数模优秀论文：储油罐的变位识别与罐容表标定

1 储油罐的变位识别与罐容表标定 专家点评 本文基于所给数据准确 罐体几何形状因有附属构件而含有误差进而导致 推导的罐容与油位高度之间函数关系的理论公式含有较大偏差的理解下 通过 对理论公式计算结果与实测数据的偏差的曲线拟合 对小椭圆型储油罐给出了 修正的罐容表 文中分析研究了无变位和有纵向变位的小椭圆型储油罐的罐容 与油位高度的函数表达式 有纵向变位和横向变位的实际储油罐罐容与油位高 度的函数表达式 以储油罐中油量随高度的变化率为依据识别纵向倾斜角度和 横向偏转角度 由此给出了罐容表的标定 检验了所给出的数学模型的正确性 和可靠性 思路正确 方法有效 所得结果合理 但是 对问题一利用祖暅原 理将有变位近似转换为无变位的方法略欠妥当 中国海洋大学 曹圣山教授 摘要 对于两端平头的小椭圆型储油罐与实际球冠封口的储油罐 本文分别建立 了相应的数学模型 解决了储油罐变位后的识别和罐容表的标定的相关问题 在建立两个模型的过程中充分的运用了 MATLAB 和 EXCEL 两个软件 利用祖暅原 理将变位容积计算转换为未变位时的计算 在保证精度情况下 避免了复杂的 积分运算 对于模型 1 首先 我们通过积分 得出无变位时的储油量与油位高度关 系 此时 所得理论容积与实测容积出现由罐内附属构件占有一定体积造成的 偏差 及时的运用曲线拟合的方法获得了其偏差函数 对模型 1 的公式进行了 修正 获得了很好的结果 在变位条件下 依据油位高度 对变位后的小椭圆 形储油罐划分了三种高度条件来讨论了其罐容标定 然后利用几何关系将高度 转化为无变位条件下的高度来计算容积 对于模型 2 无变位时 同样 我们先积分 积出无变位情况下实际油罐 的储油量与油位高度表达式 变位时 我们依然依据油位高度 对实际的球冠 封口的储油罐划分为三种情况来讨论 同样采用一些转化将高度转化为无变位 条件下的高度来计算容积 在求解 的过程中 利用导数间的关系建立了 油位高度的关系 编写了导数返查的 MATLAB 程序以及依据数值逼近思想所利用 的迭代公式和最小二乘法的线性拟合 精确地计算出了 2 1 nn nn xxf xx 的值 进而促成模型 2 的正确建立 然后利用模型计算出罐容标定表 并利用给定数据分析检验 2 关键词 祖暅原理 数值逼近思想 最小二乘法 迭代 模型 1 问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度 等数据 通过预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行 实时计算 以得到罐内油位高度和储油量的变化情况 许多储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化 以下称为变位 从而导致罐容表发生改变 按照有关规定 需要定期对罐容表进行重新标定 原文图1是一种典型的储油罐 尺寸及形状示意图 其主体为圆柱体 两端为球冠体 原文图2是其罐体纵向倾 斜变位的示意图 原文图3是罐体横向偏转变位的截面示意图 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题 1 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响 利用如图4的小椭圆型储油罐 两端平头的椭圆柱体 分别对罐体无变位和倾斜角为 4 10的纵向变位两 种情况做了实验 实验数据如附件1所示 请建立数学模型研究罐体变位后对罐 容表的影响 并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值 2 对于图1所示的实际储油罐 试建立罐体变位后标定罐容表的数学模 型 即罐内储油量与油位高度及变位参数 纵向倾斜角度 和横向偏转角度 之间的一般关系 请利用罐体变位后在进 出油过程中的实际检测数据 原文 附件2 根据你们所建立的数学模型确定变位参数 并给出罐体变位后油位高 度间隔为10cm的罐容表标定值 进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验 你们模型的正确性与方法的可靠性 2 2 符号说明 长度 m 0 lL 面积 m2S 体积 m3V 椭圆管道短半长轴长 ma 3 椭圆管道长半长轴长 mb 液面高度 mHh 误差 圆筒管道半径 mr 球冠封头所对应的球的半径 mR 3 3 基本假设 1 实际储油罐的偏转角度 角很小 2 假设油位探针固定 3 假设实际油罐内的油位探针装置 