高中物理必修2同步学案：第5章 曲线运动 第2节

1 第第 2 2 节节 质点在平面内的运动质点在平面内的运动 学习目标学习目标 知识与技能知识与技能 1 知道物体的运动轨迹不是直线是 需要建立平面直角坐标系进行研究 2 初步认识运动的合成与分解遵循平行四边形定则 3 初步分析运动的合成与分解问题 过程与方法过程与方法 1 通过对蜡块运动的观察和思考 了解一个运动可以与几个不同的运动效果相同 体会等效替代的思想 2 经历蜡块运动位置 轨迹 速度的研究过程 体会其中所用到的方法 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 1 通过观察 培养观察能力 2 通过讨论与交流 培养勇于表达的习惯和用科学语言严谨表达的能力 预习要点预习要点 要点一要点一 分运动与合运动的理解分运动与合运动的理解 1 分运动与合运动的定义 一个物体同时参与两种运动时 这两种运动是分运动 而物体相对地面的实际运动都 是合运动 实际运动的方向就是合运动的方向 2 合 分运动的关系 1 等效性 各分运动合成起来与合运动相同 即分运动与合运动可以 等效替代 2 独立性 一个物体同时参与两个分运动 其中的任一分运动并不会因为存在另外的 分运动而有所改变 即各分运动是互相独立 互不影响的 3 等时性 各个分运动与合运动总是同时开始 同时结束 经历的时间相等 因此知 道了某一个分运动的时间 也就知道了合运动的时间 反之也成立 4 同体性 合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动 一个物体的合运动不能 分解为另一个物体的分运动 3 合运动与分运动的求法 1 已知分运动求合运动 又叫运动的合成 已知合运动求分运动 又叫运动的分 解 不管合成还是分解 其实质是对运动的位移 x 速度 v 和加速度 a 的合成与分解 因 为位移 速度 加速度都是矢量 所以求解时遵循的法则是矢量运算的平行四边形定则 2 运动的合成 两分运动在同一直线上时 同向相加 反向相减 例如 竖直抛体运动看成是竖直 方向的匀速运动 v0t 和自由落体运动 gt2 的合成 下抛时 vt v0 gt x v0t gt2 上 1 2 1 2 抛时 vt v0 gt x v0t gt2 1 2 不在同一直线上时 按照平行四边形定则进行合成 如图 5 2 2 所示 图 5 2 2 2 3 运动的分解 运动的分解如同力的分解一样 如果没有其他条件约束的话 一个运动可以分解为无 数组分运动 因此 在具体问题中 除遵循平行四边形定则外 还应该依据物体运动的实 际效果来进行分解 进行运动分解的步骤 确定合运动方向 实际运动方向 分析合运动的运动效果 依据合运动效果确定两分运动方向 依据平行四边形定则作出分解矢量图 要点二要点二 运动的性质和轨迹的判断运动的性质和轨迹的判断 1 判断方法 两个互成角度的直线运动的合运动的性质和轨迹 由两分运动的性质及合初速度与合 加速度的方向关系决定 1 a 0 匀速直线运动或静止 2 a 恒定 性质为匀变速运动 分为 v a 同向 匀加速直线运动 v a 反向 匀减速直线运动 v a 成角度 匀变速曲线运动 轨迹在 v a 之间 且和速度 v 的方向 相切 方向逐渐向 a 的方向接近 但不可能达到 3 a 变化 性质为变加速运动 2 互成角度的两个直线运动的合运动的几种可能情况 1 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动 2 一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动 3 两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动 合运动的方向 即两个加速度合成的方向 4 两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动 也可能是匀 变速曲线运动 当两个分运动的初速度的合速度方向与两个分运动的合加速度方向在同一 直线上时 合运动为匀变速直线运动 