高考数学函数能力型客观题220例

1 简介 函数是高中数学的一条主线 贯穿整个高中教材 函数思想又是处理数学问题 的一种重要数学思想 这使得函数成为高考数学的重点内容之一 在近几年的高考试卷中 选 择题 填空题 解答题三种题型中每年都有函数试题 而且常考常新 其中以函数为载体的能 力型客观题 更是层出不穷 对于高三学生 如能利用好这些试题 做到举一反三 以例及类 2 解题能力会有较大提高 笔者曾用心收集整理此类问题 作为我校高三学生的培优资料 现根 据最新高考数学模拟试卷及最新高考数学试卷进行补充 完善 精选出函数能力型客观题试 题 220 例 含详细解析 按知识点划分为 10 个专题 供数学成绩较好的高三学生复习备考时 参考 同时也可供教师备课与组题时使用 目录 一 二次函数 2 二 三次函数 9 三 分段函数 19 四 含绝对值的函数 27 五 指数函数 36 六 对数函数 43 七 函数性质 50 八 函数图像 57 九 函数与方程 68 十 函数信息迁移题 79 3 高考解密 二次函数是中学阶段研究最深入 最完备的一类函数 虽然是初中所学内容 却一直是高考与 各类数学竞赛中的热点与难点 很多创新试题都是以二次函数为载体命制的 高考中二次函数中 考查频率较高的知识点有 二次函数的值域 最值 单调性 对称性 二次函数与方程 不 等式的交汇 二次函数中的代数推理问题 一 选择题 1 二次函数 如果 其中 则 2 f xaxbxc 12 f xf x 12 xx 12 2 xx f A B C D 2 b a b a c 2 4 4 acb a 2 若二次函数 y ax2 bx c 和 y cx2 bx a ac 0 a c 的值域分别为 M 和 N 则集合 M 和 N 必定满足 A M N B M N C M N D M N 3 已知函数 若 0 x满足关于x的方程20axb 则下列选项的命题中为假命题 2 0fxaxbxc a 的是 A B 0 xfxfx R 0 xfxfx R C D 0 xfxfx R 0 xfxfx R 4 二次函数 对于非零实数 关于的方程的解nmxmxxf 3 2 cbanm x0 2 cxbfxfa 集为 则的值是 4321 xxxx 4321 xxxx A 6B 3C 3D 6 5 已知 二次函数有且仅有一个零点 则的最小值为 0ab 2 2f xaxxb 22 ab ab A 1 B C D 222 2 6 若函数 xf满足对任意的 mnmnx 都有kmxf k n 成立 则称函数 xf在区间 4 mnmn 上是 被 k 约束的 若函数 22 aaxxxf 在区间 0 1 aa a 上是 被2约束的 则实 数a的取值范围是 A 2 1 B 2 3 1 3 C 2 1 D 2 2 7 若abc 则函数 f xxaxbxbxcxcxa 的两个零点分别位于区间 A a b和 b c内 B a 和 a b内 C b c和 c 内 D a 和 c 内 8 已知函数12 2 xxxf 若存在实数t 当 mx 1 时 xtxf 恒成立 则实数m的最大值是 A 1 B 2 C 3 D 4 9 已知函数 设 2222 22 228fxxaxag xxaxa max p q 表示中的较大值 min p q 表示 p q 12 max min Hxf xg xHxf xg x p q 中的较小值 记 的最小值为 A 的最大值为 B 则 1 Hx 2 Hx A 16 B C D 10 设是二次函数 若的值域是 则的值域是 2 1 1 xx f x x x g x f g x 0 g x A B 11 10 C D 0 1 11 已知二次函数cbxaxxf 2 的导数0 0 fxf 且 xf的值域为 0 则 0 1 f f 的最小 值为 A 3 B 2 5 C 2 D 2 3 5 12 设二次函数在区间上单调递减 且 则实数的取值范围是 2 2f xaxaxc 0 1 0 f mf m A B C D 0 2 0 2 0 2 13 已知二次函数满足且 则含有零点的一个区间是 2 f xaxbxc 2 2 c ab 0c f x A 2 0 B 1 0 C 0 1 D 0 2 14 已知函数满足 对于实数的某些值 可以找到相应正数 使得的定义域与值bxaxxf 2 ab xf 域相同 那么符合条件的实数的个数是 a A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 不存在 15 2015 四川理 9 如果函数在区间上单调递减 2 1 2810 0 2 f xmxnxmn 1 2 2 那么的最大值为 mn A B C D 161825 81 2 16 2015 陕西理 12 对二次函数 为非零整数 四位同学分别给出下列结论 其中 2 f xaxbxc a 有且仅有一个结论是错误的 则错误的结论是 A 是的零点 B 1 是的极值点 1 f x f x C 3 是的极值 D 点在曲线上 f x 2 8 yf x 二 填空题 17 若二次函数满足且 则实数 a 的取值范围是 f x 22fxfx 01f aff 18 设二次函数 为常数 的导函数为 对任意 不等式 2 f xaxbxc a b c fx x R 恒成立 则的最大值为 f xfx 2 22 b ac 6 19 已知二次函数在区间上至少有一个零点 则的最小值为 2 21 2f xaxbxa 