的一条公切线 若l 1 C 2 xy 2 C 1 0 ln xxy 直线 与曲线的切点为 则点的横坐标 满足 l 1 CPPt A B 2 1 0 t1 2 1 t C D 2 2 2 t 12 22 答案 D 解析 试题分析 记直线 与曲线的切点为因为 则直线 的l 2 C ln 0 1mmm l 方程为 又直线 的方程为 从而且 1 lnymxm m l 2 2ytt xt 1 2t m 消去得 即 设 2 ln1mt m 2 1 ln1 2 t t 2 1 ln 210 2 ttt 则 令解得 2 1 ln 21 2 f xxxx 2 11 2 2 x fxx xx 0fx 则函数在上递增 又 无零点 12 22 x f x 12 22 1 0 2 f 12 22 得在上单调递减 可得 所以 0fx f x 2 2 20 30ff 故选 D 12 22 考点 1 利用导数研究函数的单调性 2 利用导数求切线方程及零点定理的应用 方法点晴 本题主要考查利用导数研究函数的单调性 利用导数求切线方程及零点 定理的应用 属于难题 求曲线切线的一般步骤是 1 求出在处 yf x 0 xx 的导数 即在点出的切线斜率 当曲线在处的切 yf x P 00 xf x yf x P 线与轴平行时 在处导数不存在 切线方程为 2 由点斜式求y 0 xx 0 xx 得切线方程 00 yyfxxx 二 填空题二 填空题 12 已知函数 则 2 3 2 1 x xxf xf x 2 log3f 答案 18 1 解析 试题分析 因为 333 log 2log 22log 18fff 故答案为 3 3 1 log log 18 18 1 33 18 18 1 考点 1 分段函数的解析式 2 对数 指数的运算 13 已知的展开式中的各项系数和为 4 则项的系数为 5 1 2 2 3 x x x a x 2 x 答案 160 解析 试题分析 令得的展开式中的各项系数和为1x 5 1 2 2 3 x x x a x 解得所以的项为 5 3 2 1 2 a 4 2 a 2 x 系数为 故答案为 2 34 242 55 111 322160 x CxCxx xxx 160160 考点 1 二项展开式的通项 2 二项展开式的系数及系数和 14 已知在梯形中 将梯ABCDCDAB ABAD 2 AB1 CDAD 形沿对角线折叠成三棱锥 当二面角是直二面角ABCDACABCD BACD 时 三棱锥的外接球的表面积为 ABCD 答案 4 解析 试题分析 因为在梯形中 ABCDCDAB ABAD 2 AB 所以 取中点为 中点为1 CDAD2 2 ACBCACBC ABOAC 连接 当二面角是直二面角时 可得E DE OEBACD DEOE 因此 为三棱锥的外接球的球心 半径 1OAOBOCOE OABCD 1r 球的表面积为 故答案为 2 414 4 考点 1 面面垂直的性质 2 外接球的性质及球的表面积公式 方法点睛 本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法 属于难题 要求外接球的表面 积和体积 关键是求出求的半径 求外接球半径的常见方法有 若三条棱两垂直则 用 为三棱的长 若面 则 2222 4Rabc a b cSA ABCSAa 为外接圆半径 可以转化为长方体的外接球 特殊几 222 44Rra rABC 何体可以直接找出球心和半径 15 设数列满足 记是数列的前项和 则 n a 为偶数 为奇数 na nn a n n 2 n S n an 1 22016 S 答案 3 142016 解析 试题分析 设 12 2121 nn f naaaS 1 12 21 1 n f naaa 1 1324 2122 nn aaaaaa 1 1 21 12 21 2 2 n n n aa aaa 累加法得 4nf n 14nf nf n 1 21 4 41 144 4 3 n n f nf 故答案为 2016 2016 2121 4141 33 n n Sf nS 3 142016 考点 1 数学的划归思想 累加法 2 等差数列 等比数列等差数列前项和公n 式 方法点晴 本题主要考查等差数列 等比数列前项和公式及数学的划归思想 累n 加法 属于难题 求解本题题一定要耐心读题 读懂题 通过对问题的条件和结论进 行类比 联想 抽象 概括提炼出数列相邻两项的差成等比数列 