第八章第三节圆的方程.ppt

1 掌握确定圆的几何要素 2 掌握圆的标准方程与一般方程 1 圆的方程 1 圆的标准方程 2 圆的一般方程 思考探究 方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么 提示 充要条件是D2 E2 4F 0 2 点与圆的位置关系 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 A aB a 0C 2 a 0D 2 a 解析 方程表示圆 则a2 2a 2 4 2a2 a 1 0 2 a 答案 D 2 已知点A 1 1 B 1 1 则以线段AB为直径的圆的方程是 A x2 y2 2B x2 y2 C x2 y2 1D x2 y2 4 解析 圆心坐标为 0 0 半径r 圆的方程为x2 y2 2 答案 A 3 若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则实数a的取值范围是 A 11或a 1D a 1 解析 点 1 1 在圆内 1 a 2 1 a 2 4 即 1 a 1 答案 A 4 若圆x2 y2 2x 4y 0的圆心到直线x y a 0的距离为 则a的值为 解析 将圆的方程化为标准方程 x 1 2 y 2 2 5 故圆心C 1 2 到直线的距离d a 0或a 2 答案 0或2 5 圆心在直线x 2上的圆C与y轴交于两点A 0 4 B 0 2 则圆C的方程为 解析 线段AB的垂直平分线方程为y 3 故圆心坐标为 2 3 半径r 圆C的方程为 x 2 2 y 3 2 5 答案 x 2 2 y 3 2 5 确定圆的方程主要采用待定系数法 依据条件设出圆的方程 建立关于a b r或D E F的三元方程组解之即可 一般地 求圆的方程时 当条件中给出的是圆上若干点的坐标 较适合用一般式 通过解三元方程组求待定系数 当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上 圆的切线方程 圆的弦长等条件 适合用标准式 特别警示 在求圆的方程时 常用到圆的以下几个性质 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任一弦的中垂线上 3 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心三点共线 求经过点A 2 4 且与直线l x 3y 26 0相切于点B 8 6 的圆的方程 思路点拨 课堂笔记 法一 设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 则圆心C kCB 由kCB kl 1 1 又有 2 2 4 2 2D 4E F 0 82 62 8D 6E F 0 解 可得D 11 E 3 F 30 所求圆的方程为x2 y2 11x 3y 30 0 法二 设圆的圆心为C 则CB l 从而可得CB所在直线的方程为y 6 3 x 8 即3x y 18 0 由A 2 4 B 8 6 得AB的中点坐标为 3 1 又kAB 1 AB的垂直平分线的方程为y 1 x 3 即x y 4 0 由 联立后 解得即圆心的坐标为 所求圆的半径r 所求圆的方程为 求圆心在直线l x 3y 26 0 且过点A 2 4 和点B 8 6 的圆的方程 解 法一 AB的中点坐标为 3 1 kAB 1 AB的垂直平分线方程为y 1 x 3 即x y 4 0 由得 即圆心坐标为 7 11 所求圆的半径为r 5 所求圆的方程为 x 7 2 y 11 2 250 法二 设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 则圆心C 在直线x 3y 26 0上 D 3E 52 0 又A B在圆上 20 2D 4E F 0 100 8D 6E F 0 由 得D 14 E 22 F 80 所求圆的方程为x2 y2 14x 22y 80 0 研究与圆有关的最值问题时 可借助图形的性质 利用数形结合求解 一般地 1 形如u 形式的最值问题 可转化为动直线的斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的最值问题 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求y x的最大值和最小值 2 求x2 y2的最大值和最小值 思路点拨 课堂笔记 方程x2 y2 4x 1 0变形为 x 2 2 y2 3表示的图形是圆 1 y x可看作是直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值或最小值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 2 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 最小值是 2 2 7 4 求轨迹方程的一般步骤为 1 建系 设动点坐标为 x y 2 列出几何等式 3 用坐标表示得到方程 4 化简方程 5 除去不合题意的点 作答 如图所示 已知P 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 A B是圆上两动点 且满足 APB 90 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 思路点拨 课堂笔记 设AB的中点为R 坐标为 x y 则在Rt ABP中 AR PR 又因为R是弦AB的中点 在Rt OAR中 依勾股定理 AR 2 AO 2 OR 2 36 x2 y2 又 AR PR 所以有 x 4 2 y2 36 x2 y2 即x2 y2 4x 10 0 因此点R在一个圆上 而当R在此圆上运动时 Q点即在所求的轨迹上运动 设Q x y R x1 y1 因为R是PQ的中点 所以x1 y1 代入方程x2 y2 4x 10 0 得 2 2 4 10 0 整理得x2 y2 56 即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2 y2 56 本节从内容上看 主要考查利用待定系数法确定圆的标准方程及一般方程 从形式上看 主要以选择题 填空题出现 属中低档题目 2009年宁夏 海南高考将圆的方程与对称问题结合起来 有一定的综合性 考题印证 2009 海南 宁夏高考 已知圆C1 x 1 2 y 1 2 1 圆C2与圆C1关于直线x y 1 0对称 则圆C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1B x 2 2 y 2 2 1C x 2 2 y 2 2 1D x 2 2 y 2 2 1 解析 设点 x y 与圆C1的圆心 1 1 关于直线x y 1 0对称 则 解得 从而可知圆C2的圆心为 2 2 又知其半径为1 故所求圆C2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 答案 B 自主体验 如果圆x2 y2 3n2至少覆盖函数f x sin的两个最大值点和两个最小值点 则正整数n的最小值为 A 1B 2C 3D 4 解析 因为f x sin为奇函数 图象关于原点对称 令 解得f x 距原点最近的一个最小值点P 由题意3n2 2 2 得正整数n的最小值为2 答案 B 1 方程y 表示的曲线是 A 一条射线B 一个圆C 两条射线D 半个圆 解析 由题意y 0 由y 得x2 y2 25 此曲线为一半圆 答案 D 2 当a为任意实数时 直线 a 1 x y a 1 0恒过定点C 则以C为圆心 为半径的圆的方程为 A x2 y2 2x 4y 0B x2 y2 2x 4y 0C x2 y2 2x 4y 0D x2 y2 2x 4y 0 解析 由 a 1 x y a 1 0得a x 1 x y 1 0 直线恒过定点 1 2 圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 即x2 y2 2x 4y 0 答案 C 3 如果直线l把圆x2 y2 2x 4y 0平分 且不通过第四象限 那么直线l的斜率的取值范围是 A 0 1 B 0 C 0 D 0 2 解析 将圆的方程化为 x 1 2 y 2 2 5 圆心C 1 2 则过原点O和点C的直线的斜率为2 画出图形可得 直线l的斜率的取值范围是 0 2 答案 D 4 圆x2 y2 6x 4y 0的周长是 解析 将圆的方程化为标准方程 x 3 2 y 2 2 13 r 圆的周长为2 答案 2 5 圆心在x轴上 经过原点 并且与直线y 4相切的圆的标准方程是 解析 由题意知 圆心坐标是 4 0 半径为4 圆的方程为 x 4 2 y2 16 答案 x 4 2 y2 16 6 已知方程x2 y2 2 m 3 x 2 1 4m2 y