解答题规范专练(四)　立体几何

解答题规范专练 四 立体几何 1 2013 南通模拟 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 AA1 2 E 为 棱 CC1的中点 1 求证 AC1 平面 B1DE 2 求三棱锥 A BDE 的体积 2 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC ABC 为正三 角形 D E 分别是 BC CA 的中点 1 证明 平面 PBE 平面 PAC 2 在 BC 上找一点 F 使 AD 平面 PEF 并说明理由 3 如图是某直三棱柱 侧棱与底面垂直 被削去上底后的直观图与三视图的左视图 俯 视图 在直观图中 M 是 BD 的中点 左视图是直角梯形 俯视图是等腰直角三角形 有 关数据如图所示 1 求出该几何体的体积 2 求证 EM 平面 ABC 3 试问在棱 DC 上是否存在点 N 使 NM 平面 BDE 若存在 确定点 N 的位置 若 不存在 请说明理由 答 案 1 解 1 证明 取 BB1的中点 F 连接 AF CF EF E F 分别是 CC1 BB1的中点 CE 綊 B1F 四边形 B1FCE 是平行四边形 CF B1E E F 是 CC1 BB1的中点 EF 綊 BC 又 BC 綊 AD EF 綊 AD 四边形 ADEF 是平行四边形 AF ED AF CF F B1E ED E 平面 ACF 平面 B1DE 又 AC 平面 ACF AC 平面 B1DE 2 由条件得 S ABD AB AD 2 1 2 VA BDE VE ABD S ABD EC 1 3 2 1 1 3 2 3 即三棱锥 A BDE 的体积为 2 3 2 解 1 证明 PA 平面 ABC BE 平面 ABC PA BE ABC 为正三角形 E 是 CA 的中点 BE AC 又 PA AC 平面 PAC PA CA A BE 平面 PAC BE 平面 PBE 平面 PBE 平面 PAC 2 取 F 为 CD 的中点 连接 EF E F 分别为 AC CD 的中点 EF 是 ACD 的中位线 EF AD 又 EF 平面 PEF AD 平面 PEF AD 平面 PEF 3 解 由题意 EA 平面 ABC DC 平面 ABC AE DC AE 2 DC 4 AB AC 且 AB AC 2 1 EA 平面 ABC EA AB 又 AB AC EA AC A AB 平面 ACDE 四棱锥 B ACDE 的高 h AB 2 梯形 ACDE 的面积 S 6 VB ACDE Sh 4 即所求几何体的体积为 4 1 3 2 证明 M 为 DB 的中点 取 BC 中点 G 连接 EM MG AG MG DC 且 MG DC 1 2 MG 平行且等于 AE 四边形 AGME 为平行四边形 EM AG 又 AG 平面 ABC EM 平面 ABC EM 平面 ABC 3 由 2 知 EM AG 又 平面 BCD 底面 ABC AG BC AG 平面 BCD EM 平面 BCD 又 EM 平面 BDE 平面 BDE 平面 BCD 在平面 BCD 中 过 M 作 MN DB 交 DC 于点 N MN 平面 BDE 点 N 即为所求的点 DMN DCB 即 DN DB