高中数学易错

1 高中数学易错 易混 易忘问题备忘录高中数学易错 易混 易忘问题备忘录 集合与命题集合与命题 1 在应用条件 A B B A B A A B 时 易忽略 是空集 是空集 的情况 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 例 1 已知 A x x2 tx 1 0 若 A R 则实数 t 集合 T 2 2 若 A x x22 且 A B 则 a 的取值范围是 a 4 2 若 AB 则 xA 是 xB 的充分条件 若 BA 则 xA 是 xB 的必要条件 A 是 B 的充分非必要条件 B 是 A 的必要非充分条件 B 的充分非必要条件是 A A 的必要非充分条件是 B 例 1 x 1 是 x0 的一个充分非必要条件是 a 1 b 2 3 a b 0 的一个必要非充分条件是 a b 1 4 命题 A x 1 3 命题 B x 2 x a 0 若 A 是 B 的充分不必要条件 则 a 的 取值范围是 4 3 原命题和逆否命题是等价命题 证明原命题困难时 可证明它的逆否命题 例 命题 若两个实数的积是有理数 则此两实数都是有理数 的否命题是 4 求集合中的元素时 要注意检验集合中的元素具有互异性互异性 例 设集合 A a2 a 1 3 B a 3 2a 1 a2 1 若 A B 3 则由实数 a 所能取的值 所组成的集合是 1 5 注意集合中元素的一般形式 例 的区别是什么 1 1 1 222 xyyxxyyxyx 函数与方程函数与方程 定义域 值域 解集都要写成集合的形式 定义域 值域 解集都要写成集合的形式 6 求解与函数有关的问题易忽略定义域优先定义域优先的原则 例 1 函数的单调递增区间是 1 log 2 50 xy 1 2 2 函数在区间 2 上单调递增 则实数 a 的取值范围 3 log 2 2 aaxxxf 是 4 4 7 判断函数奇偶性时 易忽略检验函数定义域是否关于原点对称检验函数定义域是否关于原点对称 例 1 若已知 f x 在 a b 上为奇函数或偶函数 则 a b 0 2 若 f x 为奇函数且 f 0 有意义 则 0 0 3 函数的奇偶性是 奇函数 2 2 1 2 x x y 4 判断函数 f x x 1 的奇偶性为 非奇非偶函数 x x 1 1 8 1 求反函数时 易忽略求反函数的定义域求反函数的定义域 2 反函数存在的条件是 自变量和应变量一一对应的函数 2 例 已知函数 f x 的反函数 f 1 x 0 1 0 2 log 2 x x x xx xf 10 1 1 22 x x x x x 3 函数与其反函数之间的一个有用的结论 1 fbaf ab 4 反函数的运算应符合先反后代入的顺序 f 1 x 是 f x 的反函数 f 1 x 1 不是 f x 1 的反函数 而是先求 f x 的反函数 f 1 x 再将 x 1 代替 f 1 x 中的 x 得到 f 1 x 1 例 已知 若函数 g x 的图像与 1 x 1 的图像关于直线 y x 对称 则 1 32 x x xf g 3 解一 2 7 3 2 7 3 1 4 1 4 1 2 3 11 gx x x x x xf x x xf 解二 设 g 3 m 则 1 m 1 3 3 m 1 故 2 7 1 2 9 13 332 3 mmf 9 一条曲线可以作为函数图像的充要条件是 曲线与任何平行于 y 轴的直线至多只有一个 交点 一个函数存在反函数的充要条件是 定义域与值域中元素须一一对应 反应在图 像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点 函数的反函数是唯一的 x 原函数在区间 a a 上单调递增 则一定存在反函数 且反函数 y f 1 x 也单调递增 但一个函数存在反函数 此函数不一定单调 例如 但一个函数存在反函数 此函数不一定单调 例如 x y 1 例 函数的反函数为 2 22 log 2 2 xxxxf 1 121 1 xxf x 10 1 若对一切 x D 恒有 f a x f b x 则 y f x 的图象关于直线对称 2 ba x 2 若对一切 x D 恒有 f x f 2a