3 4 22 ab 20 若二次函数满足则的取值范围为 axaxxf 2 2 2 3 4 0 ffff a 21 设函数的定义域为 D 若所有的点 构成一个正 0 2 acbxaxxf Dtstfs 方形区域 则的值为 a 22 若二次函数的图象和直线无交点 现有下列结论 2 0 f xaxbxc a yx 方程一定没有实数根 f f xx 若 则不等式对一切实数 x 都成立 0a f f xx 若 则必存在实数 使 0a 0 x 00 f f xx 函数的图象与直线一定没有交点 2 0 g xaxbxc a yx 其中正确的结论是 写出所有正确结论的编号 答案与解析 答案 解析 由 12 fxfx 得 12 22 xxb a 所以 2 12 4 224 xxbacb ff aa 故选 答案 解析 由 M N都含有元素abc 可得 M N 故选 答案 C 解析 由 0 x满足关于x的方程20axb 可得 0 2 b x a 所以 0 fx是 f x的最小值 故选 C 4 答案 D 解析 由nmxmxxf 3 2 图像关于直线 3 2 x 对称 所以方程0 2 cxbfxfa的四个根 也关于直线 3 2 x 对称 因此 1234 6xxxx 故选 D 5 答案 D 解析 由题意可知 即 ab 1 440ab 7 则 2 22 22 2 2 ababab ab ababab 当且仅当 即 时 上式取等号 的最小值为 2 ab ab 6262 22 ab 22 ab ab 2 2 6 答案 A 解析 据题意得 对任意的 0 1 aa a 都成立 由得 22 1 2 2 xaxaa a x 1 a a 1a 恒成立 由得 因为 所以 2 2 111 12 11 2 fa aaa 222 2f aaaaaaa 2a 1a 的对称轴为 由得 222 2 11 11 1faaa aa 22 f xxaxa 2 a x 2 31 242 aa f a 由于 所以的取值范围为 2 1 故选 A 3 2 3 a 3 2 1 3 a 7 答案 A 解析 依题意可得 所以0 0 0 0 0 0abacbcbacacb 所以 0f aab ac 0f bbc ba 0f cca cb 根据函数的零点存在定理及二次函数的知识可知 函数在区间 0 0f a f bf b f c f x a b 内各有一个零点 故选 A b c 8 答案 D 解析 依题意 应将函数 xf向右平行移动得到 txf 的图象 为了使得在 m 1上 txf 的图象都 在直线xy 的下方 并且让m取得最大 则应取2 t 这时m取得最大值 4 9 答案 B 解析 解方程 2222 22228xaxaxaxa 知 2xa 或2xa 作出两函数之图象 如图 8 椐题意 由图象知 1 Hx的最小值为 2f a 2 Hx的最大值为 2g a 10 答案 C 解析 依题意可得 g x的值域即当 f g x的值域为 0 时 g x的取值范围 因为当 1x 即 1x 或1x 时 2 1f xx 当 1x 即11x 时 1 1 f xx 所以当1x 或0 x 时 f x的值域为 0 而 g x是二次函数 所以其值域为一个区间 不可能是两个区间的并集 所以 g x的 值域为 0 故选 C 11 答案 C 解析 由已知 因为 所以 又的值域为 所以 并且 2fxaxb 00 f 0b f x 0 0a 即且 则 当且仅当 2 min 4 0 4 acb f x a 2 4 b ac 0c 12 112 0 fabcacac fbbb 时 等号成立 故正确答案为 C ac bb 12 答案 D 解析 f x 的对称轴为 x 1 f 0 f 2 在区间 0 1 上单调递减 f x 在 1 递减 在 1 递增 0 m 2 故选 D 13 答案 A 解析 f x ax2 bx c 且 2a c 2 b 且 c 0 f 0 c 0 f 2 4a 2b c 2 2a c 2 b 0 含 有 f x 零点的一个区间是 2 0 故选 A 14 答案 B 解析 当时的定义域与值域均为 符合题意 当时定义域为0a xf 0 0a 值域为 不符合题意 当时 定义域为 值域为 0 b a 0 0a xf 0 b a 2 0 4 b a 由可得 故选 B 2 4 bb aa 4a 9 15 答案 B 解析 当2m 时 抛物线的对称轴为 8 2 n x m 当2m 时 8 2 2 n m 即212mn 因为 2 26 2 mn mn 所以18mn 由2mn 且212mn 得3 6mn 当2m 时 抛物线开口向 下 根据题意可得 81 22 n m 即218mn 因为 2 29 2 mn mn 所以 81 2 mn 由2nm 且218mn 得92m 故应舍去 要使得mn取得 最大值 应有 2182 8mnmn 所以 182182 8816mnn n 所以最大值为18 故选 B 16 答案 A 解析 观察四个选项会发现 B C 这两个选项是 配套 的 所以以此为切入点 假设 B C 正确 即 1 3 为 2 yaxbxc 的顶点 由于抛物线开口向下时 D 肯定错 抛物线开口向上时 A 肯定错 由此说明 A 与 D 中必有一个错误 假设 A 正确 则有 20 33 3 24 0 ab abcba abc 与条件a为整数矛盾 说明 A 错误 故选 A 17 答案 或 解析 f x 满足 22fxfx 二次函数 f x图像的对称轴为2x 