2016等差数列专题教师版

超级名师工作室 高二第高二第 1 1 讲讲 等差数列等差数列 第一部分第一部分 知识重点知识重点 1 1 等差数列的定义 等差数列的定义 一般地 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那 么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表 示 2 2 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an a1 n 1 d n m d p 3 3 等差中项 等差中项 如果三个数x A y组成等差数列 那么A叫做x和y的等差中项 如果A是x 和y的等差中项 则A x y 2 4 4 等差数列的常用性质 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m N N 2 若 an 为等差数列 且m n p q 则am an ap aq m n p q N N 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N N 是公差为md的 等差数列 4 数列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列 5 S2n 1 2n 1 an 6 若n为偶数 则S偶 S奇 nd 2 若n为奇数 则S奇 S偶 a中 中间项 5 5 等差数列的前 等差数列的前n n项和公式项和公式 若已知首项a1和末项an 则Sn 或等差数列 an 的首项是a1 公差 n a1 an 2 是d 则其前n项和公式为Sn na1 d n n 1 2 6 6 等差数列的前 等差数列的前n n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系 Sn n2 n 数列 an 是等差数列的充要条件是Sn An2 Bn A B为常数 d 2 a1 d 2 7 7 最值问题 最值问题 在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则Sn存在最大值 若a1 0 d 0 则Sn存在最小值 第二部分 基础回顾 1 已知等差数列 an 中 a3 9 a9 3 则公差 d 的值为 A B 1C D 1 2 已知数列 an 的通项公式是 an 2n 5 则此数列是 A 以 7 为首项 公差为 2 的等差数列B 以 7 为首项 公差为 5 的等差数列 C 以 5 为首项 公差为 2 的等差数列D 不是等差数列 3 在等差数列 an 中 a1 13 a3 12 若 an 2 则 n 等于 超级名师工作室 A 23B 24C 25D 26 4 两个数 1 与 5 的等差中项是 A 1B 3C 2D 5 2005 黑龙江 如果数列 an 是等差数列 则 A a1 a8 a4 a5B a1 a8 a4 a5C a1 a8 a4 a5D a1a8 a4a5 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式 Sn a1 a2 a3 an Sn an an 1 a1 得 Sn n a1 an 2 两个技巧两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题 要善于设元 1 若奇数个数成等差数列且和为定值时 可设 为 a 2d a d a a d a 2d 2 若偶数个数成等差数列且和为定值时 可设 为 a 3d a d a d a 3d 其余各项再依据等差数列的定义进行对称 设元 四种方法四种方法 等差数列的判断方法 1 定义法 对于n 2 的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证 2an 1 an an 2 n 3 n N N 都成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证Sn An2 Bn 注注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列 而不能用来证明等差数列 回顾 回顾 考点考点 1 1 等差数列的通项与前等差数列的通项与前 n n 项和项和 题型题型 1 1 已知等差数列的某些项 求某项 已知等差数列的某些项 求某项 解题思路解题思路 给项求项问题 先考虑利用等差数列的性质 再考虑基本量法 例例 1 1 已知为等差数列 20 8 6015 aa 则 75 a n a 解 解 方法方法 1 1 15 4 15 64 2059 814 1 160 115 da daa daa 24 15 4 74 15 64 74 175 daa 方法方法 2 2 15 4 45 820 1560 1560 aa d 超级名师工作室 24 15 4 1520 6075 6075 daa 方法方法 3 3 令banan 则 3 8 45 16 2060 815 ba ba ba 