圆锥曲线中的面积问题

圆锥曲线中的面积问题 一 基础知识 1 面积问题的解决策略 1 求三角形的面积需要寻底找高 需要两条线段的长度 为了简化运算 通常优先选择 能用坐标直接进行表示的底 或高 2 面积的拆分 不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和 对于三角 形如果底和高不便于计算 则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2 多个图形面积的关系的转化 关键词 求同存异 寻找这些图形的底和高中是否存在 同底 或 等高 的特点 从而可将面积的关系转化为线段的关系 使得计算得以简化 3 面积的最值问题 通常利用公式将面积转化为某个变量的函数 再求解函数的最值 在 寻底找高的过程中 优先选择长度为定值的线段参与运算 这样可以使函数解析式较为简 单 便于分析 4 椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式 证明详见 圆锥曲线的性质 1 椭圆 设为椭圆上一点 且 则P 22 22 10 xy ab ab 12 FPF 12 2 tan 2 PF F Sb A 2 双曲线 设为椭圆上一点 且 则P 22 22 1 0 xy a b ab 12 FPF 1 2 2 cot 2 PF F Sb A 二 典型例题 例 1 设为椭圆的左右焦点 过椭圆中心任作一直线与椭圆交于两点 12 F F 2 2 1 4 x y P Q 当四边形的面积最大时 的值等于 12 PFQF 12 PF PF 例 2 已知点是椭圆上的一点 且在轴上方 分别为椭圆P 22 16251600 xy x 12 F F 的左右焦点 直线的斜率为 则的面积是 2 PF4 3 12 PFF A B C D 32 324 332 224 2 例 3 已知为抛物线的焦点 点在该抛物线上且位于轴的两侧 F 2 yx A Bx 则与面积之和的最小值是 2OA OB ABO AFO A B C D 23 17 2 8 10 例 4 抛物线的焦点为 准线为 经过且斜率为的直线与抛物线在 2 4yx FlF3 轴上方的部分相交于点 垂足为 则的面积是 xAAKl KAFK A B C D 843 34 3 例 5 以椭圆的顶点为焦点 焦点为顶点的双曲线 其左右焦点分别为 22 1 95 xy C 已知点的坐标为 双曲线上点满足 12 F FM 2 1C 0000 0 0P xyxy 则等于 11211 121 PF MFF F MF PFF F 12 PMFPMF SS A B C D 2411 例 6 已知点为双曲线右支上一点 分别是双曲线的左P 22 22 10 0 xy ab ab 12 F F 右焦点 且 为三角形的内心 若成立 则 2 12 b FF a I 12 PFF 121 2 IPFIPFIF F SSS 的值为 A B C D 12 2 2 2 31 21 21 例 7 已知点 椭圆的为 是椭圆的右 0 2A 22 22 10 xy Eab ab c a 3 2 FE 焦点 直线的斜率为 为坐标原点AF 2 3 3 O 1 求的方程E 2 设过点的动直线 与相交于两点 当面积最大时 求 的方程AlE P QOPQAl 例 8 已知椭圆的为 过右焦点的直线 与相交于 22 22 10 xy Cab ab c a 1 2 FlC 两点 当 的斜率为 时 坐标原点到 的距离为 A Bl1Ol 2 2 1 求椭圆的方程C 2 若是椭圆上的四点 已知与共线 与共线 且 P Q M NCPF FQ MF FN 求四边形面积的最小值0PF MF PMQN 例 9 在平面直角坐标系中 已知点 是动点 且三角形的三边所xOy 1 1A PPOA 在直线的斜率满足 OPOAPA kkk 1 求点的轨迹方程P 2 若是轨迹上异于点的一个点 且 直线与交于点 问 QCPPQOA OPQAM 是否存在点使得和的面积满足 若存在 求出点的坐PPQAAPAMA2 PQMPAM SS AA P 标 若不存在 请说明理由 例 10 设抛物线的焦点为 过点的直线与抛物线相交于两点 2 2