01ff 二次函数 f x图像的开口向下 则由 0f af 得出0a 或4a 18 答案 2 22 解析 由题意得 由得 在R上恒成立 等价于 2fxaxb f xfx 2 2 0axba xcb 0 且 可解得 则 a0 22 444 bacaa ca 22 2222 2 4 1 44 1 c baca a c acac a 令 0 1 c t a t 2 444 2 22 2 222 22 2 t y tt t t 10 故最大值为 2 22 b ac 2 22 19 答案 1 100 解析 设 为在上的零点 则即 则点在直线t f x 3 4 2 2 1 20atbta 2 1 220tatbt a b 上 表示点到原点的距离 所以 即 2 1 220txtyt 22 ab a b 22 222 2 1 2 t a tt b 又因为 则 所以 2 22 22 2222 2 21 5 1 2 1 2 4 2 t t a ttt t t b 3 4 t 221 t 则 5 2 4 2 17 10 2 t t 22 1 100 ab 20 答案 5 2 2 1 解析 f x ax2 2x a f 0 a f 2 3a 4 f 3 8a 6 f 4 15a 8 f 0 f 4 f 3 f 2 a 15a 8 8a 6 3a 4 解不等式可得 故答案为 5 2 2 1 5 2 2 1 21 答案 4 解析 由题意可知 x1 x2 fmax x 所以由 22 2 44 4 bacacb aa 得到 a 2a a 4 22 答案 解析 因为函数 f x的图象与直线yx 没有交点 所以 0fxx a 或 0fxx a 恒 成立 所以 ff xf xx 或 ff xf xx 恒成立 所以 ff xx 没有实数根 故 正确 若0a 则不等式 ff xf xx 对一切实数 x 都成立 故 正确 若0a 则不 等式 ff xf xx 对一切实数 x 都成立 所以不 存在实数 使 故 错误 由 0 x 00 f f xx 函数 g xfx 与 f x的图象关于 y 轴对称 所以 g x和直线yx 也一定没有交点 故 正确 答案为 11 高考解密 高中课本没有涉及到三次函数 但由于三次函数的导数是二次函数 使得我们可以利用导数及 二次函数研究三次函数的性质 正因如此 使得三次函数频频出现在高考试卷中 成为高考试卷 的一大亮点 其中考查频率较高的知识点有 三次函数的图像 单调性 极值 对称性 三次 方程根的问题 一 选择题 1 若关于x的方程 32 0 xxxaa R有三个实根 1 x 2 x 3 x 且满足 123 xxx 则 1 x的最小值为 A 2 B 1 C 1 3 D 0 2 设函数 若当时 不等式0 1 sin mfmf 恒成立 则实数m的 3 f xxx x R 0 2 取值范围是 A B C D 1 1 1 1 2 1 1 2 3 方程 x3 6x2 9x 4 0 的实根的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 4 已知在为单调增函数 则实数的取值范围为 13 23 mxxxxf 2 2 m A B C D 3 m0 m24 m1 m 5 设函数有两个极值点 且 则 cxbxxxf33 23 21 x x 0 1 1 x 2 1 2 x A B 2 1 10 1 xf0 2 1 1 xf C D 2 7 0 1 xf10 2 7 1 xf 6 2015 安徽文 10 函数的图像如图所示 则下列结论成立的是 32 fxaxbxcxd A B 0 0 0 0abcd 0 0 0 0abcd C D 0 0 0 0abcd 0 0 0 0abcd 12 y x x2 x1O P 7 若在区间上有极值点 则实数a的取值范围是 3 2 1 32 xa f xxx 函数 1 3 2 A B C D 5 2 2 5 2 2 10 2 3 10 2 3 8 已知函数 f x x3 ax2 x 2 a 0 的极大值点和极小值点都在区间 1 1 内 则实数 a 的取值范围是 A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 33 9 如果函数 32 1 3 f xxa x 满足 对于任意的 12 0 1x x 都有 12 1f xf x 恒成立 则a的取值 范围是 A 2 3 2 3 33 B 2 3 2 3 33 C 2 32 3 00 33 D 2 32 3 0 0 33 10 已知是 R 上的单调增函数 则的取值范围是 3 2 3 1 23 xbbxxyb A B 12bb 或12bb 或 C D 21 b21 b 11 已知函数 若存在唯一的零点 且 0 则的取值范围是 f x 32 31axx f x 0 x 0 xa A 2 B 2 C 1 D 1 12 已知函数 为常数 当时取极大值 当时取极小 32 fxaxbxcxd b c d 0 1x 1 2x 值 则的取值范围是 2 21 3 2 bc 13 A B C D 37 5 2 5 5 37 25 4 5 25 13 若函数有极值点 且 则关于的方程 32 f xxaxbxc 12 x x 11 f xx x 的不同实根的个数是 2 320f xaf xb A 3 B 4 C 5 D 6 14 已知函数 若有三个互不相同的零点 且 322 1 