否则为匀变速曲线运动 要点三要点三 小船渡河问题小船渡河问题 图 5 2 3 船横渡过河时 船的实际运动 v 即相对于河岸的运动 可以看成是随水以速度 v水漂流 的运动和以速度 v船相对于静水的划行运动的合运动 这两个分运动互不干扰而且具有等 时性 如图 5 2 3 所示 1 渡河时间 t 最短问题 1 渡河时间 t 的大小取决于河岸的宽度 d 及船在垂直河岸方向上的速度的大小 2 图 5 2 4 若要渡河时间最短 只要使船头垂直于河岸航行即可 由图 5 2 4 可知 此时 tmin 船渡河的位移 x 位移方向满足 tan d v船 d sin v船 v水 2 渡河位移最短问题 求解渡河位移最短问题 分为两种情况 3 1 图 5 2 5 若 v水v船 这时无论船头指向什么方向 都无法使船垂直河岸渡河 即最短位移 不可能等于河宽 d 寻找最短位移的方法是 如图 5 2 6 所示 图 5 2 6 按水流速度和船的静水速度大小的比例 先从出发点 A 开始做矢量 v水 再以 v水末 端为圆心 以 v船大小为半径画圆弧 自出发点 A 向圆弧做切线 其方向为船位移最小时 的合运动的方向 这时船头与河岸夹角 满足cos 最短位移 xmin 过河时间 v船 v水 d cos t d v船sin 答疑解惑答疑解惑 1 如何区分合运动与分运动 合运动一定大于它的分运动对应的物理量吗 如何区分合运动与分运动 合运动一定大于它的分运动对应的物理量吗 平行四边形定则是解决运动合成和分解的工具 在处理一个复杂的运动时 首先明确 哪个是合运动 哪个是分运动 才能用平行四边形定则求某一时刻的合速度 分速度 某 一过程的合位移 分位移 物体实际发生的运动 通常叫合运动 例如 分析小船渡河问题 图 5 2 7 甲中 船头始终与河岸垂直 小船的合速度就 是斜向下游的速度 v 而图乙中小船船头必须指向斜上游 才能保证小船沿与河岸垂直的方 向渡河 即有垂直河岸的合速度 v 图 5 2 7 可以得出如下结论 合运动是研究对象实际发生的运动 一般以地面为参考系 合运动在中央 分运动在两边 合运动不一定总是大于分运动 它可以大于 等于或小于它的分运动 2 两个互成角度的直线运动的合运动一定是直线运动吗 两个互成角度的直线运动的合运动一定是直线运动吗 互成角度的两个直线运动的合运动不一定是直线运动 判断是直线还是曲线要看合外 力 或合加速度 的方向与合速度的方向是否共线 若共线是直线运动 若不共线是曲线运 动 4 3 小船渡河时间最短的时候 位移也是最短吗 小船渡河时间最短的时候 位移也是最短吗 1 要使渡河时间最短 船头应指向对岸 即 v船与水流方向垂直 船渡河的位移 x d 渡河时间为 tmin d 为河宽 如图 5 2 8 甲所示 d sin d v船 2 当船垂直于对岸横渡时 位移最短为 d 渡河时间为 t 如图 5 2 8 乙 d v船sin 所示 图 5 2 8 总之 小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景 时间最短时 位移不是 最 短 典例剖析典例剖析 一 运动的合成与分解一 运动的合成与分解 例例 1 如图 5 2 9 所示 图 5 2 9 竖直放置 的两端封闭的玻璃管中注满清水 内有一个红蜡块能在水中以 0 1 m s 的速 度匀速上浮 现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时 使玻璃管水平匀速向右运动 测得红蜡块实际运动方向与水平运动方向间夹角为 30 1 则可知玻璃管水平方向的运动速度为多少 2 若玻璃管的长度为 1 0 m 则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中 玻璃管 水平运动的距离为多少 解析解析 蜡块的合运动从运动效果上知 同时参与两个分运动 随玻璃管向右的匀速运动 v2和竖直向上的匀速运动 v1 用平行四边形定则去分析合运动与分运动各物理量间的关系 1 v2 m s 0 17 m s v1 tan 30 0 1 3 3 2 蜡块上浮到顶端的时间 t