导数及其应用(基础同步练习)

1 导数及其应用 一 知识梳理 一 导数概念及基本运算 1 导数的几何意义 曲线 y f x 在某一点 x0 y0 处的导数 f x0 就是过点 x0 y0 的切线的斜率切线的斜率 相应地 切线方程为 2 几种常见函数的导数 为常数 c c n x Rn sin x cos x ln x log a x x e x a 3 运算法则 uv uv u v 0 v 4 问题 1 求下列函数的导数 1 2 3 3 1 21 3 f xxx cos x yex 2 tanyxx 问题 2 在处的导数值是 cosyxx 3 x 问题 3 求在点的切线方程 32 2 xy 5 1 P 2 二 导数在研究函数中的应用 1 函数的单调性与导数的关系 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间内 如果 那么函数在这个区间内 a b 0fx yf x 如果 那么函数在这个区间内 0fx yf x 2 判别 f x0 是极大 极小值的方法 若满足 且在的两侧的导数异号 则是的极值点 0 x0 0 x f 0 x xf 0 x xf 是极值 并且如果在两侧满足 左正右负 则是的 0 xf x f 0 x 0 x xf 是极大值 如果在两侧满足 左负右正 则是的极小值点 0 xf x f 0 x 0 x xf 是 0 xf 注 注 若函数 f x 在点 x0处取得极值 则 f x0 3 基础训练 问题 1 求下列函数单调区间 1 2 52 2 1 23 xxxyxxyln2 2 问题 2 1 2 求该函数在 0 3 上的最大值和的极值求函数44 3 1 3 xxxf 最小值 求函数的极值的步骤求函数的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数 f x 2 求方程 f x 0 的根 3 用函数的导数为 0 的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 求函数最值的步骤 求函数最值的步骤 1 求出在上的极值 2 求出端点函数值 f x a b f af b 3 比较极值和端点值 确定最大值或最小值 3 二 抢分演练 二 抢分演练 1 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程是10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 2 函数 x exxf 3 的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 21 世纪教育网 3 曲线在点处的切线的倾斜角为 3 24yxx 13 A 30 B 45 C 60 D 120 4 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 A 4 B 1 4 C 2 D 1 2 5 设曲线在点 1 处的切线与直线平行 则 2 axy a062 yx a A 1 B C D 1 2 1 2 1 6 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 7 已知点P在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取值范围 是 A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 8 如果函数y f x 的图象如右图 那么导函数的图象可能是 4 9 设 若 则 lnf xxx 0 2fx 0 x A B C D 2 ee ln2 2 ln2 10 曲线 21 x y x 在点 1 1处的切线方程为 A 20 xy B 20 xy C 450 xy D 450 xy 11 若函数 2 1 xa f x x 在1x 处取极值 则a 12 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 13 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3