1 0 3 f xxxmx xR m f x 12 0 x x 若对任意成立 则的取值范围是 12 xx 12 1 xx xf xf m A B C D 1 1 2 3 0 3 13 23 3 1 3 15 设函数在区间上是单调递减函数 则实数的取值范围是 xf65 3 1 23 xaxx 3 1a A B 5 3 C D 5 3 5 5 16 已知 在区间 0 2 上任取三个数 均存在以为边长的三 3 3f xxxm a b c f af bf c 角形 则的取值范围是 m A B C D 2m 4m 6m 8m 二 填空题 17 对于三次函数给出定义 设是函数的导函数 是 32 0 f xaxbxcxd a fx yf x fx 的导函数 若方程有实数解 则称点为函数的 拐点 某同学经过探究 fx 0fx 0 x 00 xf x yf x 发现 任何一个三次函数都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 给定函数 请你根据上面探究结果 解答以下问题 32 115 3 3212 f xxxx 1 函数的对称中心为 32 115 3 3212 f xxxx 2 计算 123 201320132013 fff 2012 2013 f 18 对于函数有六个不同的单调区间 则的取值范围为 bxax a xxf 3 23 1 23 a 14 19 已知且 现给出如下结论 32 69 f xxxxabc abc 0f af bf c 010ff 010ff 030ff 030ff 的极值为 1 和 3 其中正确命题的序号为 f x 20 2015 安徽理 15 设 其中均为实数 下列条件中 使得该三次方程仅有一个实根的是 3 0 xaxb a b 写出所有正确条件的编号 3 3ab 3 2ab 3 2ab 0 2ab 1 2ab 21 若函数对任意的恒成立 则 xxxf3 3 0 2 2 2 xfmxfm x 22 已知函数 如果存在实数 使函数 0 23 aRaaxxaxxf且 1 a 在处取得最小值 则实数的最大值为 xfxfxg bx 1 1 b1 xb 答案与解析 1 答案 B 解析 方程有三个实根 函数与函数的图象有三个交点 由图象0 23 axxxay xxxy 23 可知 直线在之间 有 3 个交点 当直线过点时 此时最小 由于ay ABB 1 x0123 2 xxy 得或 因此点 令化简得 的最小值 3 1 x1 x 1 1B1 23 xxx 011 2 xx 1 x1 2 答案 A 解析 单调递增 又为奇函数 原不等式可化为 2 310fxx fx 3 f xxx sin1f mf m 即sin1mm 可变为 1 1sin m 又 0 2 得0sin1 1 1 1sin 所以1m 时恒成立 15 3 答案 C 解析 令 则 32 694f xxxx 2 3129331fxxxxx 令得或 解得 或 解得 所以函数在 0fx 1x 3x 0fx 1x 3x 0fx 13x f x 和上单调递增 在上单调递减 所以当时 函数取得极大值为 当 1 3 1 31x f x 10f 时 函数取得极小值为 由数形结合可知的实根个数为3x f x 34f 32 6940f xxxx 2 故 C 正确 4 答案 A 解析 依题意有在恒成立 即恒成立 即 当063 2 mxxxf 2 2 xxm63 2 min 2 63 xxm 时 的取值范围是 故选 A 1 x3 63 min 2 xxm3 m 5 答案 C 解析 2 363fxxbxc 由已知得 是方程的两根 故 12 x x 2 3630 xbxc 12 2xxb 由 故 12 xxc 32 1111 33f xxbxcx 1 f x 32 1121112 3 3 2 xxxxxxx 32 112 13 22 xx x 2 1112 1 3 2 fxxxx 由已知得 1 0fx 故函数在单调递减 故 1 f x 0 1 1 x 又 故 12 13 0 22 f xx 2 1 2 x 2 7 0 1 xf 6 答案 A 解析 令0 x 可得0d 又 2 32fxaxbxc 由函数 f x图像的单调性 可知0a 由图可知 1 x 2 x是 0fx 的两根 且 1 0 x 2 0 x 所以 12 12 2 0 3 0 3 b xx a c x x a 得 0 0 b c 故选 A 7 答案 C 解析 因为 所以 在区间上有极值点 即在 3 2 1 32 xa f xxx 2 1fxxax 1 3 2 0fx 有一个解或者两个不相同的解 当有一解时 解得经检验式不成立 所 1 3 2 1 3 0 2 ff 510 23 a 10 3 a 16 以 当有两解时依题意可得 解得 综上可得 故选 C 510 23 a 1 3 22 1 0 2 3 0 0 2 a f f a f 5 2 2 a a 10 2 3 8 答案 D 解析 由题意可知 f x 0 的两个不同解都在区间 1 1 内 因为 f x 3x2 2ax 1 所以根据导函数图 象可得又 a 0 解得 a0 xx f x xx 2 2 fxf x x A B C D 1 2 2 1 1 2 2 1 6 已知函数 若 则的取值范围是 2 2 0 ln 1 0 xx x f x xx 2f xax a A B C D 0 2 1 2 0 1 0 7 设 