x 2b 则 f x 的图象关于点 a b 对称 3 若对一切 x R 恒有 f a x f b x 则 f x 为周期函数 T b a 4 若对一切 x R 恒有 f x f x a 或 f x 则 f x 为周期函数 T 2 a 1 axf 5 若函数同时关于 x a 和 x b 对称 则 f x 为周期函数 T 2 b a 11 会根据函数 f x 的图象 作出函数 y f x y f x y f x y f x y f x a y f x a y af x a 0 的图象 例 函数的单调递增区间为 与与 1 12 log 2 xxf 1 2 1 2 3 注意表达形式 12 证明函数的单调性时的规范格式 取值作差取值作差 判正负判正负 作商时注意同号 作商时注意同号 与与 1 比较 比较 设 x1 x2 a b x1 x2 那么 0 0 0 0 21 21 2121 21 21 2121 上是减函数在 上是增函数 在 baxf xx xfxf xfxfxx baxf xx xfxf xfxfxx 3 例 已知函数在 x 1 上是单调增函数 求实数 a 的取值范围 0 1 a x axxf a 1 13 奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致 偶函数在关于原点对称的区间内增减性 相反 若函数 y x 的图像关于直线 x a 对称 则它在对称轴的两侧的增减性相反 此时 函数值的大小取决于变量离对称轴的远近 解 抽象不等式 即函数不等式 多用函数的单 调性 但必须注意定义域 例 若函数 y x 是定义在区间 3 3 上的偶函数 且在 3 0 上单调递增 若实数满足a 2a 1 0 时 分别在上单调递减 cc 当 b ac0 则 t2 m 2 t 5 m 0 有两个正根 故 4 05 02 0 5 4 2 21 21 2 m mtt mtt mm 2 函数 y sinx cosx sinxcosx 2 的最大值是 最小值是 解 令 sinx cosx t 2 2 2 225 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 t t ty 注意 sinxcosx 与 sinx cosx sinx cosx 之间的关系 20 注意变量的隐含条件隐含条件 例 1 若 x 0 y 0 且 x 2y 1 那么 2x 3y2的最小值为 4 3 2 设 是方程 x2 2kx k 6 0 的两个实根 则 1 2 1 2的最小值是 8 21 用判别式判定方程解的个数 或交点的个数 时 易忽略讨论二次项的系数是否为 讨论二次项的系数是否为 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 例 函数的定义域为 R 则 k 的取值范围是 0 1 12 82 2 kxkx kx y 22 研究方程根的个数 超越方程 不等式 的解 特别是含有参量的 二次方程根的分 布 二次函数的值域 三角函数的性质 包括值域 含有绝对值的函数及分段函数的性质 包括值域 等问题常利用函数图像来解决 但必须注意的是作出的图形要尽可能准确 即 找准特殊的点 函数图像与坐标轴的交点 拐点 极值点等 递增递减的区间 最值等 例 1 已知函数 若不等式的解集不为空集 1 12 axxgxxf xgxf 则实数的取值范围是 a12 a 例 2 若曲线 y2 x 1 与直线 y kx b 没有公共点 则 k b 应当满足的条件是 k 0 1 b 1 不等式不等式 23 两个不等式相乘时 必须注意同向同号同向同号时才能相乘 即 bdac dc ba bdac dc ba 0 0 0 0 同时要注意 同号可倒同号可倒 即 ba ba ba ba 11 0 11 0 5 0 1 1 1 0 1 1 1 01 xxx x x x或注 24 解指对数不等式应注意指数函数与对数函数的单调性 对数的真数大于零 例 已知且 关于的不等式的解集是 解关于的不等式0a 1a x1 x a 0 x x x 的解集 1 log 0 a x x 1515 1 1 22 方程 log2 9x 1 5 log2 3x 