s 10 s l v1 1 0 1 玻璃管水平运动的距离 x2 v2t 0 17 10 m 1 7 m 答案答案 1 0 17 m s 2 1 7 m 5 方法总结方法总结 弄清运动物体的合 分运动 利用平行四边形定则去求解合 分运动的物理量 二 船渡河问题二 船渡河问题 例 2 小船在 200 m 宽的河中横渡 水流速度为 3 m s 船在静水中的航速是 5 m s 求 1 要使小船到达河的正对岸 应如何行驶 多长时间能到达对岸 sin 37 0 6 2 当小船的船头始终正对河岸行驶时 它将在何时 何处到达对岸 解析解析 1 要使小船到达河的正对岸 则 v水 v船的合运动 v合应垂直于河岸 如右图所示 则 v合 4 m s v 2 船 v 2 水 经历时间 t s 50 s d v合 200 4 又 cos 0 6 即船的航向与岸的上游所成角度为 53 v水 v船 3 5 2 因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度 且这一方向上 小船做匀速运 动 故渡河时间 t s 40 s 小船沿河流方向的位移 l v水t 3 40 m 120 m 即 d v船 200 5 小船经过 40 s 在正对岸下游 120 m 处靠岸 答案答案 1 船的航向与岸的上游成 53 夹角 50 s 2 40 s 正对岸下游 120 m 方法总结方法总结 船过河的实际运动可看作随水漂流 v水和相对于静水的划行运动 v船的合运动 这两个 分运动互不干扰 各自独立 且具有等时性 明确船头正对河岸行驶时 并不到达河的正 对岸 而是漂向下游一段距离 要使小船到达河的正对岸 船头应与岸的上游成一角度 三 绳通过滑轮拉物体的运动问题三 绳通过滑轮拉物体的运动问题 例例 3 如图 5 2 10 所示 人用绳通过定滑轮拉物体 A 当人以速度 v0匀速前进时 求物体 A 的速度 图 5 2 10 解析解析 物体 A 的运动 即绳的末端的运动 可看作两个分运动的合成 一是沿绳的方向被 牵引 绳长缩短 绳长缩短的速度即等于 v0 二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动 它不改 变绳长 只改变角度 的值 这样就可将 vA按图示方向进行分解 从而依据 v1等于 v0 才能 找出 vA与 v0的关系 很容易求得物体 A 的速度 vA 当物体 A 向左移动时 将逐渐 v0 cos 变大 vA逐渐变大 虽然人做匀速运动 但物体 A 却在做变速运动 6 答案答案 v0 cos 方法总结方法总结 分析这类问题 要分清哪个是合运动 哪个是分运动 物体 A 的实际运动就是合运 动 A 物体沿绳方向的分速度也即绳子运动的速度 从而找到 A 物体与人的速度之间的联 系 课堂练习课堂练习 1 对于两个分运动的合运动 下列说法中正确的是 A 合运动的速度一定大于两个分运动的速度 B 合运动的速度一定大于一个分运动的速度 C 合运动的方向就是物体实际运动的方向 D 由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小 答案答案 C 解析解析 与合力跟分力的关系类似 合速度的大小可以大于分速度 也可以小于分速度 还可以等于分速度的大小 故 A B 均错 仅知道两个分速度的大小 无法画出平行四边形 也就不能求出合速度的大小 故 D 错 2 一只小船在静水中的速度大小始终为 5 m s 当在流速为 3 m s 的河中航行时 河 岸上的人能测量到小船实际航速的大小可能是 A 1 m s B 3 m s C 8 m s D 10 m s 答案答案 BC 3 图 5 2 11 竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水 内有一个用红蜡块做成的圆柱体 玻璃管倒 置时圆柱体能匀速上升 现将玻璃管倒置 在圆柱体匀速上升的同时让玻璃管水平匀速运 动 已知圆柱体运动的合速度是 5 cm s 30 如图 5 2 11 所示 则玻璃管水平运动 的速度是 A 5 cm s B 4 33 cm