若对任意的非零实数 存在唯一的非零实数 22 222 0 4 3 0 k xakx f x xaa xax 1 x 使得成立 则的取值范围为 212 x xx 12 f xf x k A R B C D 4 0 9 33 33 9 8 已知以为周期的函数 其中 若方程恰有 5 个实4T 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 0m 3 f xx 数解 则的取值范围为 m A B C D 15 8 33 15 7 3 4 8 3 3 4 7 3 9 已知函数的图象上关于轴对称的点至少有 3 对 则实数 sin 10 2 log 01 0 a xx f x x aax 且 y 的取值范围是 a 23 A B 5 5 0 方 1 5 5 C D 1 3 3 方 3 3 0 10 已知函数 若关于的方程有两个不同的根 则实数的取值范围 2 4 1 4 log 4 x f xx x x x f xk k 是 A B C D 已知函数 1 2 1 2 1 2 11 已知函数有个零点 则实数的取值范围是 2 21 0 3 0 axxx f x axx 3a A B C D 1a 0a 1a 01a 12 已知函数且对定于域内的任意的 x 恒成立 则 a 的取值 0 sin 01 4 2 xx xx xf 1f xax 范围是 A 6 0 B 6 0 C 1 0 D 1 0 13 设函数 且关于的方程恰有个不同的实数根 则 0 2 0 2 2 2 xxx xxx xfx Rmmxf 3 321 xxx 的取值范围是 321 xxx A B C D 0 1 2 1 1 0 0 2 1 14 2015 全国 I 文 10 已知函数 且 则 1 2 22 1 log 1 1 x x f x xx 3f a 6 fa A B C D 7 4 5 4 3 4 1 4 15 2015 山东理 10 设函数 则满足的的取值范围是 311 21 x xx f x x 2 f a ff a a A B C D 2 1 3 0 1 2 3 1 16 已知定义在 R 上的奇函数 当时 则关于的方程 f x0 x 2 2 2 1 20 12 1 xxf x xf x x 24 的实数根个数为 016 2 xfxf A 6 B 7 C 8 D 9 二 填空题 17 已知函数 则 若 则实数的取值范围是 1 2 21 0 0 x x f x xx 1 f 1f a a 18 已知函数的值是 2 log 0 1 431 0 x x x f xff x 则 19 2015 福建理 14 若函数 且 的值域是 则实数 6 2 3log 2 a xx f x x x 0a 1a 4 的取值范围是 a 20 已知函数 若关于的方程有三个不同的实根 则实数的取 xx e xf x 2 1 2 0 0 x x x axxf a 值范围是 21 设函数 若 f x 的值域为 R 是实数的取值范围是 2 2 2 2 x a x f x xax a 22 2015 浙江理 10 已知函数 则 的最小值是 2 2 3 1 lg 1 1 xx f xx xx 3 f f f x 答案与解析 1 答案 C 解析 当 0 x 1 1f xf x 2010 2010 2009 2009 2008 1 0 0 ffffffff 故选 C 2010 1 11 0 f 2 2010log 1 2010 答案 B 2 答案 D 解析 或解得或 故选 D 11 2 1 0 x x 1 0 x x 1 x1 x 25 3 答案 B 解析 由题根据复合函数性质进行换元令 f x X 所以 f X 所以 X 2 然后得到 f x 2 结合 1 4 函数图像性质可得 故选 B 3 1 log2 9 xx 4 答案 D 解析 由上是单调递增函数知同时成立 解不等式组得 f xR在2 2 4 0 2 4 1 1 a a a a 8 4 a 5 答案 D 解析 因为 所以函数在和上为单调递增的 且当 3 0 ln 1 0 xx f x xx xfy 0 0 时 当时 这表明函数在整个定义域内均 0 x0 xfy 0 x0 xfy xfy 为单调递增的 所以由得 解之得 故应选 D 2 2 fxf x xx 2 212 x 6 答案 D 解析 当时 不等式化为 即 而 即 当 不等0 xaxxx22 2 1 2 x a11 2 max x 1 a0 x 式化为 即 令 则 令axx2 1ln x x a 2 1ln x x xg 2 1ln 2 2 1ln 1 x xxx xg 则 当时 即在 1ln 1 xxxxh 1ln xxh0 x0 xh 1ln 1 xxxxh 为减函数 且 所以 即在为减函数 00 0 h 2 2 1ln 1 x xxx xg 0 x x xg 2 1ln 0 即无限接近 0 则 所以的取值范围是 xg0 aa 0 1 7 答案 D 解析 设 由条件知二次函数的对称轴不能在 y 轴 22 g xk xak 222 4 3 h xxaa xa 的左侧即 且两个函数的图象在轴上交于同一点 即 所以 2 40aa y 0 0 gh 2 2 3aka 在上有解 从而 故答案为 D 69ka 4 0 33 9 k 8 答案 B 解析 因为当时 将函数化为方程 实质上为一个半椭圆 其图像如图所 1 1 x 2 2 2 1 0 y xy