数列与数学归纳法专项训练(含答案)

数列与数学归纳法专项训练数列与数学归纳法专项训练 1 如图 曲线 2 0 yx y 上的点 i P与 x 轴的正半轴上的点 i Q及原点O构成一系列正三 角形 OP1Q1 Q1P2Q2 Qn 1PnQn 设正三角形 1nnn QPQ 的边长为 n a n N 记 0 Q为 O 0 nn QS 1 求 1 a的值 2 求数列 n a 的通项公式 n a w w w k s 5 u c o m 2 设 nn ab都是各项为正数的数列 对任意的正整数n 都有 2 1 nnn a ba 成等差数列 22 11 nnn bab 成等比数列 1 试问 n b是否成等差数列 为什么 2 如果 11 1 2ab 求数列 1 n a 的前n项和 n S 3 已知等差数列 n a 中 2 a 8 6 S 66 求数列 n a 的通项公式 设 n n an b 1 2 nn bbbT 21 求证 n T 1 6 4 已知数列 n a 中 5 3 1 a 1 1 2 n n a a n 2 Nn 数列 n b 满足 1 1 n n a b Nn 1 求证数列 n b 是等差数列 2 求数列 n a 中的最大项与最小项 并说明理由 3 记 21 bbSn n b 求 1 1 lim n n S bn n 5 已知数列 an 中 a1 0 且an 1 2 3 n a 试求a1的值 使得数列 an 是一个常数数列 试求a1的取值范围 使得an 1 an对任何自然数n都成立 若a1 2 设bn an 1 an n 1 2 3 并以Sn表示数列 bn 的前n 项的和 求证 Sn0 Sn是它的前 n 项和 又 4 4 1 S与 6 6 1 S的等比中项是 1 17 a 4 4 1 S与 6 6 1 S的等差中项是 6 求 an 26 n a和 n b分别是等比数列和等差数列 它们的前四项和分别为 120 和 60 而第二 项与第四项的和分别是 90 和 34 令集合 2 1 aA 2 2 a 2 3 a 2 n a 1 bB 2 b 3 b n b 求证 B A 27 已知曲线 C x y 1 n C n x y 2 1 Nn 从C上的点 nnn yxQ作 x轴的垂线 交 n C于点 n P 再从点 n P作y轴的垂线 交C于点 111 nnn yxQ 设 111 1 nnnnnn yybxxax I 求 21 Q Q的坐标 II 求数列 n a的通项公式 III 记数列 nn ba 的前n项和为 n S 求证 3 1 n S 答案 答案 1 解 由条件可得 111 13 22 Paa 代入 2 0 yx y 得 2 1111 312 0 423 aaaa 12nn Saaa 111 13 22 nnnn PSaa 代入曲线 2 0 yx y 并整理 得 2 11 31 42 nnn Saa 于是当 2 nnN 时 22 111 3131 4242 nnnnnnn aSSaaaa 即 111 13 24 nnnnnn aaaaaa 11 2 0 2 3 nnnn aaaannN 又 当 2 1222 3142 1 4233 nSaaa 时舍去 21 2 3 aa 故 1 2 3 nn aanN 所以数列 n a 是首项为 2 3 公差为 2 3 的等差数列 2 3 n an 2 由题意 得 2 1 2 nnn baa 1 222 11nnn ab b A 2 1 因为0 0 nn ab 所以由式 2 得 11nnn ab b A 从而当2n 时 1nnn abb A 代入式 1 得 2 11 2 nnnnn bbbb b 即 11 22 nnn bbbn 故 n b是等差数列 2 由 11 1 2ab 及式 1 式 2 易得 22 3 3 2 2 ab 因此 n b的公差 2 2 d 从而 1 2 11 2 n bbndn 得 1 1 12 2 n ann 3 又 1 1a 也适合式 3 得 1 2 n n n anN 所以 1211 2 11 n an nnn 从而 1111112 21 2 1 22311 1 n n S nnnn 3 解 1 1 1 8 6 2 6 5 666 2 24 n ad ad ad and 2211 1 1 24 12 n n b nannnn 12 11111111 23344512 nn Tbbb nn 11 22n 而 11 22n 是递增数列 1 111 236 n TT 1 6 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a b 而 1 1 1 1 n n a b 1 1 1 1 11 1 1 nn n nn aa a bb Nn n b 是首项为 2 5 1 1 1 1 a b 公差为 1 的等差数列 2 依题意有 n n b a 1 1 而5 31 1 2 5 nnbn 5 3 1 1 n an 对于函数 5 3 1 x y 在x 3 5 时 y 0 0 y 在 3 5 上为减函数 故当n 4 时 5 3 1 1 n an取最大值 3 而函数 5 3 1 x y在x 3 5 时 y 0 0 5 3 1 2 x y 在 3 5 上 也为减函数 故当n 3 时 取最小值 3 a 1 3 2 5 1 2 2 52 2 5 1 1 nn n n Sn 5 3 nbn n n n n nn nn S bn 2 5 1 5 3 1 2 lim 1 lim 1 5 欲使数列 an 是一个常数数列 则an 1 2 3 n a an 又依a1 0 可得an 0 并解出 an 2 3 即a1 an 2 3 研究an 1 an 2 3 n a 2 3 1 n a 2 3 2 