高数1—极限与连续

1 高数复习题 1 极限与连续 一 填空题 1 函数的定义域为 2 9 2ln 1 x x xf 函数的反函数为 210 1 x y 设 则 e ax ax x x 2 2 2 2 lim a 当 时 若 与 等价 则 0 x121 53 x b ax a b 已知 则 2 2 lim 0 xf x x x xf x lim 0 二 单项选择题 1 若数列满足 则数列在的任一邻域之外之外 其中 数列中 n xaxn n lim n xa 0 的点 必不存在 至多只有有限多个 必定有无穷多个 可以有有限多个 也可以有无穷多个 2 考察下列命题 若数列满足 且 则 n x Nnxn 0axn n lim0 a 若数列满足 且 则 n x Nnxn 0axn n lim0 a 设 且 则存在 当时 有 axn n lim0 a0 NNn 5 a xn 设 且 则存在 当时 有 axn n lim0 a0 NNn 0 n x 正确的命题是 3 下列结论错误的是 函数是有界函数 B 当时 函数的极限存 x xf 1 sin 0 x x xf 1 sin 在 C 是奇函数 D 当时 是无穷小量 x xf 1 sin 0 x x xxf 1 sin 4 设 则 3 32 1 1 lim 0 x axxx x a 1 2 1 2 2 5 设 则当时 x x xf 1 1 xxg 1 1 x 和是等价无穷小量 B 是的高阶无穷小量 fgfg C 是的低阶无穷小量 D 和是同价无穷小量但非等价量 fgfg 6 极限 1 1 2 1 1 1 lim x x e x x 2 0 不存在但不为 7 设 则 ba 0 nnn n balim 1 B 0 C D ab 8 下列运算过程正确的是 0000 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 1 11 lim nnnnnnnn nnnn B 0lim tansin lim 33 x xx x xx xx C 2 1 4 2 lim 4arcsin 2tan lim 00 x x x x xx D 0 1 sinlim lim 1 sinlim 000 x x x x xxx 9 设函数 讨论函数的间断点 其结论为 n n x x xf 2 1 1 lim xf 不存在间断点 是的间断点 xf1 x xf 是的间断点 是的间断点 0 x xf1 x xf 10 设 在处连续 则 0 0 2 1sin xax x x e xf x 0 x a 2 2 2 1 2 1 三 设 求的表达式 1 lim n n xnxf xf 四 设函数 讨论函数的连续性 并指出间断点的类型 x x xf x x sin 12 12 1 1 3 五 设在上连续 求 0 01 1 sin xae x x x xf x a 六 计算极限 1 2 11 lim 22 xxxx x tan 1 sin 1 1 lim 0 xxx x 七 设 证明存在 并求 1 1 x n n n x x x 1 1 1 nn 2 1 n n x lim n n x lim 八 已知 求 0 42 lim 2 baxxx x ba 九 设是三次多项式 且 xf1 4 lim 2 lim 42 x xf x xf xx 1 求 2 求 3 2 f 4 f xf 3 lim 3 x xf x 十 设在区间上连续 是两个任意给定的正数 证明存 xf babdca qp 在 使得 ba dqfcpffqp 4 参 考 答 案 一 填空题 1 函数的定义域为 2 9 2ln 1 x x xf 2 1 1 3 函数的反函数为 210 1 x y2 2lg 1 xxy 设 则 e ax ax x x 2 2 2 2 lim a 2 1 当 时 若 与 等价 则 3 0 x121 53 x b ax a 5 2 b 已知 则 2 2 lim 0 xf x x x xf x lim 0 4 1 二 单项选择题 1 若数列满足 则数列在的任一邻域之外之外 其中 数列中 n xaxn n lim n xa 0 的点 B 必不存在 至多只有有限多个 必定有无穷多个 可以有有限多个 也可以有无穷多个 2 考察下列命题 若数列满足 且 则 n x Nnxn 0axn n lim0 a 若数列满足 且 则 n x Nnxn 0axn n lim0 a 设 且 则存在 当时 有 axn n lim0 a0 NNn 5 a xn 设 且 则存在 当时 有 axn n lim0 a0 NNn 0 n x 正确的命题是 B 3 下列结论错误的是 B 函数是有界函数 B 当时 函数的极限存 x xf 1 sin 0 x x xf 1 sin 在 C 是奇函数 D 当时 是无穷小量 x xf 1 sin 0 x x xxf 