1 2 2 0 的解集为 2 25 解含有参数的不等式时 注意分类讨论 讨论完之后 要写出 综上所述 原不等 式的解是 例 1 解不等式 ax 1 x 1 0 的解集为 1 则不等式的解集 2 0 x axb 为 1 2 26 不等式恒成立和有解问题 转化为函数的最值问题或利用参数分离转化为函数的最值问题或转化为两函数图象上 下方讨论的问题 4 3 2 1 maxmin minmax xfaaxfxfaaxf xfaaxfxfaaxf 有解有解 恒成立恒成立 例 1 已知 f x 32x k 1 3x 2 当 x R 时 f x 恒为正 求实数 k 的取值范围 2 若不等式 x2 logax 0 在 0 内恒成立 则实数 a 的取值范围是 1 2 1 16 1 3 若不等式 1 na B sinA sinB 在锐角三角形中 sinA cosB sinB cosA 注意此时 BA 2 46 解三角形时 一般要考虑正弦定理 余弦定理 A B C 三角形面积公式等 实 现边化角或角化边 使用正弦定理时易忘比值还等于 2R 1 正弦定理 为三角形 ABC 的外接圆直径 2 sinsin abc R AswinBC 2R 或写成 sin sin sina b cABC 10 2 余弦定理 或写成Aabcbacos2 222 ab acb A 2 cos 222 3 三角形 ABC 面积公式 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 例 ABC 中 已知 cosA sinB 则 cosC 的值为 13 5 5 3 65 16 47 余弦定理鉴定三角形的形状 锐角三角形 a2 b2 c2且 b2 c2 a2且 c2 a2 b2 钝角三角形 a2 b2 c2或 b2 c2 a2或 c2 a20 57 直线与圆的位置关系的判断主要是利用点 圆心 到直线的距离来判断 求直线被圆所截的弦长可用圆半径 弦心距 弦长一半组成直角三角形来求解 例 1 已知点是圆外的一点 则直线与圆的位置关系是 ba 222 ryx 2 rbyax C A 相离 B 相切 C 相交且不过圆心 D 相交且过圆心 例 2 过点 P 6 4 且被圆 x2 y2 20 截得弦长为 6的弦所在直线方程为 2 12 7x 17y 26 0 或 x y 2 0 例 3 过圆外一点 P 5 2 作圆 x2 y2 4x 4y 1 的切线 则切线方程为 或 x 5 5 24 7 2 xy 58 椭圆 到两定点 F1 F2的距离和为定值 2a 2a F1F2 的点的轨迹 若 2a F1F2 则轨迹为线段 F1F2 双曲线 到两定点 F1 F2的距离差的绝对值为定值 2a 2a F1F2 的点的轨迹 若没有绝对值 则为双曲线的一支 若 2a F1F2 则为射线 抛物线 到一定点 F 于一定直线 l 点 F 不在直线 l 上 的距离相等的点的轨迹 若点 F 在直线 l 上 则轨迹为过点 F 与 l 垂直的直线 圆锥曲线上的点到焦点的距离有关的问题应联想到圆锥曲线的定义 例 1 已知点 P 是椭圆上一点 F1 F2为两焦点 且 F1PF2 300 1 64100 22 yx 求 F1PF2的面积 32 64 2 P 为圆 O 内一定点 动圆 C 过点 P 与圆 O 相切 则点 C 的轨迹为 椭圆或圆 3 椭圆的中心在原点 对称轴为坐标轴 椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1 F2 组 成的三角形的周长为 4 2且 F1BF2 则椭圆的方程是 3 2 3 y 2 1 或或 x 2 1 x 2 4 y 2 4 59 椭圆与双曲线中 a b c 的关系 例 若方程 y 2 1 表示椭圆 则 m 的范围是 0 1 1 x 2 m 60 直线与圆锥曲线相交的问题 弦长 弦中点 最值 轨迹 对称等 一般解题思 路 1 直线方程与圆锥曲线方程联立 消元 判别式判别式 不可忽略不可忽略 韦达定理 2 设直线与圆锥曲线的交点 代入圆锥曲线方程 作差 得与直线斜率与中点有关 的形式 并判断中点位置 点差法 例 1 双曲线过点 P 1 1 能否作直线 l 与双曲线交于 