时间序列及分析

时间序列时间序列 一 时间序列及其分类 一 时间序列及其分类 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间序列 例如 下表就是 我国国内生产总值 人口等在不同时间上得到的观察值排列而成的序列 国内生产总值等时间序列 年份国内生产总值 亿元 年末总人口 万人 人口自然增长率 居民消费水平 元 1994 1995 1996 1997 1998 46759 4 58478 1 67884 6 74772 4 79552 8 119850 121121 122389 123626 124810 11 21 10 55 10 42 10 06 9 53 1781 2311 2726 2944 3094 由表可以看出 时间序列形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部 分组成 根据所处的观察时间不同 现象所属的时间可以是年份 季度 月份或其他任何 时间形式 现象的观察值根据表现形式不同有绝对数 相对数和平均数等 因此 从观察 值的表现形式上看 时间序列可分为绝对数时间序列 相对数时间序列和平均数时间序列 等 由一系列绝对数按时间顺序排列而成的序列称为绝对数时间序列 它是时间序列中最 基本的表现形式 用于反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 绝对数时间序列根据观 察值所属的时间状况不同 可以分为时期序列和时点序列 例如 表中的国内生产总值序 列就是时期序列 时期序列中的观察值反映现象在一段时期内的活动总量 并且各观察值 通常可以直接相加 用于反映现象在更长一段时期内的活动总量 表中的年末总人口序列 属于时点序列 时点序列中的观察值反映现象在某一瞬间时点上的总量 它是在某一时点 上统计得到的 序列中的各观察值通常不能相加 由绝对数时间序列可以派生出相对数和 平均数时间序列 它们分别是由一系列相对数和平均数按时间顺序排列而成的 例如 表 中的人口自然增长率序列就是相对数时间序列 居民消费水平序列则是平均数时间序列 时间序列的描述性分析包括水平分析和速度分析两方面的内容 二 时间序列的水平分析 二 时间序列的水平分析 1 1 序时平均数序时平均数 在时间序列中 我们用表示现象所属的时间 表示现象在不同时间上观察值 i t i Y 也称为现象在时间上的发展水平 它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态 i Y i t 若观察的时间范围为 相应的观察值表示为 其中称 1 t 2 t n t 1 Y 2 Y 3 Y 1 Y 为最初发展水平 称为最末发展水平 若对两个观察值进行比较时 把现在的这个时期 n Y 称为报告期 用于比较的过去的那个时期称为基期 序时平均数是现象在不同时间上的观察值的平均数 它可以概括性地描述出现象在一 段时期内所达到的一般水平 在证券市场上 对股票价格或股票价格指数的分析中常用到 序时平均数 由于不同时间序列中观察值的表现形式不同 序时平均数有不同的计算方法 1 绝对数时间序列的序时平均数 由于绝对数时间序列有时期序列和时点序列之分 序时平均数的计算方法也有所区别 对于时期数列 序时平均数计算公式为 n Y n YYY Y n i i n 121 式中 表示序时平均数 为第 个时期的观察值 为观察值的个数 Y i Yin 例如 根据表中的国内生产总值序列 计算各年度的平均国内生产总值 根据上式得 亿元 46 65489 5 3 327447 1 n Y Y n i i 时点序列中的各观察值是在某个瞬间时点上取得的 由于各观察点的时间间隔长度有 所不同 序时平均数通常采用不同的计算方法 对于以 天 为统计间隔的时点序列 序时平均数可按上面的公式的计算 对于统计时点间隔在一天以上的时点序列 计算序时平均数时应先求出两个相邻 观察值的平均数 然后由此求出整个观察期间的观察值总量 最后再根据这一总量求得平 均数 其基本计算公式为 1 1 1 1 2 32 1 21 2 2 2 n i i n nn T T YY T YY T YY Y 式中 为观察值与之间的间隔日期长度 i T i Y 1 i Y 例如 设某种股票 2001 年各统计时点的收盘价如表 计算该股票 2001 年的年平均价 格 某种股票 2001 年各统计时点的收盘价 统计时点1 月 1 日3 月 1 日7 月 1 日10 