24 3 8 45 16 7575 75 baa 方法方法 4 4 为等差数列 n a 7560453015 aaaaa也成等差数列 设其公差为 1 d 则 15 a为首项 60 a为第 4 项 438203 111560 dddaa 24420 16075 daa 方法方法 5 5 为等差数列 75 60 15 756015 aaa三点共线 n a 24 15 20 45 820 60751560 75 7560751560 a aaaaa 对应练习对应练习 1 已知为等差数列 qapa nm knm 互不相等 求 k a n a 2 已知5个数成等差数列 它们的和为5 平方和为165 求这5个数 题型题型 2 2 已知前 已知前n项和项和 n S及其某项 求项数及其某项 求项数 解题思路解题思路 利用等差数列的通项公式dnaan 1 1 求出 1 a及d 代入 n S可 求项数n 利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出 n aa 1 代入 n S可求项数n 例例 2 2 已知 n S为等差数列的前n项和 63 6 9 94 n Saa 求n n a 解 解 设等差数列的首项为 1 a 公差为d 则 3 18 68 93 1 1 1 da da da 超级名师工作室 7 663 1 2 3 18 21 nnnnnSn 对应练习 对应练习 3 若一个等差数列的前 4 项和为 36 后 4 项和为 124 且所有项的和为 780 求这个数列的项数n 4 已知 n S为等差数列的前n项和 100 7 1 41 n Saa 则 n a n 题型题型 3 3 求等差数列的前 求等差数列的前 n n 项和项和 解题思路解题思路 1 1 利用 n S求出 n a 把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题 2 2 含绝对值符号的数列求和问题 要注意分类讨论 例例 3 3 已知 n S为等差数列的前n项和 2 12nnSn n a 1 321 aaa 求 10321 aaaa 求 n aaaa 321 解 解 2 12nnSn 当1 n时 11112 11 Sa 当2 n时 nnnnnSSa nnn 213 1 1 12 12 22 1 当1 n时 1 111213a nan213 由0213 nan 得 2 13 n 当61 n时 0 n a 当 7 n时 0 n a 1 273312 2 3321321 Saaaaaa 10987632110321 aaaaaaaaaaaa 52 101012 6612 22 22 106 SS 3 61 n时 超级名师工作室 2 321321 12nnaaaaaaaa nn 当7 n时 876321321nn aaaaaaaaaaa 7212 12 6612 22 222 6 nnnnSS n 对应练习 对应练习 5 已知 n S为等差数列的前n项和 10 100 10010 SS 求 110 S n a 考点考点 2 2 证明数列是等差数列 证明数列是等差数列 名师指引名师指引 判断或证明数列是等差数列的方法有 1 定义法 daa nn 1 Nn d是常数 是等差数 n a 列 2 中项法 21 2 nnn aaa Nn 是等差数列 n a 3 通项公式法 bknan bk 是常数 是等差数列 n a 4 项和公式法 BnAnSn 2 BA 是常数 0 A 是等差数列 n a 例例 4 4 已知 n S为等差数列的前n项和 Nn n S b n n n a 求证 数列 n b是等差数列 解 解 方法 1 1 设等差数列的公差为d dnnnaSn 1 2 1 1 n a dna n S b n n 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 111 d dnandabb nn 常数 数列 n b是等差数列 超级名师工作室 方法 2 2 dna n S b n n 1 2 1 1 ndabn 2 1 11 dnabn 1 2 1 12 11112 22 1 2 1 1 2 1 nnn bndadnadnabb 数列 n b是等差数列 对应练习 对应练习 6 设 n S为数列的前n项和 NnpnaS nn n a 21 aa 1 常数p的值 2 证 数列 n a是等差数列 考点考点 3 3 等差数列的性质等差数列的性质 解题思路解题思路 利用等差数列的有关性质求解 例例 5 5 1 已知 n S为等差数列的前n项和 100 6 a 则 11 S n a 2 知 n S为等差数列的前n项和 mnnSmS mn 则 nm S n a 解 解 1 110011 2 211 2 11 6 6111 11 a aaa S 2 方法 1 1 令 令BnAnSn 2 则 nmmnBmnA nBmAm mBnAn 22 2 2 mn 1 BmnA 2 nmnmBnmAS nm 超级名师工作室 方法 2 2 不妨设nm mn aanm aaaaaSS mn mmnnnnm 2 1 1321 