必修2立体几何测试卷

高中数学新人教高中数学新人教 A A 版必修版必修 2 2 空间点 直线平面之间的位置 空间点 直线平面之间的位置 关系关系 单元测试单元测试 一 选择题 1 a b是两条异面直线 A 若P为不在a b上的一点 则过P点有且只有一个平面与a b都平行 B 过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个 C 若P为不在a b上的一点 则过P点有且只有一条直线与a b都平行 D 若P为不在a b上的一点 则过P点有且只有一条直线与a b都垂直 2 若三棱锥 S ABC 的项点 S 在底面上的射影 H在 ABC 的内部 且是在 ABC 的垂心 则 A 三条侧棱长相等 B 三个侧面与底面所成的角相等 C H 到 ABC 三边的距离相等 D 点 A 在平面 SBC 上的射影是 SBC 的垂心 3 a b 是异面直线 下面四个命题 过 a 至少有一个平面平行于 b 过 a 至少有一个平面垂直于 b 至少有一条直线与 a b 都垂直 至少有一个平面分别与 a b 都平行 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 4 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 当以 A B C D 四点为顶点的正棱锥体积最大时 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 5 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 A1A AB 2 若棱 AB 上存在一点 P 使得 D1P PC 则棱 AD 的长的取值范围是 A B C D 2 1 2 0 2 0 1 0 二 填空题 6 已知直线 m n 平面 给出下列命题 若 若 则 mm 则mm 若 若异面直线 m n 互相垂直 则存在过 m 的平面与 n 垂直 则 mm 其中正确的命题的题号为 7 设是三条不同的直线 是三个不同的平面 下面有四个命题 lmn ll 若 则 ln mnlm若 则 ll 若 则 lm 若 lm 则 其中假命题的题号为 8 在右图所示的是一个正方体的展开图 在原来的正方体中 有下列命题 AB 与 EF 所在的直线平行 AB 与 CD 所在的直线异面 MN 与 BF 所在的直线成 60 角 MN 与 CD 所在的直线互相垂直 其中正确的命题是 9 有 6 根细木棒 其中较长的两根分别为 a3a2 其余 4 根均为 用它们搭成三棱锥 则其中两条较长的a E N A F C B D M 棱所 在的直线所成的角的余弦值为 10 下面是关于四棱柱的四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等 则该四棱柱为直四棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱为 直四棱柱 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 三 解答题 11 下列五个正方体图形中 是正方体的一条对角线 点M N P分别为其所在棱的中l 点 求能得出 面MNP的图形的序号 写出所有符合要求的图形序号 l 12 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长的 3 侧棱 AA1 D 是 CB 延长线上一点 2 33 且 BD BC 求证 直线 BC1 平面 AB1D 求二面角 B1 AD B 的大小 求三棱锥 C1 ABB1的体积 13 如图 已知四棱锥S ABCD的底面ABCD是正方形 SA 底 面ABCD E是SC上的一点 1 求证 平面EBD 平面SAC 2 设SA 4 AB 2 求点A到平面SBD的距离 3 当的值为多少时 二面角B SC D的大小为 120 SA AB A BC D E S 14 如图 正三角形ABC的边长为 2 D E F分别为各边的中点将 ABC沿DE EF DF 折叠 使A B C三点重合 构成三棱锥A DEF I 求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值 设点M N分别在AD EF上 O 为变量 NF EN MD AM 当 为何值时 MN为异面直线AD与EF的公垂线段 请证明你的结论 设异面直线MN 与AE所成的角为a 异面直线MN与DF所成的角为 试求a 的值 参考答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 D 6 7 8 9 3 6 10 11 为了得到本题答案 必须对 5 个图形逐一进行判别 对于给定的正方体 l位置固定 截面 MNP 变动 l与面 MNP 是否垂直 可从正 反两方面进行判断 在 