21 n S 21 n S 这一重要隐含条件 然后根据累加法 利用等比数前项和公式求解 1 21 n S 4n n 三 解答题三 解答题 16 已知点是抛物线上不同的两点 为抛物线的焦点 且满足NM 2 4xy F 弦的中点到直线 的距离记为 若 135 MFNMNPl 16 1 yd 则的最小值为 22 dMN A B C D 2 2 2 2 1 2 2 1 22 答案 D 解析 试题分析 设 是的准线 1 16 MFm NFny 2 4yx 1 2 dmn 2 2222 2cos1352MNmnmnmnmn 2 22 2222 4 mn mnmnmn 2 22 4 mn A 故选 D 2 2 22 22 4 22 4 mn MN d mn 考点 1 抛物线的定义 2 余弦定理及基本不等式求最值 方法点睛 本题主要考查抛物线的定义和几何性质 以及余弦定理和基本不等式求 最值 属于难题 与焦点 准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关 解决这 类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的相互转化 1 将抛线上的点到 准线距转化为该点到焦点的距离 2 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距 离 使问题得到解决 解答本题的关键就是将的中点到直线 的距MNPl 16 1 y 离记为转化为到焦点的距离和的一半 d 17 已知分别是的三个内角所对的边 且满足cba ABC CBA AcCabcoscos 2 1 求角的大小 C 2 设 求的最大值并判断当取得最大值时 sin 2 2 sin34 2 BC A y yy 的形状 ABC 答案 1 2 为直角三角形 3 C322 ABC 解析 试题分析 1 由正弦定理得 再利ACCABcossincos sinsin2 用三角形内角和定理 诱导公式及两角和的正弦定理求解 2 先利用余弦二倍角公 式和两角差的正弦公式将原式化为 即是sin3cos2 3AA 进而得结论 2sin2 3 3 A 试题解析 1 由正弦定理得 ACCABcossincos sinsin2 即 BCAACCACBsin sin cossincossincossin2 又 则 0sin B 2 1 cos C 0 C 3 C 2 sin 2 2 sin34 2 BC A y 3 sin 2 cos1 32 AA AAAcos3sin cos1 32 32cos3sin AA 32 3 sin2 A 由得 当时 取得最大值 此时为直角三角形 3 2 0 A 6 Ay322 ABC 考点 1 正弦定理及三角形内角和定理 2 余弦二倍角公式及两角和与差的正弦 公式 18 4 月 23 日是世界读书日 为提高学生对读书的重视 让更多的人畅游于书海中 从而获得更多的知识 某高中的校学生会开展了主题为 让阅读成为习惯 让思考伴 随人生 的实践活动 校学生会实践部的同学随机抽查了学校的 40 名高一学生 通过 调查他们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书 来了解在校高一学生的读书习惯 得到 如下列联表 喜欢读纸质书不喜欢读纸质书合计 男 16420 女 81220 合计 241640 1 根据上表 能否有 90 的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系 2 从被抽查的 16 名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取 2 名学生 求抽到男生人 数的分布列及其数学期望 E 参考公式 其中 2 2 dbcadcba bcadn K dcban 下面的临界值供参考 2 kKP 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k 2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 答案 1 有的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系 2 99 1 2 解析 试题分析 1 直接利用公式求出的 2 