二次函数综合题解题方法与技巧

C xx yy A O B E D ACB C D G 图 1图 2 A PO B E C x y 压轴题解题技巧练习 引言 解数学压轴题一般可以分为三个步骤 认真审题 理解题意 探究解题思路 正确解 答 审题要全面审视题目的所有条件和答题要求 在整体上把握试题的特点 结构 以利于解题 方法的选择和解题步骤的设计 解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想 如转化思想 数形结合思想 分类讨论思想及方程的思想等 认识条件和结论之间的关系 图形 的几何特征与数 式的数量 结构特征的关系 确定解题的思路和方法 当思维受阻时 要及时 调整思路和方法 并重新审视题意 注意挖掘隐蔽的条件和内在联系 既要防止钻牛角尖 又要 防止轻易放弃 一 动态 动点 动线 1 1 如图 抛物线与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 且x1 x2 与y轴交于点C 0 4 其中 x1 x2是方程x2 2x 8 0 的两个根 1 求这条抛物线的解析式 2 点P是线段AB上的动点 过点P作 PE AC 交BC于点E 连接CP 当 CPE 的面积最大时 求点P的坐标 3 探究 若点Q是抛物线对称轴上的点 是否存在这样的点Q 使 QBC成为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标 若不存在 请说明理由 2 2 圆圆 2 2 如图 10 已知点 A 3 0 以 A 为圆心作 A 与 Y 轴切于原点 与 x 轴的另一个交点为 B 过 B 作 A 的切线 l 1 以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C 0 9 求此抛物线的解析式 2 抛物线与 x 轴的另一个交点为 D 过 D 作 A 的切线 DE E 为切点 求此切线长 3 点 F 是切线 DE 上的一个动点 当 BFD 与 EAD 相似时 求出 BF 的长 2 3 3 如图 1 在平面直角坐标系xOy 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象顶点为D 与y轴交于 点C 与x轴交于点A B 点A在原点的左侧 点B的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 1 3 1 求这个二次函数的解析式 2 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M N 且以MN为直径的圆与x轴相切 求该圆的 半径长度 3 如图 2 若点G 2 y 是该抛物线上一点 点P是直线AG下方的抛物线上的一动点 当点 P运动到什么位置时 AGP的面积最大 求此时点P的坐标和 AGP的最大面积 4 在平面直角坐标系中 已知A 4 0 B 1 0 且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点 C 过点C作圆的切线交x轴于点D 1 求点C的坐标和过A B C三点的抛物线的解析式 2 求点D的坐标 3 设平行于x轴的直线交抛物线于E F两点 问 是否存在以线段EF为直径的圆 恰好与x 轴相切 若存在 求出该圆的半径 若不存在 请说明理由 四 比例比值取值范围 5 5 图 9 是二次函数的图象 其顶点坐标为 M 1 4 kmxy 2 1 求出图象与轴的交点 A B 的坐标 x 2 在二次函数的图象上是否存在点 P 使 若存在 求出 P 点的坐标 若不 MABPAB SS 4 5 存在 请说明理由 3 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折 图象的其xx 余部分保持不变 得到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线与此图象有两个公共点时 的取值范围 1 bbxyb y xO C DBA 1 4 3 6 6 如图 在平面直角坐标系中 矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上 cm 8 2OA OC 8cm 现有两动点P Q分别从O C同时出发 P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm 的2 速度匀速运动 Q在线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动 设运动时间为t秒 1 用t的式子表示 OPQ的面积S 2 求证 四边形OPBQ的面积是一个定值 并求出这个定值 3 当 OPQ与 PAB和 QPB相似时 抛物线经过B P两点 过线段BP上 2 1 4 yxbxc 一动点M作轴的平行线交抛物线于N 当线段MN的长取最大值时 求直线MN把四边形y OPBQ分成两部分的面积之比 7 7 在平面直角坐标系中 抛物线与轴交于两点 点在点的左xOy 2 yaxbxc xAB AB 侧 与轴交于点 点的坐标为 若将经过两点的直线沿轴向yCA 3 0 AC ykxb y 下平移 3 个单位后恰好经过原点 且抛物线的对称轴是直线 2x 1 求直线及抛物线的函数表达式 AC 2 如果P是线段上一点 设 的面积分别为 且ACABP BPC ABP S BPC S 求点P的坐标 2 3 ABPBPC SS 3 设的半径为 l 圆心在抛物线上运动 则在运动过程中是否存在与坐标轴相QAQQA 切的情况 若存在 求出圆心的坐标 若不存在 请说明理由 并探究 若设 Q的半径为 Qr 圆心在抛物线上运动 则当取何值时 Q与两坐轴同时相切 Qr 五 探究型 B A P x C Q O y 第 26 题图 4 8 8 如图 直线33 xy交x轴于 A 点 交y轴于 B 点 过 A B 两点的抛物线交x轴于另一点 C 3 0 求抛物线的解析式 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使 ABQ 是等腰三角形 若存在 求出符合条件的 Q 点坐标 若不存在 请说明理由 9 9 已知 如图 在平面直角坐标系xOy中 矩形OABC的边OA在轴的正半轴上 OC在轴的正yx 半轴上 OA 2 OC 3 过原点O作 AOC的平分线交AB于点D 连接DC 过点D作DE DC 交 OA于点E 1 求过点E D C的抛物线的解析式 2 将 EDC绕点D按顺时针方向旋转后 角的一边与轴的正半轴交于点F 另一边与线段y OC交于点G 如果DF与 1 中的抛物线交于另一点M 点M的横坐标为 那么 5 6 EF 2GO是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 对于 2 中的点G 在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q 使得直线GQ与AB的交 点P与点C G构成的 PCG是等腰三角形 若存在 请求出点Q的坐标 若不存在 请说 明理由 1010 如图 抛物线y ax 2 bx c a 0 与 x轴交于A 3 0 B两点 与y轴相交于点C 0 A D B C E Ox y y Ox C N B P MA y xOC B A 5 当x 4 和x 2 时 二次函数y ax 2 bx c a 0 的函数值y相等 连结AC BC 3 1 求实数a b c的值 2 若点M N同时从B点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA BC边运动 其中一个 点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为t秒时 连结MN 将 BMN沿MN翻折 B 点恰好落在AC边上的P处 求t的值及点P的坐标 3 在 2 的条件下 抛物线的对称轴上是否存在点Q 使得以B N Q为顶点的三角形与 ABC相似 若存在 请求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 6 最值类 1111 如图 11 在平面直角坐标系中 二次函数的图象与x轴交于A B两点 Acbxxy 2 点在原点的左侧 B点的坐标为 3 0 与 y 轴交于C 0 3 点 点P是直线BC下方的抛物 线上一动点 1 求这个二次函数的表达式 2 连结PO PC 并把 POC沿CO翻折 得到四 边形POP C 那么是否存在点P 使四边形POP C 为菱形 若存在 请求出此时点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 当点P运动到什么位置时 四边形