3 2 1 1 nn nn aa aa n 2 注意到 2 3 2 3 2 1nn aa 0 因此 可以得出 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1有相同的符号 7 要使an 1 an对任意自然数都成立 只须a2 a1 0 即可 由 1 1 2 3 a a 0 解得 0 a1 2 3 时 an 1 an对任何自然数n都成立 因此当a1 2 时 an 1 an 0 Sn b1 b2 bn a2 a1 a3 a2 an 1 an a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 2 an 1 又 an 2 2 3 1 n a 2 3 故Sn0 t 1 1 1 t x 原不等式等价于1ln 1 1 tt t 令 f t t 1 lnt t tf 1 1 当 1 t时 有0 t f 函数 f t 在 1 t递增 f t f 1 即 t 1g 1 0 t t 1 1ln 综上得 xx x x 11 ln 1 1 2 由 1 令 x 1 2 n 1 并相加得 1 1 2 1 1 1 ln 2 3 ln 1 2 ln 1 3 1 2 1 nn n n 即得 1 1 2 1 1ln 1 3 1 2 1 nn 7 1 易求得 n n pa 2 n n n n n n nnn p pp S aCaCaC nf 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 作差比较易得 2 1 1 nf p p nf 3 当1 n时 不等式组显然成立 当 12 1 1 1 1 1 12 2 1 2 n p p p p nfffn 时 先证 由 2 知 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 f p p nf p p nf p p nf n 2 2 1 2 1 1 n p p nf p p nn 12 1 12 12 122 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n i n n n p p p p p p p p p p p p p p p p if 再证 12 12 2 1 nfnnfff nn n ppp p p p nffnff 212 1 1 2 1 1 2 12 1 2 12 1 而 2212212 1 21 1 nnnnn ppppppp 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 12 1 2 12 1 2 nf p p p p p p p p p p p p nffnff n n n n n n 同理 2 22 2 nfnff 2 32 3 nfnff 2 1 12 nffnf 以上各式相加得 12 2 12 2 1 2nfnnfff 即 12 12 1 nfnif n i 8 1 2635 10aaaa 又 26 21aa 2 6 3 7 a a 或 2 6 7 3 a a 若 2 6 7 3 a a 则9 n an 10 1a 与0 n a 矛盾 若 2 6 3 7 a a 则1 n an 显然0 n a 1 n an 2 111 lg2lg3 9bSb 当2n 时 1 1 9 lglg9 10 n nnn bSS 欧 1 9 9 10 n n b 1n 时 1 9 n bb 1 9 9 10 n n bnN 1 9 10 n n b b 数列是以 9 为首项 9 10 为公比的等比数列 3 1 9 91 10 n n cn 设 2 k ck 是数列 n c中的最大项 则 由 1 1 kk kk cc cc 可得89k 数列 n c有最大项 最大项是 7 89 9 81 10 cc 9 1 由 32 3 32 3 11 mmasmmmasm nnnn 得 3 2 3 1 mmaam nn 两式相减得 3 2 1 m m a a n n n a是等比数列 2 2 3 2 1 11 n Nn m m mfqab 2 3 3 2 3 1 1 1 3 1 1 1 3 111 33 3 2 2 3 2 3 1 11 1 1 1 n b nn b b bb bbbb b b bfb n n n nn nnnn n n nn 为公比的等差数列为首项是 10 经计算3 3 a 4 1 4 a 5 5 a 8 1 6 a 当n为奇数时 2 2 nn aa 即数列 n a的奇数项成等差数列 122 1 112 nnaa n 当n为偶数 nn aa 2 1 2 即数列 n a的偶数项成等比数列 nn n aa 2 1 2 1 1 22 因此 数列 n a的通项公式为 2 1 2 为偶数 为奇数 n nn a n n n n nb 2 1 12 nn n nnS 2 1 12 2 1 32 2 1 5 2 1 3 2 1 1 132 1 1432 2 1 12 2 1 32 2 1 5 2 1 3 2 1 1 2 1 nn n nnS 2 1 2 两式相减 得 132 2 1 12 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 nn n nS 1 1 2 1 12 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n 1 2 1 32 2 3 n n n n nS 2 1 32 3 11 设 n a的公差为 d 首项为 1 a 则 345671 41848Taaaaad 1 489151 8840Taaaad 