注油管 出油管体积不计 4 假设实验数据都是可信的 4 问题分析与模型建立 4 14 1 问题一的求解 4 1 14 1 1 无变位储油量与油位高度关系计算无变位储油量与油位高度关系计算 小椭圆油罐模型采用的是两短平头的椭圆柱体 其三维坐标示意图如下所 示 其油位高度 H 与储油量 V 的数学关系式推到如下 dyySdv 11 xLyS2 1 则 1 2 2 2 2 b y a x 22 yb b a x 2 1 arcsin 2 222222 b b h bhbhL b a dyyb b a LV h b 又因为 由参考文献 1 可知bHh 1 2 1 1arcsin 2 22 b b H bHbHbHL b a V 通过此公式计算出的储油量为空油罐理想值 当实际上该油罐内部还有油位 探针 注油管 出油管 是实际值比公式计算值偏小 并且误差将随油位高度 增加而增加 经过 EXCEL 对数据的处理计算 如下图 发现误差确实随油位高 度增加而增加 4 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0200400600800100012001400 公式计算值 L 实验值 L 因此须对公式进行修正 于是我们作出了误差随油位高度变化的图像 并 对该图像进行了拟合 得出偏差公式 2 503 1472 15057 7547 142596 79 234 HHHH 由此可得的修正值为 V 3 503 1472 15057 7547 142596 79 2 1 1arcsin 2 234 22 HHHH b b H bHbHbHL b a VV 4 1 24 1 2 油罐纵向变位后储油量与油位高度关系计算油罐纵向变位后储油量与油位高度关系计算 首先下图给出了纵向变位后油罐的剖视图 由以上两图来计算倾斜油罐的油位高度与储油量的关系 我们设法将倾斜油 罐的油位高度 转化为相同储油量下无变位油罐的油位高度 再利用无变位的 体积公式计算 由祖暅定理 等高处横截面积常相等的两个立体 其体积也 必然相等 显然我们将变位时的等腰梯形转化为面积相等的矩形 其体积也 必然相等 也就是我们的方法 如下 1 液面 AB 处于与之间时 1 CM 2 MC tan 1 OGHOB tan 1 GCHAC 则储油量的纵截面梯形面积计算公式为 2 1 LACOBSABOC ABOCEKOC SS 5 即 2 LGCOGHLH tan 2 2 1 12 tan 2 2 1 12 GCOGHH 2 当液面 AB 处于以下时 1 CM 用矩形面积与直角三角形面积相等的方法导出 H2 与 H1 的关系 这时矩形 底边长小于 L 矩形和三角形的底边长为 矩形面积 tan OB 直角三角形面积 tan 2 OBHS tan 2 1 2 OBS 所以 同时还要将体积计算式中 L 改为 OBH 2 1 2 tan OB 2 1 1arcsin 2 tan 22 b b H bHbHbH OB b a V 3 当液面 AB 处于以上时 容积采用总容积减去空余部分容积 而空余部 2 MC 分容积可由 2 计算 其中 空余部分的等效高度为 则可算 2 1 2 1 2 ACH 出容积 综上所述 2 1tan tan65 1 2 2 1 tantan4 0 tan4 0 2 1 1 1 2 OBLH LOBH H 4 将 4 式代入 3 式 可以得到修正后的发生纵向变位的储罐的储油量与油位高 度的关系式利用 MATLAB 进行计算 程序见附录一 可得出标定结果数据见附 录二图像如下 4 1o罐容标定值 0 1 2 3 4 5 00 20 40 60 811 21 4 油位高度 m 储油量 m3 4 24 2 问题二求解 4 2 14 2 1 模型的建立 对于未变位储油罐 我们建立了储油量与油位高度的一般关系式 其简略推 导过程如下 把总体积分成圆筒部分体积与封头部分 两边 体积之和 Vc V h V 6 即 5 hc VVhVjs arccos2 xy rh x 2 22 2 sin xy rhxyrh x 则 2 0 2 1 sin 2 L dxxxxyV 对于 c V 2 0 2 2 0 2 2 arccos22 l c dxhrh r rh r rh rV 即 2 arccos 2 2 0 hrh r rh r rh rLVc 6 对于 同样积分可得 3 h V 7 arcsin 2 arcsin arcsin 3 3 2 3 2 222 2 2 22222 3322 h hh h h hh hhh x a xaxa x rh R a R