m 26 示 同时在坐标系中作出当得图像 再根据周期性作出函数其它部分的图像 由图易知直线 1 3 x 与第二个椭圆相交 而与第三个半椭圆无公共点 3 x y 2 2 2 4 1 0 y xy m 2 2 2 4 1 0 y xy m 时 方程恰有 5 个实数解 将代入得 3 x y 2 2 2 4 1 0 y xy m 2222 91 721350 mxm xm 令 则有 2 9 0 tm t 2 1 8150txtxt 由 22 15 8 4 15 1 0 15 915 0 3 tt ttmmm 得由且得 同样由与第二个椭圆由可计算得 3 x y 2 2 2 8 1 0 y xy m 0 7m 综上知 15 7 3 m 9 答案 A 解析 原函数在 y 轴左侧是一段正弦型函数图象 在 y 轴右侧是一条对数函数的图象 要使得图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对 可将左侧的图象对称到 y 轴右侧 即 y sin 2 x 1 x 0 应该与原来 y 轴右侧的图象至少有 3 个公共点 如图 a 1 不能满足条件 只有 0 a 1 x y 0153 2 1 此时 只需在 x 5 时 y logax 的纵坐标大于 2 即 loga5 2 得 0 a 5 5 10 答案 C 解析 关于的方程有两个不同的根可转化为函数的图像与直线有两个不同的x f xk yf x yk 交点 在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像 如下图 可知 当时 满足题意 故选 C 12k 27 11 答案 D 解析 由于二次函数最多只有两个零点 一次函数有且仅有一个零点 故 2 21yaxx 3yax 函数在区间上有两个零点 在区间上有且仅有一个零点 由于 当 f x 0 0 01f 时 设函数在区间上的两个零点分别为 则 0 x 2 21f xaxx f x 0 1 x 2 x 1 0 x 因此 当时 函数在上有且 2 0 x 12 12 440 1 001 2 0 a x xa a xx a 0 x 3f xax f x 0 仅有一个零点 令 综上所述 实数的取值范围是 3 03000f xaxxa a a 0 1 故选 D 12 答案 B 解析 当时 原命题等价于在时恒成立 由单调性01 x x xaaxxf 5 1 1 0 x 可得 当时 原命题等价于 左边设为 右边6 a0 x 1sin 1f xaxxax sin yx 设为 由数形结合易得 综上两种情况可得 故答案 B 1yax 0 a06 a 13 答案 D 解析 首先画出函数的图像 由图可知 满足方程恰有个不同的实数根 f x Rmmxf 3 且 其的取值范围为 由题意知 是的根 即 321 xxx 123 0 01 1xxx m 0 1 23 x x 2 2 ym yxx 所以 且 所以 故应选 D 2 20 xxm 23 2xx 23 x xm 1 1 0 2 x 1231 1 0 2 x x xmx 14 答案 A 28 解析 当1a 时 1 223 a f a 即 1 21 a 不成立 当1a 时 2 log13f aa 即 3 22 log13log 2a 得18a 所以7a 则 1 1 7 667122 4 faff 故选 A 15 答案 C 解析 因为 2 f a ff a 所以 1f a 1 当1a 时 31 1 f aa 解得 2 1 3 a 当1a 时 21 a f a 解得1a 综上所述 2 3 a 故选 C 16 答案 B 解析 令 则的两根为 由题意 得当时 当时 xft 016 2 tt 3 1 2 1 2 0 x 1 0 xf 4 2 x 当时 当时 当时 2 1 0 xf 6 4 x 4 1 0 xf 0 2 x 0 1 xf 2 4 x 令 则或 解得有三解 或 0 2 1 xf 2 1 xf 20 2 1 12 1 x x 20 2 1 12 2 1 1 x x 20 3 1 21 1 x x 解得有四解 所以共有七解 20 3 1 21 2 1 1 x x 17 答案 111 a 解析 所以 解得 或 解得 所以最后01 11 f 112 0 a a 01 a 1 0 2 1 a a 10 a 11 a 18 答案 10 9 解析 9 10 13 2 2 f2 4 1 log 4 1 2 f 19 答案 1 2 解析 当2x 时 64x 要使得函数 f x的值域为 4 只需 29 1 3log2 a fxx x 的值域包含于 4 故1a 所以 1 3log 2 a fx 所以3log 24 a 解得12a 所以实数a的取值范围是 1 2 20 答案 4 1 0 0 4 9 解析 如图 直线 y x a 与函数 的图象在 处有一个切点 切点坐标为 0 0 此时1 x exfy0 x 直线与函数的图象在处有两个切点 切点坐标分别是和0 aaxy xxy2 2 0 x 4 3 2 1 此时相应的 观察图象可知 方程有三个不同的实根时 实数 4 3 2 3 4 1 a 4 9 aaxxf 的取值范围是 a 4 1 0 0 4 9 21 答案 12 解析 当时 的范围是 当时 的范围是 因为 f x 的值域为 R 即 2x y 4 a 2x y 2 2 a 2 24aa 解得实数的取值范围是 a 12 22 答案 