s C 2 5 cm s D 无法确定 答案答案 C 4 关于运动的合成与分解 下列说法正确的是 A 由两个分运动求合运动 合运动是唯一确定的 7 B 由合运动分解为两个分运动 可以有不同的分解方法 C 物体做曲线运动时 才能将这个运动分解为两个分运动 D 任何形式的运动 都可以用几个分运动代替 答案答案 ABD 解析解析 根据平行四边形定则 两个分运动的合运动就是以两个分运动为邻边的平行四 边形的对角线 A 正确 而将合运动分解为两个分运动时 可以在不同方向上分解 从而得 到不同的解 B 正确 任何形式的运动都可以分解 如竖直上抛运动可以分解成自由落体运 动和匀速直线运动的合运动 故 C 错误 D 正确 5 如图 5 2 12 所示 图 5 2 12 一名 92 岁的南非妇女从距地面大约 2 700 米的飞机上 与跳伞教练绑在一起跳下 成 为南非已知的年龄最大的高空跳伞者 假设没有风的时候 落到地面所用的时间为 t 而实 际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响 则实际下落所用时间 A 仍为 t B 大于 t C 小于 t D 无法确定 答案答案 A 解析解析 依据合 分运动的独立性 等时性 t 不变 A 正确 6 在平直铁路上以速度 v0匀速行驶的列车车厢中 小明手拿一钢球从某高处释放 探究其下落的规律 通过实验 下列结论得到验证的是 A 由于小球同时参与水平方向上的匀速运动和竖直方向上的下落运动 落点应比释 放点的正下方偏前一些 B 由于列车以 v0的速度向前运动 小球落点应比释放点的正下方偏后一些 C 小球应落在释放点的正下方 原因是小球不参与水平方向上的运动 D 小球应落在释放点的正下方 原因是小球在水平方向上速度也为 v0 答案答案 D 7 某人以一定的垂直于河岸的速度向对岸游去 当水流匀速时 关于他过河所需时 间 发生的位移与水的流速的关系正确的是 A 当水流速度很小时 发生的位移小 所需时间也小 B 当水流速度很大时 发生的位移大 所需时间小 C 当水流速度很大时 发生的位移大 所需时间不变 D 位移 时间都不随水流速度的改变而改变 即与水流速度无关 答案答案 C 8 北风速度 4 m s 大河中的水流正以 3 m s 的速度向东流动 船上的乘客看见轮船 烟囱冒出的烟柱是竖直的 求轮船相对于水的航行速度多大 什么方向 答案答案 5 m s 船头与上游河岸成 53 角 解析解析 本题的研究对象有北风 水流 乘客 烟柱 烟柱是竖直的 说明烟柱感觉不到 风 即人感觉不到风 那么轮船应该与风同速 轮船的实际航向正南 大小为 4 m s 由于河水 流动 轮船应该有一个分速度大小与 v水相等 方向与 v水相反 这样轮船才会朝正南方向行 8 驶 如下图所示 tan 则 37 v水 v风 3 4 即船头应该与上游河岸成 53 角航行 且 v船 m s 5 m s v 2 水 v 2 风42 32 课内探究课内探究 题型题型 运动的合成与分解问题运动的合成与分解问题 关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动 下列说法正 确的是 A 一定是直线运动 B 一定是曲线运动 C 可能是直线运动 也可能是曲线运动 D 以上说法均不正确 答案答案 C 解析解析 两个运动的初速度合成 加速度合成 如右图所示 当 a 与 v 重合时 物体做直线运动 当 a 与 v 不重合时 物体做曲线运动 由于题目没有 给出两个运动的初速度和加速度的具体数值及方向 故以上两种情况均有可能 C 正确 拓展探究拓展探究 若两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动呢 若两个匀速直线运动的 合运动呢 应选择上题中哪些答案 答案答案 均为 A 项 归纳总结归纳总结 两个直线运动的合运动做曲线运动还是做直线运动 取决于 v合和 a合的方向关系 即 若两者共线 是直线运动 反之则是曲线运动 合运动是否是匀变速运动 取决于 a合 若 a合恒定 则为匀变速运动 若 a合不恒定 则为非匀变速运动 