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从积分和式到求积公式插值型求积公式求积公式的代数精度复合梯形公式MATLAB求积分命令 第五章数值积分与数值微分 1 椭圆周长计算 x acosty bsint 0 t 2 椭圆积分 2 x asin cos y bsin sin z ccos D 0 2 0 思考题 椭球面的面积计算 椭球面积的积分表达式 对二重积分的计算问题 三维体积的离散数据计算 3 积分和式的计算 f x C a b 单增 令h b a n xk a kh k 0 1 2 n 近似计算 4 4 8612e 0044 8660e 0044 8683e 0044 8695e 0044 8701e 0044 8704e 0044 8706e 0044 8707e 0044 8707e 004 4 8803e 0044 8755e 0044 8731e 0044 8719e 0044 8713e 0044 8710e 0044 8709e 0044 8708e 0044 8708e 0044 8708e 004 a 7782 5c 972 5 P 170人造卫星的轨道长度计算 5 数值求积公式的一般形式 机械求积公式 R f 为数值求积公式余项 x0 x1 xn为求积结点 A0 A1 An为求积系数 矩形公式 取A0 b a 特别地 时分别称为左矩公式 中矩公式 右矩公式 6 梯形公式 取A0 A1 b a 2 Simpson公式取A0 A3 b a 6 A1 2 b a 3 7 8 插值型求积公式 在 a b 上取a x0 x1 x2 xn b作Lagrange插值 令 插值求积法 9 插值型求积公式的余项 例2梯形公式的误差余项 即 10 例3取x0 a x1 0 5 a b x2 b 则h 0 5 b a A0 b a 6A1 2 b a 3A2 b a 6 著名的Simpson公式 11 定义 若一个求积公式对f x xi i 0 1 m 能精确成立 但对f x xm 1不精确成立 则称该公式具有m次代数精度 令机械求积公式对f x xi i 0 1 n 精确成立 那么得线性方程组当节点xk k 0 1 n 给定且互异时 系数Ak可由上式确定 12 定理 n 1 个节点的求积公式为插值型的充要条件是该公式至少有n次代数精度 类似有 Simpson公式具有3阶代数精度 例 矩形公式代数精度为0 13 解 取f x 1 x x2令求积公式准确成立 容易验证 对f x x3求积公式式不能准确成立 因此这一公式只具有2次代数精度 14 取等距结点xj a jh时 插值型求积公式称为Newton Cotes公式 定理 当n为偶数时 n阶Newton Cotes公式至少有 n 1 阶代数精确度 Newton Cotes公式代数精度至少为n 15 复合梯形求积公式 将积分区间 a b n等分 令h b a n xj a jh 16 17 取 递推 得 给定允许误差界 0 当 时 结束计算并以T2n作为定积分的近似值 18 f inline sqrt 7782 5 sin x 2 59621550 cos x 2 t 0 25 pi f 0 f pi 2 n 1 h pi 2 e 1 k 0 whilee 0 01s 0 5 t h sum f 5 h h pi 2 e abs s t t s n 2 n h h 2 k k 1end4 t ans 4 8707e 004 循环次数k 2 复合梯形公式计算 将程序第二行改为t 0 5 pi f pi 2 用积分部分和式计算 循环次数k 13 19 f inline sqrt 7782 5 sin x 2 59621550 cos x 2 T 4 quad f 0 pi 2 Ans 4 8707e 004 MATLAB求定积分命