月 1 日12 月 31 日 收盘价 元 15 214 217 616 315 8 根据上式得 3342 3 2 8 15 3 16 3 2 3 16 6 17 4 2 6 172 14 2 2 2 14 2 15 Y 16 O 元 当各观察时点的间隔相等时 即 上式可化简为 121 n TTT 1 22 12 1 n Y YY Y Y n n 例如 根据表中年末总人口数序列 计算 1994 1998 年间的年平均人口数 根据上式得 15 2 124810 123626122389121121 2 119850 Y 122366 5 万人 2 相对数或平均数时间序列的序时平均数 相对数和平均数通常是由两个绝对数对 比形成的 即观察值 计算序时平均数时 应先分别求出构成相对数或平均数 iii baY 的分子和分母的平均数 而后再进行对比 即得相对数或平均数序列的序时平均数 i a i b 其基本公式可写为 b a Y 式中和可按绝对数时间序列序时平均数的计算方法求得 ab 例如 已知 1994 1998 年我国的国内生产总值及构成数据如表 计算 1994 1998 年 间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重 我国国内生产总值及构成统计数据 年份 19941995199619971998 国内生产总值 亿元 其中 第三产业 亿 元 比重 46759 4 14930 0 31 9 58478 1 17947 2 30 7 67884 6 20427 5 30 1 74772 4 24033 3 32 1 79552 8 26104 3 32 8 设第三产业国内生产总值为 a 全部国内生产总值为 b 第三产业所占比重为 Y 则 65489 46 亿元 20688 46 亿 5 3 327447 1 n b b n i i 5 3 103442 1 n a a n i i 元 根据上式得 31 59 100 46 65489 46 20688 Y 即 1994 1998 年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的年平均比重为 31 59 2 2 增长量与平均增长量增长量与平均增长量 增长量是时间序列中的报告期水平与基期水平之差 用于描述现象在观察期内增长的 绝对数量 若二者之差为正数 表示增长 若为负数 则表示负增长 由于采用的基期不同 增长量有逐期增长量和累积增长量之分 逐期增长量是报告期 水平与前一时期水平之差 表示本期比前一时期增长的绝对数量 累积增长量是报告期水 平与某一固定时期水平之差 说明报告期与某一固定时期相比增长的绝对数量 设时间序列的观察值为 增长量为 逐期增长量和累积增长量的一 1 0 niYi 般形式可以写为 逐期增长量 2 1 1 niYY iii 累积增长量 2 1 0 niYYi i 不难看出 整个观察期内各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量 即 0 1 1 YYYY n n i ii 平均增长量是观察期各逐期增长量的平均数 用于描述现象在观察期内平均增长的数 量 它可以根据逐期增长量求得 也可以根据累积增长量求得 计算公式为 1观察值个数 累积增长量 逐期增长量个数 逐期增长量之和 平均增长量 三 时间序列的速度分析 三 时间序列的速度分析 1 1 发展速度与增长速度发展速度与增长速度 1 发展速度 发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比 用于描述现象在观 察期内的发展变化程度 由于采用的基期不同 发展速度可以分为环比发展速度和定基发展速度 环比发展速 度是报告期水平与前一时期水平之比 说明现象逐期发展变化的程度 定基发展速度是报 告期水平与某一固定时期水平之比 说明现象在整个观察期内总的发展变化程度 设时间序列的观察值为 0 1 发展速度为 R 环比发展速度和定基 i Yin 发展速度的一般形式可以写为 环比发展速度 1 2 1 i i i Y Y Rin 定基发展速度 1 2 0 Y Y R i i in 环比发展速度与定基发展速度之间的关系是 观察期内各个环比发展速度的连乘积等 于最末期的定基发展速度 两个相邻的定基发展速度 用后者除以前者 等于相应的环比 发展速度 即 为连乘符号 01 Y Y Y Y n i i 10 1 0 i iii Y Y Y Y