2 dbcadcba bcadn K 2 K 观测值 对比表格中数值即可 2 的可能取值为 利用排列组合知识及古 0 1 2 典概型概率公式求出个随机变量对应的概率 再利用求期望公式求解 试题解析 1 计算随机变量的观测值得 2 K 故有的把握认为是否喜欢读纸质635 6667 6 20201624 481216 40 2 2 K 99 书籍与性别有关系 2 的可能取值为 0 1 2 20 11 0 2 16 2 12 C C P 5 2 1 2 16 1 4 1 12 C CC P 20 1 2 2 16 2 4 C C P 的分布列为 012 P 20 11 5 2 20 1 2 1 20 1 2 5 2 1 20 11 0 E 考点 1 独立性检验 2 离散型随机变量的期望 19 如图 四棱锥中 底面是平行四边形 平面平面ABCDP ABCD PDC 在上 ABCD 90 DACPCPDADACMPB 1 若点是的中点 求证 平面 MPB PACDM 2 在线段上确定点的位置 使得二面角的余弦值为 PBMBMCD 3 6 答案 1 证明见解析 2 点是的中点 MPB 解析 试题分析 1 取的中点 连接 先证平面 DCOPOOA CDPOA 所以再证 进而平面 2 以所在 DCPA PACM PACDMOPOCOA 直线分别为轴 轴 轴建立如图所示空间直角坐标系 可求得平面的法xyzMCB 向量 再设 可得 进而利用空间向量加角余弦公式求PBPM 1 0 1 2 n 解 试题解析 1 证明 取的中点 连接 DCOPOOA 则又从而取的中点 连接 由 DCAODCPO OOAPO PANMNON 为中点 得四边形为平行四边形 所以 又平面MPBMNOCPACM CM 平面 所以平面 CDM CDCDMCCDCM PACDM 2 解 由平面平面得平面 故以所在 PDCABCD POABCDOPOCOA 直线分别为轴 轴 轴建立如图所示空间直角坐标系 设 由已知得xyz2 DC 设平面的法向量为 0 1 0 D 0 1 0 C 0 2 1 B 1 0 0 PMCB 由 得 111 1 nx y 1 1 0 CB 0 1 1 CP 则 1111 1 11 01 1 10 n CBxyx y n CPy 1 1 1 1 n 设 则 从而 PMPB 01 2 1 M 0 2 0 DC 设平面的法向量为 则由 21 1 CM DCM 222 1 nxy 221 222 1 1 20 21 10 0 nDCyx nCMxy y 则 所以 解得 故 2 1 0 1 n 12 2 1 1 6 cos 31 3 1 n n 1 2 当点是的中点时 二面角的余弦值为 MPBDMCB 6 3 考点 1 线面垂直的判定定理 2 空间向量加角余弦公式 20 已知椭圆 的离心率 过左焦点的直线与椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 1 e 1 F 相交于两点 弦的中点坐标为 CBA AB 7 3 7 4 1 求椭圆的方程 C 2 椭圆长轴的左右两端点分别为 点位椭圆上异于的动点 直线 CED PED l 与直线分别交于两点 试问的外接圆是否恒过轴上不4 xPEPD NM MNF1 x 同于点的定点 若经过 求出定点坐标 若不经过 请说明理由 1 F 答案 1 2 1 34 22 yx 7 0 解析 试题分析 1 由离心率得 设点代入 2 1 eca2 2211 yxByxA 椭圆方程 利用点差法可得 进而得椭圆方程 2 先证 1 7 4 0 7 3 c 12 3 4 kk 直线的方程为 得 同理得 圆与轴PD 2 1 xky 2 4 1 kM 6 4 2 kN x 的另一个交点为 进而由解得的值 即过定点 0 mR 11 1 F MF N kk m 试题解析 1 由离心率得 则椭圆的方程为 2 1 eca2 cb3 C 设点 联立 得 则 2 22 34 c yx 2211 yxByxA 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 34 34 c yx c yx 4 3 2 2 2 1 2 2 2 1 xx yy 又 解得 故椭圆的方程1 4 3 21 21 21 21 yy xx xx yy 21 21 xx yy 3 0 7 1 4 7 c 1 cC 为 1 34 22 