MN NP MP 三条线 中 若有一条不垂直l 则可断定l与面 MNP 不垂直 若有两条与l都垂直 则可断定l 面 MNP 若有l的垂面 面 MNP 也可得l 面 MNP 解法 1 作正方体 ABCD A1B 1 C1 D1如附图 与题设图形对比讨论 在附图中 三个截面 BA1D EFGHKR 和 CB 1 D1都是对角线l 即 AC1 的垂面 对比图 由 MN BA l MP BD 知面 MNP 面 BA l D 故得l 面 MNP 对比图 由 MN 与面 CB1D1相交 而过交点且与l垂直的直线都应在面 CBl Dl内 所 以 MN 不垂直于l 从而l不垂直于面 MNP 对比图 由 MP 与面 BA l D 相交 知l不垂直于 MN 故l不垂直于面 MNP 对比图 由 MN BD MP BA 知面 MNP 面 BA 1 D 故l 面 MNP 对比图 面 MNP 与面 EFGHKR 重合 故l 面 MNP 综合得本题的答案为 解法 2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为 各图可讨论如下 在图 中 MN NP 在平面上的射影为同一直线 且与l垂直 故 l 面 MNP 事实上 还可这样考虑 l在上底面的射影是 MP 的垂线 故l MP l在 左侧面的射影是 MN 的垂线 故l MN 从而l 面 MNP 在图 中 由 MP 面 可证明 MN 在平面上的射影不是l的垂线 故 l不垂直于 MN 从而l不垂直于面 MNP 在图 中 点 M 在上的射影是l的中点 点 P 在上的射影是上底面的内点 知 MP 在上的射影不是l的垂线 得l不垂直于面 MNP 在图 中 平面垂直平分线段 MN 故l MN 又l在左侧面的射影 即侧面正方形 的 一条对角线 与 MP 垂直 从而l MP 故l 面 MNP 在图 中 点 N 在平面上的射影是对角线l的中点 点 M P 在平面上的射影分 别是上 下底面对角线的 4 分点 三个射影同在一条直线上 且l与这一直线垂直 从而 l 面 MNP 至此 得 为本题答案 12 证明 CD C1B1 又 BD BC B1C1 四边形 BDB1C1是平行四边形 BC1 DB1 又 DB1平面 AB1D BC1平面 AB1D 直线 BC1 平面 AB1D 解 过 B 作 BE AD 于 E 连结 EB1 B1B 平面 ABD B1E AD B1EB 是二面角 B1 AD B 的平面角 来源 Zxxk Com BD BC AB E 是 AD 的中点 2 3 2 1 ACBE 在 Rt B1BE 中 B1EB 60 3 2 3 3 2 3 tan 1 1 BE BB BEB 即二面角 B1 AD B 的大小为 60 解法一 过 A 作 AF BC 于 F B1B 平面 ABC 平面 ABC 平面 BB1C1C AF 平面BB1C1C 且 AF 3 2 3 3 2 3 AFSVV CBBCBBAABBC 111 11111 3 1 即三棱锥 C1 ABB1的体积为 8 27 2 33 3 2 33 2 1 3 1 8 27 解法二 在三棱柱 ABC A1B1C1中 来源 11111111 111 CBAABAACABBC BAAABB VVVSS Z xx k Com 即三棱锥 C1 ABB1的体积为 8 27 2 33 3 4 3 4 3 1 3 1 2 1 111 AAS CBA 8 27 13 1 证明 SA 底面ABCD BD 底面ABCD SA BD ABCD是正方形 AC BD BD 平面SAC 又BD 平面EBD 平面EBD 平面SAC 2 解 设AC BD O 连结SO 则SO BD 由AB 2 知BD 2 2 SO SA2 AO2 42 r 2 2 32 S SBD BD SO 2 3 6 1 2 1 222 A BC D E S O 令点A到平面SBD的距离为h 由SA 平面ABCD 则 S SBD h S ABD SA 1 3 1 3 6h 2 2 4 h 点A到平面SBD的距离为 1 2 4 3 4 3 14 如图 取 DE 的中点 G 连接 AG FG 由题意 AD AE DEF 为正三角形 得 AG DE AGF 为 平面 ADE 与底面 DEF 所成二面角的平面角 由题意得 AG FG 在 AGF 中 2 3 3 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 22 222 FG AG AFFGAG AGFcos 平面 ADF 与底面 DEF 所成二面角的余弦值为 3 1 1 1 时 MN 为异面直线 AD 与 EF 公垂线段 当 1 M 为 AD 的中点 N 为 FF 的中点 连结 AN DN 则由题意 知 AN DN MN AD 同理可证 MN EF 2 3 1 时 MN 为异面直线 AD 与 EF 公垂线段 2 过点 M 作 MH DF 交 AF 于点 H 则 HMN 为异面直线 MN 与 DF