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逆矩阵的计算逆矩阵的计算 初等变换法初等变换法 1 用初等变换法求逆矩阵 如果 A 那么 A 的逆矩阵 A 1应当使 1 2 3 4 A 1 1 2 3 4 1 0 0 1 用一系列的矩阵逐渐把矩阵 A 变成单位矩阵 就可 以求 A 1 取 E1 那么 1 0 3 1 E1A 1 0 3 1 1 2 3 4 1 2 0 2 所得矩阵的左下角元素为 0 取 E2 那么 1 1 0 1 E2 E1A 1 1 0 1 1 2 0 2 1 0 0 2 所得矩阵的右上角元素为 0 取 E3 那么 1 0 0 1 2 E3 E2E1A 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 1 因此 E3E2E1A E 而 A 1A E 所以 A 1 E3E2E1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 1 0 3 1 1 1 0 1 2 1 0 3 1 2 1 3 2 1 2 2 解释 矩阵 A 将单位正方形 OABC 变为四边形 1 2 3 4 OA B C 图 1 则 A 1应该把 OA B C 变回到 OABC 图 1 下面我们将看到 用初等变换 反射 伸压 切变 怎样将 OA B C 逐步变回到 OABC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 01234 O A B C 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 1 1 O A B C 0 1 3 2 0 3 7 4 OA B C C B A E1 它把 OA B C 变为 OXYZ 图 2 1 0 3 1 图 2 E1是切变矩阵 它把 OA B C 往 Ox 轴上作切变 使 OX 与 OA 重合 O A B C 1 0 3 1 0 1 3 2 0 3 7 4 O X Y Z 0 1 3 2 0 0 2 2 O ZY X C B A 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 01234 E2 它把 OXYZ 变为 OAPQ 图 3 1 1 0 1 图 3 E2是切变矩阵 它把 OXYZ 往 Oy 轴上作切变 E3 它把 OAPQ 变为 OABC 重新得到 1 0 0 1 2 正方形 图 4 3 2 1 0 01234 O ZY A X P Q O X Y Z 1 1 0 1 0 1 3 2 0 0 2 2 O A P Q 0 1 1 0 0 0 2 2 图 4 E3是伸压变换 沿 y 轴方向 把 OAPQ 往 x 轴上压 缩 得到正方形 OABC 1 2 3 2 1 0 1 2 012 O A P Q O A P Q
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