题型题型 小船渡河问题小船渡河问题 一小船渡河 河宽 d 180 m 水流速度 v1 2 5 m s 船在静水中的速度为 v2 5 m s 求 1 欲使船在最短的时间内渡河 船头应朝什么方向 用多长时间 位移是多少 2 欲使船渡河的航程最短 船头应朝什么方向 用多长时间 位移是多少 答案答案 1 垂直河岸 36 s 90 m 2 偏上游与河岸成 60 角 24 s 180 m 53 解析解析 将船实际的速度 合速度 分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度 垂 直分速度影响渡河的时间 而平行分速度只影响平行河岸方向的位移 1 欲使船在最短时间内渡河 船头应朝垂直河岸方向 当船头垂直河岸时 如右图所示 9 合速度为倾斜方向 垂直分速度为 v2 5 m s t s 36 s d v d v2 180 5 v合 m s v2 1 v2 2 5 2 5 x v合t 90 m 5 2 欲使船渡河航程最短 应垂直河岸渡河 船头应朝上游与河岸成某一角度 垂直河岸渡河要求 v水平 0 所以船头应向上游偏转一定角度 如右图所示 有 v2sin v1 得 30 所以当船头向上游偏与河岸成一定角 60 时航程最短 x d 180 m t s 24 s d v d v2cos 30 180 5 2 33 拓展探究拓展探究 若船在静水中的速度 v2 1 5 m s 要使船渡河的航程最短 船头应朝什么 方向 位移是多少 答案答案 船头与上游河岸成 53 角 300 m 解析解析 因为船速小于水速 所以船一定向下游漂移 设合速度方向与河岸下游方向夹角为 则航程 x 欲使航程最短 需 最大 如右图所示 由出发点 A 作出 v1矢量 以 v1矢量 d sin 末端为圆心 v2大小为半径作圆 A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向 欲使 v合与水 平方向夹角最大 应使 v合与圆相切 即 v合 v2 sin 得 37 v2 v1 1 5 2 5 3 5 所以船头与上游河岸夹角为 53 位移 x m 300 m d sin 180 sin 37 归纳总结归纳总结 10 1 不论水流速度多大 船身垂直于河岸渡河 时间最短 tmin 且这个时间与水 d v船 流速度大小无关 2 当 v水v船时 船不能垂直到达河对岸 但仍存在最短航程 当 v船与 v合垂直时 航程最短 最短航程为 xmin d v水 v船 题型题型 绳子末端速度的分解问题绳子末端速度的分解问题 如图 1 所示 图 1 用船 A 拖着车 B 前进 若船匀速前进 速度为 vA 当 OA 绳与水平方向夹角为 时 求 1 车 B 运动的速度 vB多大 2 车 B 是否做匀速运动 答案答案 1 vAcos 2 B 不做匀速运动 解析解析 1 把 vA分解为一个沿绳子方向的分速度 v1和一个垂直于绳的分速度 v2 如右图所示 所 以车前进的速度 vB应等于 vA的分速度 v1 即 vB v1 vAcos 2 当船匀速向前运动时 角逐渐减小 车速 vB将逐渐增大 因此 车 B 不做匀速运 动 拓展探究拓展探究 如图 2 所示 A 物块以速度 v 沿竖直杆匀速下滑 经细绳通过定滑轮拉动 物体 B 在水平方向上运动 当细绳与水平面夹角为 时 求物体 B 运动的速度大小 图 2 答案答案 vsin 解析解析 此题为绳子末端速度分解问题 物块 A 沿杆向下运动 产生使绳子伸长与使绳子绕定滑 轮转动两个效果 因此绳子端点 即物块 A 的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的 11 两个分速度 如右图所示 其 中物体 B 的速度大小等于沿绳子方向的分速度 则有 sin 因此 vB vsin vB v 归纳总结归纳总结 1 速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解 物体的实际运动方向就是合 速度的方向 然后分析由这个合速度所产生的实际效果 以确定两个分速度的方向 2 跨过定滑轮物体拉绳 