Y Y 利用上述关系 可以根据一种发展速度去推算另一种发展速度 2 增长速度 增长速度也称增长率 是增长量与基期水平之比 用于描述现象的相 对增长程度 它可以根据增长量求得 也可以根据发展速度求得 其基本计算公式为 1 发展速度 基期水平 报告期水平 基期水平 基期水平 增长量 增长速度 由于采用的基期不同 增长速度也可分为环比增长速度和定基增长速度 前者是逐期 增长量与前一时期水平之比 用于描述现象逐期增长的程度 后者是累积增长量与某一固 定时期水平之比 用于描述现象在观察期内总的增长程度 设增长速度为 G 环比增长速度和定基增长速度的公式可写为 环比增长速度 1 1 11 1 ni Y Y Y YY G i i i ii i 定基增长速度 1 1 00 0 ni Y Y Y YY G ii i 需要指出 环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换算关系 在由环比增长速 度推算定基增长速度时 可先将各环比增长速度加 1 后连乘 再将结果减 1 即得定基增 长速度 例如 根据表中第三产业国内生产总值序列 计算各年的环比发展速度和增长速度 及以 1994 年为基期的定基发展速度和增长速度 解 根据上面的公式 可得计算结果如表 第三产业国内生产总值速度计算表 年份 19941995199619971998 国内生产总值 亿元 14930 017947 220427 524033 326104 3 发展速度 环比 定基 100 120 2 120 2 113 8 136 8 117 7 161 0 108 6 174 8 增长速度 环比 定基 20 2 20 2 13 8 36 8 17 7 61 0 8 6 74 8 2 2 平均发展速度与平均增长速度平均发展速度与平均增长速度 平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数 用于描述现象在整个观察期内平均 发展变化的程度 平均增长速度 平均增长率 则是用于描述现象在整个观察期内平均增 长变化的程度 它通常用平均发展速度减 1 来求得 计算平均发展速度的常用方法是水平法 水平法又称几何平均法 它是根据各期的环 比发展速度采用几何平均法计算出来的 计算公式为 1 0111 2 0 1 ni Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Rn n n i i n n n 式中 表示平均发展速度 n 为环比发展速度的个数 它等于观察数据的个数减R 1 为连乘符号 设平均增长速度为 则有 G 1 RG 例如 根据表中的有关数据 计算 1994 1998 年间我国第三产业国内生产总值的年平 均发展速度和年平均增长率 解 根据上式得 99 114 0 14930 3 26104 6 108 7 117 8 113 2 120 4 4 1 n i i Y Y R 年平均增长率为 114 99 1 14 99 1 RG 3 3 速度的分析与应用速度的分析与应用 对于大多数时间序列 特别是有关社会经济现象的时间序列 我们经常利用速度来描 述其发展的数量特征 尽管速度的计算与分析都比较简单 但实际应用中 有时也会出现 误用乃至滥用速度的现象 因此 在应用速度分析实际问题时 应注意以下几方面的问题 首先 当时间序列中的观察值出现 0 或负数时 不宜计算速度 比如 假定某企业连 续五年的利润额分别为 5 2 0 3 2 万元 对这一序列计算速度 要么不符合数学公 理 要么无法解释其实际意义 在这种情况下 适宜直接用绝对数进行分析 其次 在有些情况下 不能单纯就速度论速度 要注意速度与绝对水平的结合分析 我们先看一个例子 例如 假定有两个生产条件基本相同的企业 各年的利润额及有关的速度值如表 甲 乙两个企业的有关资料 甲企业乙企业 年份利润额 万元 增长率 利润额 万元 增长率 1996500 60 1997600208440 如果我们不看利润额的绝对值 仪就速度对甲 乙两个企业进行分析评价 可以看出 乙企业的利润增长速度比甲企业高出一倍 如果就此得出乙企业的生产经营业绩比甲企业 要好得多 这样的结论就是不切实际的 因为速度是一个相对值 它与对比的基期值的大 小有很大关系 大的速度背后 其隐含的绝对值可能很小 小的速度背后 其隐含的绝对 值可能很大 这就是说 由于对比的基点不同 可能会造成速度数值上的较大差异 进而 造成速度上的虚假现象 上述例子表明 由于两