弹性力学在机械设计中的应用

弹性力学在机械设计中的应用弹性力学在机械设计中的应用 在机械的运动分析和运动设计时 通常将机械按刚性系统来分 析设计 这种方法称为静态分析和静态设计 其内容属于刚性力学 的范畴 但是在实际的机械运动当中 许多机械运转速度较高 承 载很大 机械的弹性变形对系统的影响不容忽视 必须将机械系统按 弹性系统进行分析和设计 这就属于弹性力学范畴了 1 弹性力学在凸轮机构设计中的应用 机械中的常用凸轮机构其激振频率 f 与系统最低固有频率之 n f 比 当 z 0 1 时 称为高速凸轮机构 其动态位移误差随 n f z f z 值的增大而急剧增大 必须按弹性系统处理 其分析和设计如下 1 弹性动力学模型的建立 为了简化设计 通常将构件的连续 分布质量看作无质量的弹簧来表示构件的弹性 用无质量 无弹性 的阻尼元件表示系统的阻尼 并忽略一些次要的影响因素 从而把凸 轮机构简化成由若干无弹性的集中质量和无质量的弹簧以及阻尼元 件组成的弹性系统 例如 对于图 1 所示的凸轮机构 在仅考虑从 动件弹性情况下 其动力模型如图 2 所示 其中 m 为从动件质量 为从动件弹性刚度 为力锁合弹簧的弹性刚度 为从动件 fksk c y 输入端 尖底 位移 与凸轮轮廓曲线形状有关 为从动件输出端 s y 位移 c 为阻尼系数 Q 为工作载荷 该弹性系统的运动微分方程为 2 2 ss SF Css d mcQ dt d yy d yyy kK t 2 从动件输出端真实运动规律的确定 当已知 t 时 由式 c y a 可求得从动件输出端的真实位移规律 t 即从动件输出端对 s y 激振的动态位移响应 3 从动件输出端运动规律的选择及凸轮轮廓曲线的设计 在设 计高速凸轮机构时 为使 t 的一阶 二阶导数连续 以避免输 c y 入端冲击 t 应满足四阶导数都连续 当选定 t 后 由式 a s y s y 可求得输入端运动规律 t 再由此设计凸轮轮廓曲线 c y 2 弹性力学在齿轮机构设计中的应用 齿轮机构在设计时也运用了弹性力学的知识 渐开线作为齿廓 曲线存在诸多优点 但用弹性力学知识加以分析便得出它存在一些 固有的缺陷 现简要说明如下 当两齿轮啮合传动时 根据弹性力学中的赫兹公式知 两齿轮 在接触处的最大接触应力为 max 式中 P 为两齿 0 418 面在接触线单位长度上的载荷 E 为与两轮材料有关的综合弹性 模量 它与两轮材料的弹性模量 E1 E2 的关系是 E 2 E1 E2 E1 E2 为两轮齿廓在接触点处的综合曲率半径 它 与两轮齿廓在接触处的曲率半径 1 2 的关系是 1 1 1 1 2 式中正号用于外啮合 负号用于内啮合 由赫 兹公式可见 在其它条件相同的情况下 要降低 max 就必须增 大 对于渐开线齿轮传动来说 由于要增大 即 1 2 就需要增大齿轮机构的尺寸 而 的增大是很有限的 所以难以 进一步达到尺寸小 而承载能力大幅度提高的目的 3 弹性力学在轴设计中的应用 轴上回转零件的质量分布往往不均匀 由此产生的离心力将使 轴出现强迫振动 若强迫振动频率与轴的自振频率相同或接近时 则轴的运转就不稳定 振幅急剧增大 出现共振现象 使机器产生 强烈振动 因此对高转速的轴 如汽轮机主轴 发动机曲轴等设计 时振动计算尤其重要 此时必须运用弹性力学知识 如图 3 所示 设圆盘的质量为 m 圆盘质心与轴线有一偏心距 e 忽略轴的自重及 阻尼影响 当轴静止时 圆盘在重力作用下产生的静挠度为 当 s y 圆盘以角速度旋转时 由于圆盘不平衡产生离心力 并使轴产生 动挠度 此时圆盘质心离开轴静挠度曲线的距离为 e 所以 d y d y 产生的离心力为 F 轴弯曲变形后产生的弹性反力为 2 d e y m F 根据平衡条件得 ydk 2 yd Yde mk 2 1 d e k y m 忽略阻尼的情况下 当 时 则值趋于无穷大 这就是 k m d y 共振现象 发生共振时的角速度称为临界角速度 即 c 在相对应的转速称临界转速 则 c k rad m cn 为避免轴产生共振现象 对于刚性轴取 30 min c k m r n 对于挠性轴取 0 75 0 8 c n