或绳拉物体 运动的速度分解 物体速度 v 沿绳方向的分速度 就是绳子拉长或缩短的速度 另一个分速度就是使绳子摆动的速度 3 通过绳子的速度去找绳子连着的两物体间速度的关系 课后练习课后练习 1 关于运动的合成 下列说法中正确的是 A 合运动的速度不一定比每一个分运动的速度大 B 两个匀速直线运动的合运动也一定是直线运动 C 只要两个分运动是直线运动 那么合运动也一定是直线运动 D 两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 答案答案 ABD 2 好莱坞电影以惊险刺激的镜头赢得了众多影迷的喜爱 男演员从高速匀速行驶的列 车上飞身跃下的镜头更是屡见不鲜 如果不计空气阻力 在地面上从垂直列车运动方向看 演员落地过程中 相对于地面的运动轨迹应是 答案答案 C 3 关于运动的合成与分解 下列说法正确的是 A 合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和 B 物体的两个分运动若是直线运动 则它的合运动一定是直线运动 C 两个分运动是直线运动 合运动可能是直线运动 也可能是曲线运动 D 若合运动是曲线运动 则其分运动至少有一个是曲线运动 答案答案 C 解析解析 合运动和分运动之间满足平行四边形定则 故 A 错 合运动是直线运动还是曲线 运动 取决于 v合的方向和 a合的方向的关系 若 v合的方向与 a合的方向共线 则合运动为直 线运动 反之为曲线运动 故 B D 错 而 C 正确 4 如图 3 所示 图 3 在一次救灾工作中 一架沿水平直线飞行的直升飞机 A 用悬索 重力可忽略不计 救 护困在湖水中的伤员 B 在直升飞机 A 和伤员 B 以相同的水平速度匀速运动的同时 悬索 12 将伤员吊起 在某一段时间内 A B 之间的距离以 l H T2 式中 H 为直升飞机 A 离地 面的高度 各物理量的单位均为国际单位制单位 规律变化 1 则在这段时间内 下列判断中正确的是 不计空气作用力 A 悬索的拉力小于伤员的重力 B 悬索成倾斜直线 C 伤员做速度减小的曲线运动 D 伤员做加速度大小方向均不变的曲线运动 2 则在这段时间内关于伤员的受力情况和运动轨迹正确的是下图中的 答案答案 1 D 2 A 5 如图 4 所示 图 4 当小车 A 以恒定速度 v 向左运动时 则对于 B 物体来说 下列说法正确的是 A 匀加速上升 B 匀速上升 C B 物体受到的拉力大于 B 物体受到的重力 D B 物体受到的拉力等于 B 物体受到的重力 答案答案 C 解析解析 小车 A 与物体 B 由同一条绳子连接且一起运动 则有小车速度沿绳子方向的分 速度等于 B 上升的速度 小车向左的运动产生两个效果 一是使车与滑轮间的绳子拉长 二 是增大绳子与竖直方向间的夹角 故可将小车的速度分解为沿绳子方向的速度 v1和垂直于 绳子方向的速度 v2 物体 B 的速度即为 v1 v1 vcos 小车 A 向左运动时 减小 cos 增 大 即 v1变大 即物体 B 向上做加速运动 拉力 F mg 故 C 选项正确 6 如图5 所示 图 5 在长约 80 100 cm 一端封闭的玻璃管中注满清水 水中放一个用红蜡做成的小圆柱 体 小圆柱体恰能在水中匀速上浮 将玻璃管的开口端用胶塞塞紧 然后将玻璃管竖直倒 置 在红蜡块匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面水平向右匀加速移动 你正对黑板面将 看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是下图中的 答案答案 C 13 7 小河宽为 d 河水中各点水流速度与各点到较近的河岸边的距离成正比 v水 kx k x 是各点到河岸的距离 小船船头垂直于河岸渡河 小船划水速度为 v0 4v0 d 则下列说法中正确的是 A 小船渡河时的轨迹是直线 B 小船到达距河岸 处 船的渡河速度为v0 d 42 C 小船渡河时的轨迹是曲线 D 小船到达距河岸处 船的渡河速度为v0 3d 410 答案答案 BC 解析解析 小船同时