高等数学模拟试题一

高等数学模拟试题一高等数学模拟试题一 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 1 函数的极小值为 2 exexf x 2 积分 dxxe x 2 0 1 3 曲线在点 0 1 处的切线方程是 xxyxy ln sin 4 设 则 xyyxyxD 0 1 22 dxdye yx D 22 5 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A 1 2 3 B 3 4 5 C 2 4 7 则三角形 ABC 的面积为 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 6 设函数 则 1 1sin 2 x x xf A 为可去间断点 为无穷间断点 1 x1 x B 为无穷间断点 为可去间断点 1 x1 x C 和均为可去间断点 1 x1 x D 和均为无穷间断点 1 x1 x 7 设函数可微 则的微分 dy xf 1 x efy A B dxefe xx 1 1 dxefe xx 1 1 C D dxefe xx 1 dxefe xx 1 8 设函数连续 则 xfdttfxF x 0 2 xF A B 2 xf 2 xf C D 2 2 xxf 2 2 xxf 9 设函数连续 交换二次积分次序得 yxf dxyxfdy y 0 22 1 0 A B dyyxfdx x 2 1 0 0 2 dyyxfdx x 0 2 1 0 2 C D dyyxfdx x 21 0 2 0 dyyxfdx x 0 2 1 2 0 10 发散 则若常数项级数 1n n a A B 0lim n n a可能有0lim n n a一定有 C D n n alim一定有0lim n n a一定有 三 解答题 每小题三 解答题 每小题 7 分 共分 共 42 分 分 11 试求 上连续 且 在设 xFbaxdttftxxFbaxf x a 12 求极限 2sin 1 lim 2 nn n n 13 在其上的温度布为米一金属棒长为 10 105 40 50 40 10 5 xe x xT x 求金属棒的平均温度值 14 设 求 xx x xf 22 coscsc sin 1 sin xf 15 求幂级数的收敛区间 并求和函数 1 1 2 1 n n n x n 16 已知 y z x z xyzez 求 四 证明题 本题四 证明题 本题 8 分 分 17 求证 当时xe x x 1 1 1 五 应用题 本题五 应用题 本题 10 分 分 18 设非负函数在上满足 曲线与直 xf 1 0 xfxfx 2 2 3 x a xfy 线及坐标轴围成图形的面积为 2 1 x 1 求函数 xf 2 为何值时 所围图形绕轴一周所得旋转体的体积最小 ax 高等数学模拟试题一解答高等数学模拟试题一解答 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 1 函数的极小值为 22 exexf x 2 积分 dxxe x 2 0 1 22 2 e 3 曲线在点 0 1 处的切线方程是 xxyxy ln sin 1 xy 4 设 则 xyyxyxD 0 1 22 dxdye yx D 22 1 8 e 5 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A 1 2 3 B 3 4 5 C 2 4 7 则三角形 ABC 的面积为 S ABC 1 4 6 2 2 ijk 222 1 4 6 2 2 14 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 4 分 共分 共 20 分 分 6 设函数 则 B 1 1sin 2 x x xf A 为可去间断点 为无穷间断点 1 x1 x B 为无穷间断点 为可去间断点 1 x1 x C 和均为可去间断点 1 x1 x D 和均为无穷间断点 1 x1 x 7 设函数可微 则的微分 dy D xf 1 x efy A B dxefe xx 1 1 dxefe xx 1 1 C D dxefe xx 1 dxefe xx 1 8 设函数连续 则 C xfdttfxF x 0 2 xF A B 2 xf 2 xf C D 2 2 xxf 2 2 xxf 9 设函数连续 交换二次积分次序得 A yxf dxyxfdy y 0 22 1 0 A B dyyxfdx x 2 1 0 0 2 dyyxfdx x 0 2 1 0 2 C D dyyxfdx x 21 0 2 0 dyyxfdx x 0 2 1 2 0 10 D发散 则若常数项级数 1n n a A B 0lim n n a可能有0lim n n a一定有 C D n n alim一定有0lim n n a一定有 三 解答题 每小题三 解答题 每小题 7 分 共分 共 42 分 分 11 试求 上连续 且 在设 xFbaxdttftxxFbaxf x a 解 解 F xxf t dttf t dt a x a x x a x a dttfxxfxxfdttfxF Fxf x 12 求极限 2sin 1 lim 2 nn n n 解 原式 limsin n nnn 2 2 limsin n n nn 2 2 2 lim n n nn 2 2 2 lim n n 2 1 2 1 2 13 在其上的温度布为米一金属棒长为 10 105 40 50 40 10 5 xe x xT x 求金属棒的平均温度值 解 解 Tedx x 1 10 40540 5 10 5 10 dxe x 10 5 10 5 420 10 5 10 5 4020 x e 1 4020 2 1 e 2 1 4060 e 7 35 14 设 求 xx x xf 22 coscsc sin 1 sin xf 1sin sin 2 sin 1 sin 1 2 xxf x x 3 sin 2 sin 1 x x 3 2 xxf 