2 解得 1 21 2ad 则223 n an 2 当2n 时 在前 n 1 组中共有项数为 221 122 221 nn 故第 n 组中 的第一项是数列 n a中的第 1 2n 项 且第 n 组中共有 1 2n 项 所以 1 111221 2 1 22 21 3 224 2 2 n nnnnn n Tad 当 n 1 时 11 21Ta 也适合上式 故 221 3 224 2 nn n T 3 8128 STTT 即数列 n a前 8 组元素之和 且这 8 组总共有项数 278 122 221255 则 81 11 255255 254255 21 255 254 259415 22 Sad 12 由 0 12 2 1020 10 30 10 SSS 得 2 10202030 10 SSSS 即 2 201211302221 10 aaaaaa 可得 2 201211201211 1010 aaaaaaq 因为0 n a 所以 12 1010 q 解得 2 1 q 因而 2 1 2 1 1 1 nqaa n n n 因为 n a是首项 2 1 1 a 公比 2 1 q的等比数列 故 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n nnSS 则数列 n nS的前 n 项和 22 2 2 1 21 2n n n nT 22 1 2 2 2 1 21 2 1 2 132 nn n nn n T 前两式相减 得 12 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 nn n n n T 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 1 n n nnn 即 2 22 1 2 1 1 nn n nnn T 13 1 0 1 a 当1 n时 sin sin 11 xaxxf 0 2 ax 又 对任意的 1 0 b bxf 1 总有两个不同的根 2 a 0 sin 1 xxxf 2 a 由 1 2 cos 2 1 sin 2 1 sin 322 ax x xaxxf 对任意的 1 0 b bxf 1 总有两个不同的根 3 3 a 3 3 1 sin 3 3 1 sin 3 1 sin 433 axxaxxf 对任意的 1 0 b bxf 1 总有两个不同的根 6 4 a 由此可得 naa nn 1 2 1 nn an 1 当Zkkn 2 kkk aaaaaaS 21243212 4 12 53 2 2 1223412 n kk aaaaaa kk 4 2 n Sn 当Zkkn 12 4 1 1 2 2 12 2 12212 nnkk kaSS kkk 4 1 1 nn Sn 14 1 3 401010 10 2010 ddaa 2 0 11010 22 2030 ddddaa 4 3 2 1 10 2 30 da 当 0 d时 10 30 a 3 所给数列可推广为无穷数列 n a 其中 1021 aaa 是首项为 1 公差为 1 的等差数 列 当1 n时 数列 1 1011010 nnn aaa 是公差为 n d的等差数列 研究的问题可以是 试写出 1 10 n a关于d的关系式 并求 1 10 n a的取值范围 15 1 1 由已知得 由已知得 23 12 21 n f nf nnnN n 当当2n 时 时 43111 21 4 15315 ff 1 1 分分 同理可得同理可得 11 3 4 3563 ff 3 3 分分 猜想猜想 下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明成立成立 当当时 由上面的计算结果知时 由上面的计算结果知成立成立 6 6 分分 假设假设时 时 成立 即成立 即 那么当那么当时 时 即即 当当时 时 也成立也成立 综合综合 所述 对所述 对 成立 成立 2 2 由 由 1 1 可得 可得 16 I 解 由得 II 由 数列 是以 S1 1 2 为首项 以 2 为公比的等比数列 当 n 1 时a1 1 满足 III 得 则 当n 1 时 即当n 1 或 2 时 当n 2 时 17 1 由条件an 1 2an2 2an 得 2an 1 1 4an2 4an 1 2an 1 2 bn 是 平方递推数列 lgbn 1 2lgbn lg 2a1 1 lg5 0 2 lg 2an 1 为等比数列 lg 2an 1 1 lg 2an 1 2 lg 2a1 1 lg5 lg 2an 1 2n 1 lg5 2an 1 5 an 5 1 2n 1 1 2 2n 1 lgTn lg 2a1 1 lg 2a2 1 lg 2an 1 2n 1 lg5 lg5 1 2n 1 2 Tn 5 2n 1 3 cn 2 lgTn lg 2an 1 2n 1 lg5 2n 1lg5 2n 1 2n 1 n 1 Sn 2n 1 2n 2n 2 1 2n 2 2 1 2 2 n 1 n n 由Sn 2008 得 2n 2 2 2008 n 1005 n n 当n 1004 时 n 1005 当n 1005 时 n 1005 n的最小值为 n n 1005 18 1 B 2 因为A 2 sin C 2 sin成等差数列 所以 所以 又 显然 即 a Acos b Bcos c Ccos 成等 差数列 若其为等比数列 有 所以 与题设矛盾 19 1 解得 2 7 分 是公比为 8 的等比数 列 10 分 20 I 4 分 II 当 k 2 3 4 5 时 a11 21 I 设数列的公差为 d 则 又 由 1 2 得 数列的通项公式 II 数列