高中数学必修一基础知识

1 高中数学必修一基础知识高中数学必修一基础知识 一 集合 1 集合的概念 1 集合的元素具有三个性质 即 和 2 我们约定用 表示自然数集 用 表示正整数集 用 表示整数集 用 表示有理数集 用 表示实数集 用 表示空集 2 集合间的基本关系 空集是任何一个集合的 空集是任何一个非空集合的 若有限集 A 中有 n 个元素 集合 A 的子集个数为 非空子集的个数为 真子集的 个数为 非空真子集的个数为 3 集合运算中两组常用的结论 1 BACU BACU 2 ABA ABA 二 函数的概念 1 函数 设 A B 是 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个数 x 在集 合 B 中都有 和它对应 那么就称为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 fAB 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的 与 x 的值相对应的 y 的值 yf x xA 叫做函数值 函数值的集合叫做函数的 值域是集合 B 的子集 f xxA 2 映射 设 A B 是两个集合 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的 元素在 集合 B 中都有 元素和它对应 那么这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的映射 记作 fAB 3 函数的三要素 及 称为函数的三要素 在函数的三要素中其决定性作用 的是 及 定义域及对应关系确定了 这个函数就唯一确定了 4 相等函数 定义域相同 并且对应关系 的两个函数就称为相等函数 三 函数单调性 1 增函数 减函数 设函数的定义域为 I f x 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 当时 都有 那 12 x x 12 xx 么就说函数在区间 D 上是增函数 f x 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 当时 都有 12 x x 12 xx 那么就说函数在区间 D 上是减函数 f x 2 利用定义判断 证明 函数单调性的一般步骤 四 函数奇偶性 1 奇偶性 1 奇函数 偶函数 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 那么函数 f x 就叫做偶函数 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 那么函数 f x 就叫做奇函数 2 奇函数 偶函数的性质 奇函数 偶函数的定义域皆关于 奇函数的图象关于 偶函数的图象关于 若奇函数在 x 0 处有定义 那么一定有 f x 奇函数在关于原点对称的区间上具有 单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有 单调性 五 基本函数 一次二次函数 2 1 函数叫做一次函数 它的定义域和值域皆为 R 0 ykxb k 2 一次函数性质 当 k 0 时 为 函数 当 k 0 时 为 函数 当 b 0 时 函数为正比例函数 0 ykx k 直线 y kx b 与 x 轴的交点为 与 y 轴的交点为 3 二次函数的解析式的三种形式 一般式 顶点式 零点式 4 二次函数的图象与性质 的图象是一条 顶点坐标为 2 2 2 4 24 bacb f xaxbxca x aa 0 a 对称轴方程为 当时开口 当时开口 2 b x a 0a 0a 时 抛物线与 x 轴有 交点 2 400 0bac 单调性 当时 在 减函数 在 上是增函数 0a f x 当时 在 减函数 在 上是增函数 0 a f x 六 指数函数 1 幂的有关概念 正整数指数幂 个n aaa 零指数幂 0 a 0a 负整数指数幂 p a 0 apN 正分数指数幂 m n a 0 1amnNn 且 负分数指数幂 m n a 0 1amnNn 且 0 的正分数指数幂等于 0 的负分数指数幂无意义 2 幂的运算法则 0 0 abrsQ rs a a rs a rab 指数函数图像及性质 定义 0 1 x yaaa 图象 定义域 值域 定 点 3 单调性 1a 01a 七 对数函数 1 定义 如果的b次幂等于 N 就是 那么数称以为底N的对数 记 1 0 aaa且 b aN ba 作 其中称对数的底 N 称真数 a 以 10 为底的对数称常用对数 记作 N 10 log 以无理数为底的对数称自然对数 记作 71828 2 eeN e log 2 基本性质 真数 N 为正数 负数和零无对数 对数恒等式 log 1 a logaa logaN a 3 运算性质 如果则 0 0 1 0 NMaa log a MN loga M N log n a M 4 换底公式 N a log 0 1 0 1 0 aammN loglog ab ba log m n a b 5 对数函数的图像与性质 定 义 图 象 定义域 值 域 定 点 单调性 八 幂函数 的图像 yx 2 yx 3 yx 1 y x 1 2 yx 1 当时 幂函数有下列性质 0 Rxy 1 图像都通过点 2 在第一象限内 随的增大而 x 3 在第一象限内 时图像 凸 时图像 凸 1 10 4 在第一象限内 过 点后 图像向右上方无限伸展 4 2 当 a 0 时 幂函数有下列性质 Rxy 1 图像都通过点 2 在第一象限内 函数值随的增大而 图像是向 凸的 x 3 在第一象限内 图像向上与轴无限地接近 向右与轴无限地接近 yx 4 在第一象限内 过 点后 越大 图像下落的速度越快 九 函数图像变换 1 平移变换 水平平移 的图象 可由 的图象向 或向 0 aaxfy xfy 平移 个单位而得到 竖直平移 的图象可由 0 bbxfy xfy 的图象向 或向 平移 个单位而得到 2 对称变换 与 的图象关于 对称 xfy xfy 与 的图象关于 对称 xfy xfy 与 的图象关于 对称 xfy xfy 与 的图象关于 对称 1 xfy xfy 的图象可将 的图象在 的部分以 为对称轴翻折上去 xfy xfy 其余部分不变 的图象可将 的部分作出 再利用偶函数的图象关于轴对称 作出 xf xfy 0 xy 的部分 0 x 3 伸缩变换 的图象 可将 图象上所有点的纵坐标变为原来的 0 AxAfy xfy 倍 横坐标不变而得到 的图象 可将 图象上所有点的横坐标变为原来的 纵坐标 0 aaxfy xfy 不变而得到 十 函数的应用 1 函数零点的定义 对于函数使