15 求幂级数的收敛区间 并求和函数 1 1 2 1 n n n x n 解 1 1 21 1 22 n n n n an an 2R 当时 收敛 当时 发散2x 1 1 2 2 n n n n 2x 1 1 2 2 n n n n 即收敛区间为 2 2 设 则两边求积分得 1 1 2 n n n x S x n 0 1 2 22 1 2 n x n n x xx S x dx x x 2 2 22 2 S xx x 16 已知 y z x z xyzez 求 解 两边对 x 求偏导得 1 z z zzzyzyz eyzxy xxxxy zexy 两边对 y 求偏导得 1 z z zzzxzxz exzxy yyyxy zexy 四 证明题 本题四 证明题 本题 8 分 分 17 求证 当时xe x x 1 1 1 1 1 xexxf x 令 x xexf 当时 当时 xfx xfx 00 010 故为函数极大值 也是最大值f 01 即当时 xf xf x e x 101 11 即 e x x 1 1 五 应用题 本题五 应用题 本题 10 分 分 18 设非负函数在上满足 曲线与直线 xf 1 0 xfxfx 2 2 3 x a xfy 及坐标轴围成图形的面积为 2 1 x 1 求函数 xf 2 为何值时 所围图形绕轴一周所得旋转体的体积最小 ax 解 1 由方程得时 当0 x a x xfxfx 2 3 2 a x xf 2 3 故得 xCxaxf 2 2 3 1 0 d 2xxf xxCxad 2 3 2 1 0 22 Ca aC 4xaxaxf 4 2 3 2 2 旋转体体积 xxfVd 1 0 2 16 10 1 3 2 aa 01 5 1 3 aV 令5 a得 5 a V 0 15 为唯一极小点 因此时 V 取最小值 5 a5 a 高等数学模拟试题二高等数学模拟试题二 一 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 向量满足 则 a b 5 1 3aba b a b 2 函数 当 则 xy ze 1 1 0 15 0 1xyxy dz 3 级数的收敛域 1 1 n x n 4 21 lim 22222 nn n n n n n n 5 0 dtte pt 二 选择题 每小题 4 分 共 20 分 6 若级数在处收敛 则此级数在处 1 1 n n n ax 1x 2x A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定 7 设函数 y f x 可导 且 则当时 该函数在 x0处的微分是 2 1 0 x f0 x A x 的等阶无穷小 B x 的同阶无穷小 C x 的高阶无穷小 D x 的低阶无穷小 8 对于不定积分 在下列等式中正确的是 dxxf A B xfdxxfd xfxdf C D xfdxxf xfdxxf dx d 9 的间断点类型是 2 sin 1 1 2 x x arctgx xf A 可去 B 跳跃 C 无穷 D A B C 都有 10 微分方程的一个特解 应具有形式 x eyyy 2 44 A B C D x eax 22x axe2 x ae2bax 三 解答题 每小题 7 分 共 42 分 11 设 且存在 求0 1 f 1 f tan 1 cos sin lim 2 0 xe xxf x x 12 求 0 1 arctan arctanlim 2 a n a n a n n 13 计算 d2sin1 2 0 xxI 14 计算重积分 其中 D 为圆域 dxdyyx D 4 22 16 22 yx 15 求的和函数及收敛范围 1 1 n n nn x 16 已知函数 试求 1 的单调区间 2 2 1 2 x x xf xf 2 的凹凸区间及拐点 3 曲线的渐近线 xf xfy 四 证明题 本题 8 分 17 证明当时 函数 是单调增的 0 x x t dte x xf 0 21 五 应用题 本题 10 分 18 在旋转椭球面上 求距平面为最近和最远的点 1 96 22 2 zy x 2881243 zyx 高等数学模拟试题二解答高等数学模拟试题二解答 一 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 向量满足 则 4 a b 5 1 3aba b a b 2 函数 当 则0 25e xy ze 1 1 0 15 0 1xyxy dz 3 级数的收敛域 1 1 n x n x1 4 21 lim 22222 nn n n n n n n 4 5 0 dtte pt 2 1 p 二 选择题 每小题 4 分 共 20 分 1 若级数在处收敛 则此级数在处 B 1 1 n n n ax 1x 2x A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定 2 设函数 y f x 可导 且 则当时 该函数在 x0处的微分是 2 1 0 x f0 x B A x 的等阶无穷小 B x 的同阶无穷小 C x 的高阶无穷小 D x 的低阶无穷小 3 对于不定积分 在下列等式中正确的是 D dxxf A B xfdxxfd xfxdf C D xfdxxf xfdxxf dx d 4 的间断点类型是 D 2 sin 1 1 2 x x arctgx xf A 可去 B 跳跃 C 无穷 D A B C 都有 5 微分方程的一个特解 应具有形式 A x eyyy 2 44 A B C D x eax 22x axe2 x ae2bax 三 解答题 每小题 7 分 共 42 分 1 设 且存在 求0 1 f 1 f tan 1 cos sin lim 2 0 xe xxf x x 解 2 2 0 cos sin lim x xxf x 2 2 2 2 0 1cossin 1cossin 1cossin1 lim x xx xx xxf x 1 f 2 1 1 1 2 1 f 2 求 0 1 arctan arctanlim 2 a n a