0 2 23 解析 利用分段函数表达式 逐步求值 2 3 lg10 1 130 1 f fff 当1x 时 min 2 230f x 当1x 时 min 00f xf 综上 min 2 23f x 所以 3 0f f min 2 23f x 30 高考解密 含绝对值的函数本质上是分段函数 往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究 由于去绝 对值函数大多要涉及到分类讨论 对能力要求较高 故备受高考命题者青睐 高考常考的主要有 以下 3 类 1 形如的函数 研究此类函数往往结合图像 可以看成由 的图像 f x f x fx 在轴上方部分不变 下方部分关于轴对称得到 2 形如 的函数 此类函数是偶函数 xx fx 因此可以先研究的情况 的情况可以根据对称性得到 3 函数解析式中部分含有0 x 0 x 绝对值 如 等 这种函数是普通的分段函数 一般先去绝对值 再1yx xa 2 yxxa 结合图像进行研究 一 选择题 1 设是方程 为实常数 的两根 则的值为 12 x xln2xm m 12 xx A 4 B C D 与有关24 m 2 函数 x x x x x x y tan tan cos cos sin sin 的值域为 A 3 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 3 设函数的定义域为 且是奇函数 是偶函数 设 则下 xgxfR xf xg 1 1 xgxfxh 列结论中正确的是 A 关于对称 B 关于对称 xh 0 1 xh 0 1 C 关于对称 D 关于对称 xh1 x xh1 x 4 已知方程在有两个不同的解 则下面结论正确的是 sin x k x 0 A B 1 tan 41 1 tan 41 C D 1 tan 41 1 tan 41 5 已知函数 则函数在区间上的零点个数为 2sinf xxx f x 2 2 A 3 B 4 C 5 D 6 6 已知定义在上的函数 21 x m f x m为实数 为偶函数 记R 31 0 52 log3 log 5 2afbfcfm 则 a b c 的大小关系为 A abc B acb C cab D cba 7 已知函数 若对 都有 则实数的最大值为 0 4 aaxaxxfR x 1 2 xfxf a A B C D 8 1 4 1 2 1 1 8 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 ln 1 yx cos 24 yxx A 6 B 5 C 4 D 3 9 函数的图象是 cos ln x y x 10 已知 则方程的根的个数是 2 2 0 log 0 x x f x xx 2f f x A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 11 已知 aR 若函数 2 1 2 2 f xxxa有三个或者四个零点 则函数 2 41 g xaxx的零点个数为 A 1或2 B 2 C 1或0 D 0或1或2 12 定义一种运算 bab baa ba 令 txxxxf 2 24 t为常数 且 3 3 x 则使函数 xf最大值为 4 的t值是 A 2 或6 B 4或6 C 2 或4 D 4 或4 13 已知函数 f x mx x 1 m 0 若关于 x 的不等式的解集中 10 f xmxxm 0f x 的整数恰有 3 个 则实数 m 的取值范围为 A 0 m 1 B 3 4 m 2 3 32 C 1 m D m 2 2 3 2 3 14 已知函数 若方程有四个不同的解 且 2 1 0 log 0 xx f x xx f xa 1 x 2 x 3 x 4 x 1234 xxxx 则的取值范围是 312 2 34 1 x xx x x A B C D 1 1 1 1 1 1 15 若函数至少有 3 个零点 则实数的取值范围是 2 428 a f xxx a A B C D 3 3 2 3 2 3 16 已知函数 定义 121f xx 0 1 x 1 f xf x 21 fxf f x 满足的点称为的阶不动点 则的阶不 1 nn fxffx 2 3 4 n n fxx 0 1 x f xn f xn 动点的个数是 A 个 B 个 C 个 D 个2n 2 2n2 21 n 2n 二 填空题 17 已知函数的定义域为 R 则实数a的取值范围是 12f xxxa 18 给出条件 函数 对任意 12 xx 12 xx 12 xx 22 12 xx sinf xxx 能使成立的条件的序号是 12 2 2 x x 12 f xf x 19 已知函数 2 2f xxx 若关于x的方程 0f xf axt 有4个不同的实数根 且所有实数根 之和为2 则实数t的取值范围为 20 已知函数 的单调增区间为 若有三个不相等 45 2 xxxf f x 方方f xmx 的实根 则 m 且三个实根的和是 21 函数 关于的方程恰有三个不同实数解 则实数xxg 2 log 2 1 xx 2 230g xm g xm 的取值范围为 m 22 2015 湖北文 17 为实数 函数在区间上的最大值记为 a 2 f xxax 01 g a 33 当 时 的值最小 a g a 答案与解析 1 答案 A 解析 ln2xm 变形为22 mm xexe 12 4xx 