xrh RrhaRaxRxrh axaxRaRaRV 7 考虑纵形倾斜角度 与横向偏转角度 后 我们将油浮子所测高度 h 等效转化为未变位液面的高度 转化过程如下 2 h 首先将考虑 角的偏转 油罐发生 偏转后液面水平高度并未变化 有几何 关系 可以得到液面水平高度与油浮子所测高度 h 之间的关系为 1 h 8 rrhh cos 1 然后将等效转化为油罐未发生纵向倾斜的高度 分三段讨论如下 1 h 1 当液面位于以下时 近似液体截面面积 1 OM 矩形 SS CMO 即 2 2 2 1 Lhr 等效 sintan2 1 r 22 HRCMrR CMCM 等效 可得到容积 hCMHrR tan2 1 5 1 625 1 2 hVjs 2 当液面位于与之间时 可得到容 1 OM 22M C tan2 2 1 2 hACOBh 积 2 hVjs 3 当液面高于时 可利用 1 中所讨论的结论计算空余容积 再用总容积 22M C 减去空余容积 直接得到储油量与高度的关系式 其中空余容积截面中 h 从而得出空余容积等效高度 可得到容积 tan6 3 hBE 2 h 2 hVjsV 总 4 2 24 2 2 变位参数的确定 8 在实验数据高度 h 给定的范围内 我们得出等效半径后 9 tan25 1cos 5 1 2 hh 即 tan25 1cos 5 1 2 hVjshVjsV 两边求导得 10 cos 2 hVjsVh 因为实际工程中 角一般比较小 这里取 即 因 1cos 2 hVjsVh 为 以为步长 得出了由 0 25 到 h hVjshhVjs hVjs 22 2 001 0 h 2 h 2 699 的一系列导数值 导数表见附 录 3 由原题附件 2 的出油量与 V 显示油高 可以计算出高度高度 h 为的近似导数值 利用此 hh V Vh 的值在附录三导数表中反查出 h V 的值 自己编的 MATLAB 反差程序 2 h 见附录四 从而得出一系列的实 数对 在平面直角坐标系中以绘制散点图 然后用 EXCEL 进 2 hh 5 1 2 hh 行最小二乘线性拟合 得到 1 0065 显然不合理 根据逼近思想概括出 cos 该题的适用公式 即当取时的最小二乘拟 2 1 nn nn xxf xx n xf cos n x 合结果 显然该公式在时收敛 我们又验证其它的值 如 nn xfx cos 0 998 由拟合曲线得到的值为 0 999 当 0 997 有拟合曲 cos cos cos 线得到的值为 0 995 当选取的值为 0 9975 时发现得到的曲线的拟 cos cos 合公式为 图像如下 5672 1 9975 0 xy y 0 9975x 1 5672 R2 0 9938 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 1 5 1 0 500 511 5 计算出的值为 0 9975 此时迭代收敛 说明此时假设合理 此时 cos 05 4 92 1 4 2 34 2 3 罐容标定 由 4 2 1 与 4 2 2 中所得的最终储油量与油位高度的关系上式 选取油位高 度间隔为 10cm 对实际油罐灌容进行标定 计算中所采用的 MATLAB 程序见附录 五 实际储油罐罐容标定图如下 其中标定的数值表见附录六 y 1 0065x 1 5682 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 1 5 1 0 500 511 5 9 实际储油罐罐容标定 0 10 20 30 40 50 60 70 01234 油位高度 m 储油量 m3 4 2 44 2 4 模型检测 1 评价方式一 因为附件 2 中的显示油量容积是根据油罐未变位时的体积计算公式得来的 因此我们选用了出油量和显示油高两组数据来检验我们模型的正确性和方法的 可靠性 因为从数据表无法得到储油罐的初始油量体积 即真实的储油量的体 积无法直接读取 因此可选择累积出油量来分析 由显示油高 利用以上建立的 的储油量计算公式 算 92 1 05 4 出储油量 即我们模型的结果 由数据算出各个油位高度实际出油量的累加值 以油位高度为横坐标 分别以我们模型的结果和出油量的累加值为纵坐标 作 出图形如下 显然将出油量累加值曲线向上平移 V 升 V 是初始储油量并且未 知 80000 60000 40000 20000 0 20000 40000 60000 80000 050010001500200025003000 累计出油量 模型计算值 要以实际检测数据分析检验模型 可以考虑两段曲线的相似程度 