1 sin 4 设 则 B 3 32 1 1 lim 0 x axxx x a 1 2 1 2 5 5 设 则当时 A x x xf 1 1 xxg 1 1 x 和是等价无穷小量 B 是的高阶无穷小量 fgfg C 是的低阶无穷小量 D 和是同价无穷小量但非等价量 fgfg 6 极限 D 1 1 2 1 1 1 lim x x e x x 2 0 不存在但不为 7 设 则 D ba 0 nnn n balim 1 B 0 C D ab 8 下列运算过程正确的是 C 0000 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 1 11 lim nnnnnnnn nnnn B 0lim tansin lim 33 x xx x xx xx C 2 1 4 2 lim 4arcsin 2tan lim 00 x x x x xx D 0 1 sinlim lim 1 sinlim 000 x x x x xxx 9 设函数 讨论函数的间断点 其结论为 B n n x x xf 2 1 1 lim xf 不存在间断点 是的间断点 xf1 x xf 是的间断点 是的间断点 0 x xf1 x xf 10 设 在处连续 则 D 0 0 2 1sin xax x x e xf x 0 x a 2 2 2 1 2 1 三 设 求的表达式 1 lim n n xnxf xf 解 xx n nenxnxnxf n x n n n n n n lnln 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim ln 11 四 设函数 讨论函数的连续性 并指出间断点的类型 x x xf x x sin 12 12 1 1 6 解 因为在时无定义 所以为 xf 2 1 0 kkx 2 1 0 kkx 间断点 函数在定义域内连续 又因为 当时 0 k 12 12 lim 1 1 k k kx xf 所以是无穷间断点 0 kkx 当时 0 k011 0 lim 0 fxf x 011 0 lim 0 fxf x 0 0 ff 所以 是可去间断点 0 x 五 设在上连续 求 0 01 1 sin xae x x x xf x a 解 因为在上连续 所以 xf 0 0 0 fff 而 所以 aaef x xf x 0 0 0 1 1 1 sin lim 0 1 a 六 计算极限 1 11 lim 22 xxxx x 解 原式 1 11 1 11 1 2 2 lim 11 22 lim 11 11 lim 22 2222 22 xxxx x xxxx x xxxx xxxx x xx 2 tan 1 sin 1 1 lim 0 xxx x 解 原式 2 1 2 1 lim cos1 sin 11 lim 2 2 00 x x x xx xx 七 设 证明存在 并求 1 1 x n n n x x x 1 1 1 nn 2 1 n n x lim n n x lim 解 因为 所以 数列有界 2 1 1 1 n n n x x x n x 下证单调性 因 假设 则 21 xx 1 nn xx 7 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn nn n n n n nn xx xx x x x x xx 即 所以数列单调递增且有上界 从而 极限存在 nn xx 1 n x 设 则由得 axn n lim n n n x x x 1 1 1 即 a a a 1 1 2 51 a 八 已知 求 0 42 lim 2 baxxx x ba 解 0 42 242 lim 42 lim 2 2222 2 baxxx abxbxaxx baxxx xx 所以 得 01 2 a1 a 当时 不符合题意 舍去 1 a 原式 所以 此时 1 abxxx x 42 lim 2 原式 因 b xx x xxx x xxx x xx 1 1 42 1 4 2 lim 42 42 lim 42 lim 2 2 2 所以 1 1 ba 九 设是三次多项式 且 xf1 4 lim 2 lim 42 x xf x xf xx 1 求 2 求 3 2 f 4 f xf 3 lim 3 x xf x 解 1 因为 所以 1 4 lim 2 lim 42 x xf x xf xx 0 2 f0 4 f 2 由 1 可知 为多项式的两个根 设4 2 xx 由 4 2 baxxxxf 1 2 2 4 lim 2 lim 22 babaxx x xf xx 解得 1 4 2 2 lim 4 lim 44 babaxx x xf xx 2 3 2 1 ba 8 所以 3 4 2 2 1 xxxxf 3 2 1 4 2 2 1 lim 3 lim 33 x