n a n n 解法解法 1 利用中值定理求极限 原式 1 1 1 lim 2 2 n a n a n n 2 2 1 1 lim a nn n n a 解法解法 2 利用罗必塔法则 原式 2 1 arctanarctan lim x x b x a x x t 1 令 2 0 arctanarctan lim t t b t a t 0 1 arctan arctanlim 2 a n a n a n n a 3 d2sin1 2 0 xxI xxxId cos sin 2 0 2 xxxdcossin 2 0 xxxd sin cos 4 0 xxxd cos sin 2 4 cos sinxx 0 4 sincos xx 4 2 12 2 4 计算重积分 其中 D 为圆域 dxdyyx D 4 22 16 22 yx 解 2222 222222 4416 4 4 4 Dxyxy xydxdyxydxdyxydxdy 2224 22 0002 24 44 22 02 4 4 2 2 2 2 86472 44 dr rdrdrrdr rr rr 5 求的和函数及收敛范围 1 1 n n nn x 解 1 1 n a n n 1 1 limlim1 1 2 n nn n an n ann 1 1R 又时 级数收敛 故收敛区间为 1x 1 1 记 则有 12 111 1 1 nnn nnn xxx S xS xSx n nnn 1 1 1 1 11 1 n n Sxxx x 1 0 ln 1 1 x dx S xx x 又 22 11 11 11 n n nn xx xSxxSxxx nx 2 0 ln 1 1 xxdx xSxxx x 2 ln 1 0 1 x xSx x 又 ln 1 1ln 1 0 0 0 x x x S xx x 1 1 limlim 1 1 1 n nn xSS n 6 已知函数 试求 1 的单调区间 2 2 1 2 x x xf xf 2 的凹凸区间及拐点 3 曲线的渐近线 xf xfy 解 1 当 或时 单调减少 0 x x1 xf 当时 单调增加 10 x xf 2 当时 曲线凸 当 时 2 1 x xfy 1 2 1 x x1 曲线凹 是曲线的拐点 xfy 2 2 1 3 水平渐近线 铅垂渐近线 2 y1 x 六 证明当时 函数 是单调增的 8 分 0 x x t dte x xf 0 21 证证 由于 设 2 0 22 x dtexe xf x tx x tx dtexexg 0 22 0 0 g 单调增 022 2222 22 xxxx exeexexg xg 对 有 即 单调增 0 x0 0 gxg0 xf xf 五 在旋转椭球面上 求距平面为最近和最远的点 101 96 22 2 zy x 2881243 zyx 分 解 因为 2 2 3412288 169 xyz d 设 则有 2 222 3412288 1 96 x F x y zxyzyz 2 22 1 6 3412288 0 48 8 3412288 20 4 3412288 20 10 96 x y z Fxyzx Fxyzy Fxyzz x Fyz 解得 72 3 16xy yz 得点的坐标为和 1 3 9 8 8 13 9 88 把点和代入距离公式得 1 3 9 8 8 13 9 88 1212 320 13 13 dddd 故最近点为 最远点为 1 3 9 8 8 13 9 88 高等数学模拟试题三高等数学模拟试题三 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 20 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内一项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 下列函数中 奇函数是 xx 22 A 1ln B 2 xx 1 1 C x x e ex 0 arctan 3 x x x xD 2 当时 下列哪个是的高阶无穷小 0 xx xx2sin A xxsintan B xxsin C 2 2 cos Dx 等于则处可导在设 x xxfxf xxxf x lim 3 00 0 0 A 0 x f B 0 x f 2 C 0 x f D 0 xf 数的原函数是下列函数对中是同一函 4 1221 A xx与xxcossin B 与 x e 与 x e Cxxx 222 sin2cossin D与 2 0 0 sin lim 5 x tdt x x A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 40 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 的定义域是函数xxy 6 0 1 7xffxxxf nn 则设函数 aax x x 则已知 2 1 lim 8 1 0 处的切线方程是上点曲线 1 1 9 3 xy 1100 10 5 xfxxf则设 1 11 2 xd 12 fbabaxf使得则必存在上可导在如果 dx x 1 0 2 1 13 dxxdxx 1 0 3 1 0 2 14的大小比较下列定积分 x z zyx则设 432 15 222 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 6 6 分分 共共 2424 分 分 xx xx x sin tan lim 16 0 求极限 的极值求函数 2 1 17 x x f x dx x 32 2 1 18 求不定积分 xdxx 2 sec 19 求不定积分 四 综合题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 20并求其值若收敛散性判定下列广义积分的敛 dx xx dx x x e 1 2 1 1 2 ln 1 l 21 最大窗户的面积少时问矩形的宽和高各为多周长为定值 要求窗户的宽半圆的直径等于矩形