A B 两点 使得 P 点1 2 2 2 y x 恰为弦 AB 的中点 不存在这样的直线 2 已知曲线 C 3x2 y2 1 与 y mx 1 交于 A B 两点 若以 AB 为直径的圆过原点 则 m 1 61 弦长公式 k 为直线 AB 的斜率 1 1 1 21 2 21 2 yy k xxkAB 62 求轨迹方程的基本方法 直接法 定义法 转移法 参数法等 例 1 已知 ABC 中 A 3 0 B 3 0 I 若 ABC 的周长为 16 则点 C 的轨迹方程是 II 若 CA CB 2 则点 C 的轨迹方程是 I II 0 1 1625 22 y yx 1 1 8 2 2 x y x 2 求椭圆 x2 2y2 1 上任意一点 P 与定点 A 3 0 的连线的中点的轨迹方程 2x 3 2 8y2 1 13 3 理 在 ABC 中 点 A 3 0 边 BC 的边长为 2 且 BC 在 y 轴上的区间 3 3 上滑 动 求 ABC 外心 P 的轨迹方程 y2 6x 8 y 2 2 63 过抛物线焦点的弦的性质 以 y2 2px 为例 过焦点 F 的直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则有 AB x1 x2 p 为 AB 的倾斜角 y1 y2 p2 x1 x2 2 sin 2p 4 2 p 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦 通径 的长是 2p 是所有过焦点的 弦中最短的 64 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 例 求渐近线为 y 2x 且经过 1 4 的双曲线标准方程 1 312 22 xy 65 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交相交 只有一个交点 如果直线与抛物 线的轴平行时 直线与抛物线相交相交 只有一个交点 此时两个方程联立 消元后为一次一次方 程 例 过点 0 1 且与抛物线 y2 2x 仅有一个交点的直线方程为 1 2 1 0 1 xyxy 例 若直线 y kx 1 与双曲线 4x2 y2 1 有且只有一个公共点 则 k 22 2 66 理 参数方程化为普通方程要注意变量的取值范围 例 1 将参数方程 为参数 化为普通方程为 cossin sincos y x x2 2y 1 2 2 x 2 曲线与直线 y 2x 的交点坐标为 2 0 2cos sin y x 13 2 13 67 理 对极坐标的处理方式 根据极坐标的定义或化为直角坐标 极坐标上的点 A 化为直角坐标系上的坐标为 cos sin 其实质就是三角函数的定义 会写圆的极坐标方程和直线的极坐标方程 例 1 圆的圆心的极坐标为 3 cos 4 3 2 2 已知点 则 AOB 的面积为 3 3 2 3 6 5 2 BA 68 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 1 给出与相交 即已知过的中点 OBOA ABOBOA AB 14 2 给出 即已知是的中点 0 PNPMPMN 3 给出以下情形之一 存在实数 若存在实数ACAB ABAC 即已知三点共线 1 OCOAOB CBA 4 给出 即已知 即是直角 0 MBMAMBMA AMB 给出 即已知是钝角或 1800角 0 mMBMAAMB 给出 即已知是锐角或是 00角 0 mMBMAAMB 5 给出 即已知是的平分线 MP MB MB MA MA MPAMB 6 在平行四边形 ABCD 中 给出 即已知 ABCD 是菱形 0 ADABADAB 7 在平行四边形 ABCD 中 给出 即已知 ABCD是矩形 ABADABAD 8 在 ABC 中 给出 即已知是的外心 三角形外 222 OCOBOA OABC 接圆的圆心 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 9 在 ABC 中 给出 即已知是的重心 三角形的0 OCOBOAOABC 重心是三角形三条中线的交点 10 在 