yx 2 设点 直线的斜率分别为 则 00 yxPPEPD 21 k k 又直线的方程为 令得 4 3 22 0 0 0 0 21 x y x y kkPD 2 1 xky4 x 直线的方程为 令得 则 2 4 1 kM PE 2 2 xky4 x 6 4 2 kN 故的外接圆的直径为 设圆与轴的1 3 6 3 2 21 11 kk kk NFMF MNF1 MNx 另一个交点为 则 解得或 0 mR1 4 6 4 2 21 11 m k m k kk NFMF 7 m 舍去 故过三点的圆是以为直径的圆 过轴上不同于点1 mNMF 1 MNx 的定点 1 F 0 7 R 考点 1 待定系数法求椭圆方程 2 点差法的应用及定点问题 方法点睛 本题主要考查待定系数法求椭圆的方程及 点差法 的应用 属于难题 对于有弦关中点问题常用 点差法 其解题步骤为 设点 即设出弦的两端点坐 标 代入 即代入圆锥曲线方程 作差 即两式相减 再用平方差公式分解因 式 整理 即转化为斜率与中点坐标的关系式 然后求解 本题 1 就是利用 点差法 列方程求解的 21 已知函数 axxxf 1ln 1 当时 求函数的最大值 1 a xf 2 设函数 若对任意都有成立 32 1 2 xxaxfxxg 0 x0 xg 求实数的取值范围 a 答案 1 2 0 2 1 解析 试题分析 1 由得增区间 得减区间 进而可得函数0 xf0 xf 取得最大值 2 讨论三种情况 不合题意 不合 xf0 0 f0a 0 2 1 a 题意 可证时 的最大值为 2 1 a 32 1 2 xxaxfxxg 0 0g 试题解析 1 当时 1 axxxf 1ln 当时 当时 1 1 1 1 1 x x x x xf01 x0 xf0 x 所以函数在上单调递增 在上单调递减 故当0 xf xf 0 1 0 时 函数取得最大值 0 x xf0 0 f 2 由函数得 32 1 2 xxaxfxxg 由 1 知 当时 1 122 1ln xaaxxxg1 a 0 fxf 即不等式对任意恒成立 xx 1ln 1 x 当时 2 1 a 即函数0 1 12 122122 1ln xaaaxxaaxxxg 在上单调递减 从而 满足题意 xg 0 0 0 gxg 当时 存在 使得 0 2 1 a 1 2 1 0 a x0 1 21 0 1ln xax 从而 即函数在内单调递增 故存022 1ln aaxxxg xg 1 2 1 0 a 在 使得 不满足题意 1 2 1 0 0 a x0 0 0 gxg 综上 实数的取值范围是 a 2 1 考点 1 利用导数研究函数的单调性 求函数最值 2 不等式恒成立问题 方法点晴 本题主要考查利用导数研究函数的单调性 求函数的最值以及不等式恒 成立问题 属于难题 不等式恒成立问题常见方法 分离参数 af x 恒成立 min af x 即可 或 af x 恒成立 max af x 即可 数形结合 讨论最 值 min 0f x 或 max 0f x 恒成立 讨论参数 恒成立 不恒成立 不成立 本题 2 就是利用方法 求解的 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 在中 是的角平分线 的外接圆交于点 ABC CDACB ACD BCE 1 证明 BD AD BC AC 2 若 求的值 ACBDAD 2 EC BE 答案 1 证明见解析 2 3 5 解析 试题分析 1 延长至 连接 使得 可证得CDFBFBDBF 再由角平分线得 进而 ADCBFD BCFACD CAD CBF 即可得结论 2 先利用 1 的结论可得 再利用圆的割线定理ADACBC42 得 进而可得的值 BABDBCBE EC BE 试题解析 1 证明 延长至 连接 使得 因为 CDFBFBDBF BDBF 所以 又 所以BDFBFD ADCBDF ADCBFD 又因为是的角平分线 故 则 所以CDACB BCFACD CAD CBF 又 所以 BF AD BC AC BDBF BD AD BC AC 2 解 是的角平分线 所CDACB ACBDAD 22 AD BD AC BC 以 由圆的割线定理得 ADACBC42 BABDBCBE ADBE 2 3 ADADADBC 2 5 2 3 4 5 3 EC BE 考点 1 相识三角形的应用 2 圆的割线定理 23 选修 4 4 坐标系与参数方