2 答案 B 解析 当sin0 cos0 xx 时3y sin0 cos0 xx 时1y sin0 cos0 xx 时1y sin0 cos0 xx 时3y 值域为 3 1 3 答案 C 解析 因为函数 f x是奇函数 所以 f x是偶函数 即 f x与 g x均为偶函数 其图象均关于y对称 所以 1 f x 与 1 g x 的图象都关于直线1x 对称 即 1 1 h xf xg x 的图象关于直线 1x 对称 故选 C 4 答案 C 解析 由题可知 kxxk x x sin sin 因此要使方程有两个不同的解 则有 sin xy 图像与 kxy 的图像有且仅有三个公共点 所以直线kxy 与 sin xy 在内相切 且切于点 sin 3 2 由 tan sin cos 即 1 tan 41 5 答案 C 解析 函数 2sinf xxx 是偶函数 在 sinyx 的零点有 yx 的零点有0 因此 0 2 0 2 2sinf xxx 的零点有三个 所以 函数 f x在区间上的零点个数为5 选 C 2 2 6 答案 C 解析 因为函数 21 x m fx 为偶函数 所以0m 即 21 x fx 所以 2 2 1 log log 33 0 52 1 log3 log21213 12 3 aff 2 log 50 2 log 5214 2 0 210bfcfmf 所以cab 故选 C 7 答案 B 34 解析 2 1 fxf x 即为 2 1fxf x 即22441xaxaxaxa 设 2244g xxaxaxaxa 则 0 2 42 2 22 2 82 24 0 4 a x a xaxa g xxa axa axaxa xa 由题意 当 2 a xa 时 1 4221 2 g xxaaa 当2axa 时 1 2221 2 g xxaaa 当24axa 时 1 2241 4 g xxaaa 所以 1 4 a 即a的最大值为 1 4 选 B 8 答案 A 解析 函数ln 1 yx 的图像关于直线 x 1 对称 函数的图像也关于直线 x 1 cos 24yxx 对称 画出图像 两图像共有 6 个交点 关于直线 x 1 对称 所以它们的交点的横坐标之和等于 6 9 答案 B 解析 由 x x xf ln cos 得 xf x x x x xf ln cos ln cos 是偶函数 图象关于y轴对称 因此排除 A C 当10 x 0cos x 0lnln xx 因此 x x xf ln cos 0 故答案为 B 10 答案 C 解析 当0 x 时 2 20 2 log 222 xxx f xff xfxx 当0 x 时 35 2222 log0 log loglog2f xxff xfxx 即 2222 loglog2loglog 2xx 或 当 22 loglog2x 时 44 222 log4log 4log 42x2xxxx 或或 当 22 loglog2x 时 11 44 222 111 loglog log 2x2 444 xxxx 或或 方程的根的个数是 5 2f f x 11 答案 A 解析 当2xa 时 2 1 20 2 xxa 由0 得 11 14 2 0 24 aa 当2xa 时 2 1 20 2 xxa 由0 得 11 14 2 0 24 aa 所以当 11 44 a 时函数 f x有三个零点或四 个零点 对 2 41 g xaxx 由0 得1640 4 0 aaa 当0a 时 41g xx 有一个零点 由于 11 4 44 a 所以 2 41 g xaxx有一个零点或两个零点 选 A 12 答案 C 解析 y 4 2x x2在 x 3 3 上的最大值为 4 所以由 4 2x x2 4 解得 x 2 或 x 0 所以要使函数 f x 最大值为 4 则根据定义可知 当 t 1 时 即 x 2 时 2 t 4 此时解得 t 2 当 t 1 时 即 x 0 时 0 t 4 此时解得 t 4 故 t 2 或 4 13 答案 B 解析 不等式 0f x 的解集中的整数恰有3个 即 1mxx 的解集中的整数恰有3个 1mxx 可化为 22 10 mxx 即 m 1 1 10 1 mxx 由于不等式解集中整数恰有三 个 所以10 1 mm 不等式的解为 11 1 11 x mm 从而解集中的三个整数为2 1 0 1 32 1m 即 1 23 1m 2233mnm 所以 3 4 m 2 3 14 答案 B 解析 先画出函数 2 1 0 log 0 xx f x xx 的图象 方程 f xa 有四个不同的解 1 x 2 x 3 x 4 x 且 1234 xxxx 由0 x 时 1f xx 则横坐标为 1 x与 2 x两点的中点横坐标为1x 即 12 2xx 当0 x 时 由于 2 logyx 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 又因为 34 xx 36 4232 loglogxx 则 43 10 xx 有1loglog 434232 xxxx 又因为方程axf 有四个不 同的解 所以1log 32 x 则 2 1 3 x 则 312 2 34 1 x xx x x 3 3 1 2 x x 1 2 1 3 x 设 t ttg 1 2 1 2 1 t 由于0 1 2 2 t tg 则 tg在 1 2 1 上是减函数 则1 1 tg 15 答案 D 解析 由题可知