为此可以 可以在相同油位高度下做差 差值随油位高度变化如下图 10 58900 58950 59000 59050 59100 59150 59200 59250 59300 59350 59400 14589 133 177 221 265 309 353 397 441 485 529 573 若差值曲线为水平曲线则完全相似 由上图看出我们模型存在误差 这一系 列差值的平均值为 59167 86 由图看出偏差在 59 59 即最大占总体积的 0 09 并可求出这一系列差值的标准差为 43 35 说明我们的模型满足要求 建模方法可靠性很好 2 评价方式二 该方法是利用模型算出的容积值 得出各高度间的出油量 与真实出油量 进行比较 发现差值区间在 4 7L 3 7L 内 并算出 我们算出 平均值 0 721 由此看出我们 100 V 真实 模型真实 V V 平均 的模型还是比较精确的 5 5 模型的评价与该进 5 15 1 模型的优点 1 综合运用了 MATLAB 和 EXCEL 两个软件 求解准确 在运用 MATLAB 进行储油 量变位体积的计算时 精确地得出了函数公式 与实验数据吻合很好 2 论文中建立了两端平头的椭圆柱体模型和实际储油罐两个体积计算模型 模 型的稳定性较高 3 此模型经过实际测量数据的检验 精度较高 对于实际问题具有较高的实用 性 5 25 2 模型的缺点 1 本文在计算储油罐储油量的过程当中 等效装换高度会给计算结果带来一些 误差 5 35 3 模型的改进 两个模型中采用的方法都是依据油位高度来分段对储油量体积进行计算 但 是这样不可避免会造成一定的误差 建模时可以采取整个体积完全积分的方法 这样得到的公式将是极为准确的 当然实施起来也是相当困难的 6 6 模型的推广 我们建立模型的思想是可以推广到其它类似问题上的 例如对平封头圆筒 11 形卧式容器 椭圆形封头圆筒形卧式容器 碟形封头圆筒形卧式容器等形状的 储油罐都可以通过变换封头的积分公式来得到相应的体积计算方法 7 7 参考文献 1 管冀年 赵海 卧式储油罐罐内油品体积标定的实用方法 计量与测 试技术 3 21 2004 2 田铁军 倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算 现代计量测试 5 33 36 1999 3 蒋心亚 宗光 各种形状封头的圆筒形卧式容器在不同液面高度时液 体体积计算的统一表达式 化工设备与管道 39 5 30 34 2002 4 姜启源 谢金星 数学模型 北京 高等教育出版社 2003 附录一 MATLAB 程序 function y vjs x 简单无修正计算公式 y 2 45 1 78 1 2 x 0 6 sqrt x 1 2 x 0 6 2 asin x 0 6 1 pi 0 5 0 6 2 function y vjs1 x 有修正公式 y 2 45 1 78 1 2 x 0 6 sqrt x 1 2 x 0 6 2 asin x 0 6 1 pi 0 5 0 6 2 79 596 x 4 142 47 x 3 75 57 x 2 150 72 x 14 503 1000 function y vjs2 x 液面低于CM1有修正公式 y 2 x 0 07168 1 78 1 2 x 0 6 sqrt x 1 2 x 0 6 2 asin x 0 6 1 pi 0 5 0 6 2 79 596 x 4 142 47 x 3 75 57 x 2 150 72 x 14 503 1000 x1 0 0 01 0 14 x2 0 15 0 01 1 17 x3 1 18 0 01 1 2 n1 x1 0 02867 y1 vjs2 n1 2 y2 vjs1 x2 1 65 2 0 07168 y3 3 96 vjs2 0 1469 1 2 x3 2 plot x1 y1 x2 y2 x3 y3 附录二 罐容表标定值 00 01380 410 966650 812 6149 0 010 01470 421 00510 822 6556 0 020 01640 431 04390 832 6961 0 030 0190 441 0830 842 7364 0 040 02250 451 12230 852 7764 0 050 02710 461 1620 862 8162 12 0 060 03270 471 20180 872 8558 0 070 03950 481 2420 882 8951 0 080 04750 491 28230 892 9341 0 