2 11 mnnm aaaa 2 1 nm aanm S nm nm 方法 3 3 是等差数列 n Sn 为等差数列 n a nm S nm m S m n S n nmmn 三点共线 nmS n m n nm S nm n m m n nm nm 对应练习 对应练习 7 含12 n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为 A n n12 B n n1 C n n1 D n n 2 1 8 设 n S n T分别是等差数列 的前n项和 3 27 n n T S n n 则 n a n a 5 5 b a 考点考点 4 4 等差数列与其它知识的综合等差数列与其它知识的综合 解题思路解题思路 1 利用 n a与 n S的关系式及等差数列的通项公式可求 2 求出 n T后 判断 n T的单调性 例例 6 6 已知 n S为数列的前n项和 nnSn 2 11 2 1 2 数列 n b满足 11 3 b n a nnn bbb 12 2 其前9项和为 153 1数列 n b的通项公式 n a 设 n T为数列 n c的前n项和 12 112 6 nn n ba c 求使不等式 57 k Tn 对 Nn都成立的最大正整数k的值 解 解 nnSn 2 11 2 1 2 超级名师工作室 当1 n时 6 11 Sa 当2 n时 5 1 2 11 1 2 1 2 11 2 1 22 1 nnnnnSSa nnn 当1 n时 1 651a 5 nan 2 2 2 112 nn nnnn bb bbbb n b是等差数列 设其公差为 d 则3 5 153369 112 1 1 1 db db db 23 1 35 nnbn 2 1 23 211 5 2 6 12 112 6 nnba c nn n 12 1 12 1 12 12 2 nnnn 12 1 1 12 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 nnn Tn Nn n T是单调递增数列 当1 n时 3 2 3 1 1 1min TTn 57 k Tn 对 Nn都成立 38 573 2 57 min k kk Tn 所求最大正整数k的值为37 对应练习 对应练习 9 已知 n S为数列的前n项和 3 1 a 2 2 1 naSS nnn n a 1数列的通项公式 n a 数列中是否存在正整数k 使得不等式 1 kk aa对任意不小于k的正整数都 n a 成立 若存在 求最小的正整数k 若不存在 说明理由 课后练习 课后练习 1 2010 2010 广雅中学广雅中学 设数列 n a是等差数列 且 2 8a 15 5a n S是数列 n a的前 n项和 则 超级名师工作室 A 1011 SS B 1011 SS C 910 SS D 910 SS 2 在等差数列中 120 5 a 则 8642 aaaa n a 3 数列中 492 nan 当数列的前n项和 n S取得最小值时 n n a n a 4 已知等差数列共有10项 其奇数项之和为10 偶数项之和为30 则其公差是 n a 5 设数列 n a中 11 2 1 nn aaan 则通项 n a 6 从正整数数列 5 4 3 2 1中删去所有的平方数 得到一个新数列 则这个新数列的第 1964项是 答案与解析 答案与解析 对应练习 对应练习 1 解析解析 nm kmqnkp a nk qa nm qp nk aa nm aa k knknm 2 解析解析 设这5个数分别为 2 2dadaadada 则 165105 1 165 2 2 5 2 2 2222222 da a dadaadada dadaadada 解得4 1 da 当4 1 da时 这5个数分别为 9 5 1 3 7 当4 1 da时 这5个数分别为 7 3 1 5 9 3 解析解析 124 36 3214321 nnnn aaaaaaaa 3423121 nnnn aaaaaaaa 40160 4 11 nn aaaa 3978020780 2 1 nn aan S n n 4 解析解析 设等差数列的公差为d 则2 3 17 14 14 aa d 101002 1 2 1 nnnnSn 5 解析解析 方法 1 1 设等差数列的公差为d 则 100 1099 50 11 104950100 1004510 1 1 1 d a da da 110109110 2 1 110 1110 daS 超级名师工作室 方法 2 2 290 2 90 10011 10011 10100 aa aa SS 110 2 110 2 110 100111101 110 aaaa S 6 解析解析 nn pnaS 21 aa 1 11 ppaa 由 知 nn naS 当2 n时 0 1 1 111 nnnnnnn aanannaSSa 2 0 1 naa nn 数列 n a是等差数列 7 解析解析 本两小题有多种解法 2 1 121 12531 n n aan aaaaS 奇 2 22 2642 n n aan aaaaS 偶 nn a