计算方法与实习报告

计算方法实验 第 1 页 共 13 页 实习题 1 1 用用 2 种不同的顺序计算种不同的顺序计算 分析其误差的变化 分析其误差的变化 10000 2 1 1 644834 n n 思路 采用迭代法用思路 采用迭代法用 C 来编程实现 一种用正序即来编程实现 一种用正序即 n 从从 1 到到 10000 取值 另一种用逆序取值 另一种用逆序 一一 正序 采用递增的算法 将正序 采用递增的算法 将 n 从从 1 到到 10000 进行进行的累加求和 的累加求和 2 n 1 程序代码为 程序代码为 include include using namespace std void main float sum 0 int n 1 while n 10000 sum sum float 1 n n n cout The sum that from min to max is sum 2 运行输出的结果为 运行输出的结果为 The sum that from max to min is 1 64473 二二 逆序 采用递减的算法 将逆序 采用递减的算法 将 n 从从 10000 到到 1 进行进行的累加求和 的累加求和 2 n 1 程序代码为 程序代码为 include include using namespace std void main float sum 0 int n 10000 while n 0 sum sum double 1 n n n cout The sum that from max to min is sum 2 运行输出的结果为 运行输出的结果为 The sum that from min to max is 1 64483 计算方法实验 第 2 页 共 13 页 结果分析 由运行的结果可以看出正序的结果为结果分析 由运行的结果可以看出正序的结果为 1 644731 64473 逆序的结果为 逆序的结果为 1 644831 64483 而题目所给出的精确值为 而题目所给出的精确值为 1 6448341 644834 可以发现从小到大求和比从大 可以发现从小到大求和比从大 到小求和更接近实际值 因为在从大到小的求解过程中 会出现大数到小求和更接近实际值 因为在从大到小的求解过程中 会出现大数 吃掉吃掉 小数的现象 从而造成较大误差 小数的现象 从而造成较大误差 实习题 2 1 用牛顿法求下列方程的根 用牛顿法求下列方程的根 2 0 x xe 思路 思路 给定初始值给定初始值 x0 为根的容许误差 为根的容许误差 为为 f x 的容许误差 的容许误差 N 为迭代次数的容许为迭代次数的容许 值 在满足根的容许误差 函数值的容许误差及迭代次数条件下 计算值 在满足根的容许误差 函数值的容许误差及迭代次数条件下 计算 x1 x0 f x0 f x0 以此进行下次循环 以此进行下次循环 1 程序代码为 程序代码为 include include using namespace std define N 100 define eps 1e 6 define eta 1e 8 float Newton float f float float f1 float float x0 float x1 d int k 0 do x1 x0 f x0 f1 x0 if k N fabs f1 x1 eps printf n Newton 迭代发散 break d fabs x1 eps return x1 计算方法实验 第 3 页 共 13 页 float f float x return float x x exp x float f1 float x return float 2 x exp x void main int i 0 float x 0 for i 0 i 100 i x x A x B x cout x x endl i 2 运行过程 运行过程 x 1 x 0 733044 x 0 703808 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 x 0 703467 3 运行结果为 运行结果为 计算方法实验 第 4 页 共 13 页 x 0 703467 结果分析 得出的结果为结果分析 得出的结果为 x 0 703467 由运行过程可知在此值时结果已经稳定 且经检验 由运行过程可知在此值时结果已经稳定 且经检验 结果精确到了小数点后第六位 结果精确到了小数点后第六位 实习题 3 1 用列主元高斯消去法解方程组 用列主元高斯消去法解方程组 1 x1 x2 3x4 4 2x1 x2 x3 x4 1 3x1 x2 x3 3x4 3 x1 2x2 3x3 x4 4 思路 将方程用增广矩阵思路 将方程用增广矩阵 A b aij n n 1 表示 表示 分别进行消元和回代过程分别进行消元和回代过程 消元过程 消元过程 对对 k 1 2 n 1 1 选主元选主元 k i k a 2 如果如果 0 则矩阵 则矩阵 A 奇异 程序结束 否则执行 奇异 程序结束 否则执行 3 k i k a 3 如果如果 则交换第 则交换第 k 行与第行与第行对应元素位置行对应元素位置 k ik k i 4 消元 消元 对对 i k 1 n 计算计算 对 对 j k 1 n 1 计算计算 ik ik kk a l a ijijikkj aal a 回代过程回代过程 1 若若 则矩阵 则矩阵 A 奇异 程序结束 否则执行 奇异 程序结束 否则执行 2 0 nn a 2 对 对 i n 1 2 1 计算计算 1nn nnn xaa 1 1 n ii nijjii j i xaa xa 1 程序代码为 程序代码为 include include include using namespace std