090 05690 51 32280 92 9728 0 10 06750 511 36360 913 0113 0 110 07960 521 40450 923 0493 0 120 0930 531 44560 933 0871 0 130 1080 541 48690 943 1245 0 140 12440 551 52830 953 1615 0 150 14340 561 56980 963 1982 0 160 16560 571 61140 973 2344 0 170 1890 581 65320 983 2702 0 180 21330 591 6950 993 3056 0 190 23870 61 73713 3405 0 20 26490 611 7791 013 3749 0 210 29210 621 8211 023 4089 0 220 320 631 86311 033 4423 0 230 34880 641 90521 043 4751 0 240 37830 651 94741 053 5074 0 250 40850 661 98951 063 5391 0 260 43930 672 03171 073 5701 0 270 47090 682 07381 083 6005 0 280 5030 692 11591 093 6302 0 290 53580 72 1581 13 6592 0 30 56910 712 21 113 6874 0 310 60290 722 2421 123 7148 0 320 63730 732 28391 133 7414 0 330 67220 742 32571 143 7671 0 340 70750 752 36741 153 7919 0 350 74330 762 4091 163 8156 0 360 77960 772 45051 173 8383 0 370 81620 782 49181 183 8566 0 380 85330 792 5331 193 8728 0 390 89070 82 57411 23 8875 0 40 9285 附录三 导数表 0 00116 650 01416 948050 02717 24041 0 00216 673620 01516 970720 02817 26269 0 00316 696660 01616 993360 02917 28494 0 00416 719660 01717 015970 0317 30716 0 00516 742640 01817 038550 03117 32935 0 00616 765590 01917 06110 03217 35151 13 0 00716 78850 0217 083620 03317 37364 0 00816 811390 02117 106110 03417 39574 0 00916 834240 02217 128570 03517 41781 0 0116 857060 02317 1510 03617 43985 0 01116 879860 02417 173390 03717 46186 0 01216 902620 02517 195760 03817 48384 0 01316 925350 02617 21810 03917 5058 2 15819 379242 17219 104952 18618 82537 2 15919 359822 17319 085152 18718 8052 2 1619 340382 17419 065332 18818 785 2 16119 32092 17519 045482 18918 76477 2 16219 30142 17619 025612 1918 74452 2 16319 281882 17719 005712 19118 72423 2 16419 262332 17818 985782 19218 70392 2 16519 242752 17918 965822 19318 68358 2 16619 223142 1818 945842 19418 66322 2 16719 203512 18118 925832 19518 64283 2 16819 183852 18218 905792 19618 62241 2 16919 164162 18318 885732 19718 60196 2 1719 144452 18418 865642