高一数学必修一---函数知识点总结

第 1 页 共 4 页 3 函数值域的求法 函数值域的求法 配方法配方法 转化为二次函数 利用二次函数的特征来求值 常转化为型的形式 2 nmxcbxaxxf 逆求法 反求法 逆求法 反求法 通过反解 用来表示 再由的取值范围 通过解不等式 得出的取值范围 常用来解 yxxy 型如 nmx dcx bax y 换元法换元法 通过变量代换转化为能求值域的函数 化归思想 常针对根号 举例常针对根号 举例 2 1 2 9 5 令 原式转化为 再利用配方法 2 1 则 2 2 1 2 1 9 5 2 5 2 利用函数有界法利用函数有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 基本不等式法基本不等式法 转化成型如 利用平均值不等式公式来求值域 0 k x k xy 单调性法单调性法 函数为单调函数 可根据函数的单调性求值域 数形结合数形结合 根据函数的几何图形 利用数型结合的方法来求值域 二 函数的性质 1 函数的单调性 局部性质 1 增函数 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增 函数 区间 D 称为 y f x 的单调增区间 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2 时 都有 f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 区间 D 称为 y f x 的单调减区 间 注意 函数的单调性是函数的局部性质 单调性 单调性 定义 注意定义是相对与某个具体的区间而言 增函数 减函数 x 212121 xfxfxxbax 对任意的 x 212121 xfxfxxbax 对任意的 注 函数上的区间 I 且 x1 x2 I 若 0 x1 x2 则函数 f x 在区间 I 上是增函数 21 21 xx xfxf 若 0 x1 x2 则函数 f x 是在区间 I 上是减函数 21 21 xx xfxf 用定义证明单调性的步骤用定义证明单调性的步骤 设 x1 x2 M 且 则 21 xx 作差整理 21 xfxf 判断差的符号 下结论 增 增 增 减 减 减 复合函数 y f g x 单调性 同增异减 内层 外层 则 xfyxuufy 2 图象的特点 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数y f x 在这一区 u O 1 2 x 第 2 页 共 4 页 间上具有 严格的 单调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函 数的图象从左到右是下降的 3 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 任取 x1 x2 D 且 x1 x2 1 作差 f x1 f x2 2 变形 通常是因式分解和配方 3 定号 即判断差 f x1 f x2 的正负 4 下结论 指出函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性 5 B 图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性 复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相 关 其规律 同增异减 注意 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集 8 函数的奇偶性 整体性质 1 偶函数 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做偶函数 2 奇函数 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做奇函数 3 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤 首先确定函数的定义域 并判断其是否关于原点对称 1 确定 f x 与 f x 的关系 2 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函 3 数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 注意 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数 的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 1 再根 据定义判定 2 由 f x f x 0 或f x f x 1 来判定 3 利用定理 或借助函数的图象判定 奇偶性 奇偶性 定义 注意区间是否关于原点对称 比较 f x 与 f x 的关系 f x f x 0 f x f x f x 为偶函数 f x f x 0 f x f x f x 为奇函数 注 若 f x 为偶函数 则 f x f x f x 若 f x 为奇函数且定义域中含 0 则 f 0 0 如 若 为奇函数 则实数f x aa a x x 22 21 为奇函数 又 f xxRRf 000 即 aa a 22 21 01 0 0 周期性周期性 若 f x T f x 且 T 0 的常数 则 T 是函数 f x 的周期 第 3 页 共 4 页 若 f x a f x b a b 为常数且 a b 则 b a 是函数 f x 的周期 1 定义 函数的周期性的定义及常用结论 一般地 对于函数 f x 如果对于定义域中的任意一个 x 的值 若 f x T f x T 0 则 f x 是周期函数 T 是它的一个周期 若 f x a f x b a b 则 f x 是周期函数 b a 是它的一个周期 2 函数的周期性的定义及常用结论 一般地 对于函数 f x 如果对于定义域中的任意一个 x 的值 若 f x T f x T 0 则 f x 是周期函数 T 是它的一个周期 若 f x a f x b a b 则 f x 是周期函数 b a 是它的一个周期 3 有关对称性的几个重要结论 一般地 对于函数 f x 如果对于定义域内的任意一个 x 的值 若 f x a f b x 则函数 f x 的图象关于直线 x 对称 特别地 若 f a x f a x 则函数 f x 的图象关于直 a b 2 线 x a 对称 若 f a x f b x 则函数 f x 的图象关于点 0 中心对称 特别地 若 f a x f a x 则函数 f x 的图象 a b 2 关于点 a 0 中心对称 4 对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系 紧密相关的 一般地 若 f x 的图象有两条对称轴 x a 和 x b a b 则 f x 必为周期函 数 且 2 b a 是它的一个周期 若 f x 的图象有两个对称中心 a 0 和 b 0 a b 则 f x 必为周期函数 且 2 b a 为它的一 个周期 若 f x 的图象有一条对称轴 x a 和一个对称中心 b 0 a b 则 f x 为周期函数 且 4 b a 是它的一个周期 对称性对称性 若 f x a f b x 则函数 f x 关于直线 x 对称 即 一均二等 的原则 2 ba 若函数 y f x a 和函数 y f b x 则函数 y f x a 和函数 y f b x 关于直线 x 对称 2 ab 你还知道函数 y f x 关于直线 x 0 即 y 轴 直线 y 0 即 x 轴 原点 9 函数的解析表达式 1 函数的解析式是函数的一种表示方法 要求两个变量之间的函数关系时 一是要求出它们之间的对应法则 二是要求出函数的定义域 2 求函数的解析式的主要方法有 1 凑配法 2 待定系数法 3 换元法 4 消参法 10 函数最大 小 值 定义见课本 p36 页 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 1 利用图象求函数的最大 小 值 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数 y f x 在 x b 处有最小值 f b 例题 第 4 页 共 4 页 1 求下列函数的定义域 2 215 33 xx y x 2 1 1 1 x y x 2 设函数的定义域为 则函数的定义域为 f x 01 f x 2 3 若函数的定义域为 则函数的定义域是 1 f x 23 21 fx 4 函数 若 则 2 2 1 12 2 2 xx f xxx x x 3f x x 5 求下列函数的值域 2 23yxx xR 2 23yxx 1 2 x 3 4 1 2yxx 2 45yxx 6 已知函数 求函数 的解析式 2 1 4f xxx f x 21 fx 7 已知函数满足