void main int i float x 4 float c 4 5 1 1 0 3 4 2 1 1 1 1 3 1 1 3 3 1 2 3 1 4 void Direct float int float 计算方法实验 第 5 页 共 13 页 Direct c 0 4 x for i 0 i 3 i printf x d f n i x i void Direct float c int n float x int i j k t float p for i 0 i n 2 i k i for j i 1 j fabs c k n 1 i k j if k i for j i j n j p c i n 1 j c i n 1 j c k n 1 j c k n 1 j p for j i 1 j n 1 j p c j n 1 i c i n 1 i for t i t 0 i for j n 1 j i 1 j c i n 1 n x j c i n 1 j x i c i n 1 n c i n 1 i 2 运行结果为 运行结果为 x 0 1 333333 x 1 2 333333 x 2 0 333333 x 3 1 000000 4 编写用追赶法解三对角线性方程组的程序 并解下列方程组 编写用追赶法解三对角线性方程组的程序 并解下列方程组 2 Ax b 其中其中 计算方法实验 第 6 页 共 13 页 10 1010 1 27 15 41 15 11 14 15 15 0 0 Ab 思路 应用高斯消去法求解时 消元过程可以简化 得到同解的三角方程组 进行回代思路 应用高斯消去法求解时 消元过程可以简化 得到同解的三角方程组 进行回代 消去过程为 消去过程为 1111 11 1 2 3 i iiiiiiiii i byd a lblcydl yin 回代过程为回代过程为 1 1 2 1 nnn iiiii xy xyc xinn 1 程序代码为 程序代码为 include void main float x 10 int i float a 10 11 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 27 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 15 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 15 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 15 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 15 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 15 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 15 void Direct float int float Direct a 0 10 x for i 0 i 9 i printf x d f n i x i void Direct float u int n float x int i r k for r 0 r n 1 r for i r i n i for k 0 k r 1 k 计算方法实验 第 7 页 共 13 页 u r n 1 i u r n 1 k u k n 1 i for i r 1 i n 1 i for k 0 k 0 i for r n 1 r i 1 r u i n 1 n u i n 1 r x r x i u i n 1 n u i n 1 i 2 运行结果为 运行结果为 x 0 8 705758 x 1 7 823033 x 2 7 586371 x 3 7 522452 x 4 7 503439 x 5 7 491305 x 6 7 461785 x 7 7 355835 x 8 6 961556 x 9 5 490389 实习题 4 2 按下列数据 按下列数据 xi 0 30 0 42 0 50 0 58 0 66 0 72 yi 1 04403 1 08462 1 11803 1 15603 1 19817 1 23223 作五次插值 并求作五次插值 并求 x1 0 46 x2 0 55 x3 0 60 时的函数近似值 时的函数近似值 思路 思路 1 输入 输入令令 0 1 2 ii x y in 0 n L x 2 对 对 i 0 1 2 n 计算计算 0 n j i j ij j i nnii xx l x xx L xL xl x y 1 程序代码为 程序代码为 include include 计算方法实验 第 8 页 共 13 页 using namespace std define N 5 void Difference float x float y int n float f new float n 1 int k i for k 1 k n k f 0 y k for i 0 i 0 i b b varx x i y i printf Nn f f varx b 在 main 函数中 分别另 varx 为 0 46 0 55 0 60 可得 2 运行结果为 运行结果为 0 46 时 1 100724 1 x 1 y 0 55 时 1 141271 2 x 2 y 0 60 时 1 166194 3 x 3 y 实习题 5 1 试分别用抛物线 试分别用抛物线和指数曲线和指数曲线拟合下列数据 拟合下列数据 2 yabxcx bx yae xi 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 