ABC 中 给出 即已知是的垂心OAOCOCOBOBOA OABC 三角形的垂心是三角形三条高的交点 11 在 ABC 中 给出即已知通过 OAOP ABAC ABAC R AP ABC 的内心 立体几何立体几何 69 两条异面直线所成的角的范围 0 90 直线与平面所成的角的范围 0o 90 二面角的平面角的取值范围 0 180 70 理 用向量方法解立体几何问题 1 两异面直线 AB 与 CD 的所成角 满足 cos CDAB CDAB 2 直线 PA 与平面 的所成角 满足是平面 的法向量 n nPA nPA sin 3 两平面 和 所成的二面角 满足 cos 分别为平面 的法向 nm nm nm 量 cos 的正负有观察图形后得出的二面角的大小确定 4 点 P 到平面 的距离是平面 的法向量 A 点平面 上一点 n n nPA d 5 证明 PA 平面 是平面 内的两相交向量 00 nPAmPA nm 15 6 证明 PA 平面 是平面 的法向量 0 nPAn 71 棱柱的定义与分类 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体这些几 何体之间的联系和区别 以及它们的特有性质 长方体 正方体是最基本的几何体 要熟练掌握它们中的线面关系 长方体的长 宽 高分 别为 a b c 对角线长为 l 则 l a2 b2 c2 利用这一关系可以得到下面两个结论 1 若长 方体的对角线与三棱所成角分别为 则 cos2 cos2 cos2 1 2 若长方体的对角线与三面所成角分别为 则 cos2 cos2 cos2 2 72 棱锥与正棱锥的定义 侧棱长相等 侧棱与底面所成角相等 顶点在底面上的射影为底面的外心 顶点到底面各边的距离相等 侧面与底面所成角相等 顶点在底面的射影为底面的内心 侧棱两两垂直 对棱垂直 顶点在底面上的射影是底面的垂心 73 圆锥的侧面展开图示扇形 母线长是扇形的半径 R 扇形的弧长是底面圆的周长 2 r 由弧长公式得 2 r R 是扇形的圆心角 扇形的面积 rR 圆锥的体积 V 222 3 1 3 1 rRrSh 74 柱体体积 sh 椎体体积 求三棱锥的体积时 可以考虑换底 sh 3 1 球的体积 球的表面积 4 r2 3 3 4 r A B 两点的球面距离 通过该两点的大圆劣弧 最短 算法 1 计算线段 AB 的长 2 计算球心角 AOB 3 弧长公式求弧 AB 的长 排列组合 二项式定理排列组合 二项式定理 75 排列数公式 组合数公式 mn n Pm n mmn n C m n 组合数性质 1 1 1 m n m n m n mn n m n CCCCC 76 二项式展开式的通项公式 它是第 r 1 项而不是第 项 rrnr nr baCT 1 4 29 1 1 1 2 2 1 45 1 1 1 1 121 2 210 2 2 8 10 10 2 210 10 n naaaxaxaxaaxxx mmaxaxaxaamx n n n n 77 F x ax b n展开式的各项系数和为 f 1 奇数项系数和为 1 1 2 1 ff 偶数项的系数和为 1 1 2 1 ff 78 二项式系数与展开式某一项的系数易混 第第 r 1 项的二项式系数为项的二项式系数为 r n C 二项式系数和为 2n 令变量为 1 得系数和 79 二项式系数的最大项与展开式中系数最大项易混 二项式系数最大项二项式系数最大项为中间一项或两 项 展开式中系数最大项展开式中系数最大项的求法为 用解不等式组来确定 1 12 rr rr TT TT 80 解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么 其次要分清完成该事件是分 类还是分步 另外要有逐一列举思想 先选后排思想 正难则反 即淘汰法 思想 简单地 16 说 解排列 组合问题要搞清 做什么 怎么做 分步做时要考虑到每一步的可行性与 步 与 步 之间的连续性 尤其是排列问题 更要注意 特殊元素 特殊位置 之间的关系 一般 地讲 从正面入手解决时 特殊元素特殊照顾 特殊位置特殊考虑 相邻问题则用 捆绑 不邻问题则用 插空 特别提醒 解排列 组合