yi 33 4 79 50 122 65 159 05 189 15 214 15 238 65 252 50 xi 5 5 5 6 6 5 7 7 5 8 yi 267 55 280 50 296 65 301 40 310 40 318 15 325 15 计算方法实验 第 9 页 共 13 页 比较比较 2 个拟合函数的优劣 个拟合函数的优劣 1 用抛物线用抛物线拟合 拟合 2 yabxcx a 程序代码为程序代码为 matlab 代码为 A 11 5 22 5 33 5 44 5 55 5 66 5 77 5 8 B 33 479 5 122 65159 05189 15214 15238 65252 5 267 55 280 5 296 65301 4310 4318 15325 15 S zeros 1 5 T zeros 3 1 for k 1 5 S k sum A k 1 end for k 1 3 T k sum A k 1 B end C zeros 3 3 a zeros 3 1 for i 1 3 for j 1 3 C i j S i j 1 end end a C T for k 1 3 disp a k end b 运行结果为 运行结果为 a 0 45 3333 a 1 94 2302 a 2 6 1316 c 拟合曲线 拟合曲线 2 6 131694 230245 3333yxx 2 用 指数曲线指数曲线拟合拟合 bx yae 将等式两边取自然对数得 lny lna bx 记 y lny a lna y a bx 得到新数据 x 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 5 5 6 6 5 7 7 5 8 y 3 51 4 38 4 81 5 07 5 24 5 37 5 47 5 53 5 59 5 64 5 69 5 71 5 74 5 76 5 78 a 程序代码为 程序代码为 include include 计算方法实验 第 10 页 共 13 页 include void main void ColPivot float int float int i float x 2 float c 2 3 15 67 5 79 29 67 5 373 5 373 5 ColPivot c 0 2 x for i 0 i 1 i printf x d f n i x i void ColPivot float c int n float x int i j k t float p for i 0 i n 2 i k i for j i 1 j fabs c k n 1 i k j if k i for j i j n j p c i n 1 j c i n 1 j c k n 1 j c k n 1 j p for j i 1 j n 1 j p c j n 1 i c i n 1 i for t i t 0 i for j n 1 j i 1 j c i n 1 n x j c i n 1 j x i c i n 1 n c i n 1 i b 运行结果为 运行结果为 x 0 4 208903 x 1 0 239355 c 拟合曲线为 拟合曲线为 计算方法实验 第 11 页 共 13 页 0 239355 67 2827ye 分析 带入数据进行检验 我们可以发现抛物线分析 带入数据进行检验 我们可以发现抛物线与指数曲线与指数曲线拟合拟合 2 yabxcx bx yae 相比 抛物线更加精确 而指数曲线具有较大的误差 因为在指数曲线拟合时 将指数函相比 抛物线更加精确 而指数曲线具有较大的误差 因为在指数曲线拟合时 将指数函 数按照一次函数来进行处理的 而拟合时 拟合函数的复杂度越高越准确 所以抛物线的数按照一次函数来进行处理的 而拟合时 拟合函数的复杂度越高越准确 所以抛物线的 拟合方法更准确 拟合方法更准确 实习题 6 用复化梯形公式和复化用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算积分公式计算积分和和 2 2 1 0 1 cosIfxdx 观察观察 n 为多少时所得近似值具有为多少时所得近似值具有 6 位有效数字 位有效数字 4 2 0 tan x Ifdx x 1 用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分 2 2 1 0 1 cosIfxdx a 程序代码为程序代码为 include include int n float AutoTrap float f float float a float b int i float x s h b a float t1 t2 h 2 f a f b n 1 do s 0 t1 t2 for i 0 i0 5e 6 return t2 计算方法实验 第 12 页 共 13 页 float f float x return sqrt 1 cos x cos x void main float s double pi 3 141592653 s AutoTrap f 0 pi 2 printf T d f n n s b 运行结果为 运行结果为 T 8 1 910099 结果分析 运行结果表示结果分析 运行结果表示 n 为为 8 时所得近似值具有时所得近似值具有 6 位有效数字 位有效数字 2 复化复化 Simpson 公式计算积分公式计算积分 4 2 0 tan x Ifdx x a 程序代码为程序代码为 include include float Simpson float f float float a float b int n