§13-5三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法

13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法158 158 13 5 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法 1 1 柱坐标计算法柱坐标计算法 当积分区域在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一 部分时 时常采用柱坐标计算三重积分 读者从图 13 26 中看出 点的柱坐标实际上 Pr z 是它到坐标平面上垂足的平面极坐标与点的竖坐标的组合 OxyN r Pz 根据定理 13 5 和二重积分的极坐标计算法 可得下面关于三重积分的柱坐标计算法 定理定理 13 613 6 在定理 13 5 的假设条件下 则有 13 28 2 1 cos sin cos sin d d dd d cos sin d r zrr Dz rr f x y zx y zrrf rrzz 其中是在坐标平面上的垂直投影 图 13 27 r D Oxy 例例 17 求三重积分 其中是由球面的上半球面与抛d d dz x y z 222 4xyz 物面围成的区域 图 13 28 22 3xyz 解解 题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为与 它们围成的区域在 222 2rz 2 3rz 坐标平面上的垂直投影为圆 根据式 13 28 Oxy 3 r Dr 22 2 4 22 3 2 00 3 1 d ddd 4 d 29 r zr r Dz r rrz zrrr 3 546 3 32 0 0 9113 4d 2 6 9454424 rrr rrrr 2 cos sin zz rr x O r 0 Nr Pr z z y z 图 13 26 x Oy z 图 13 27 r D 1 cos sin zz rr 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法159 159 2 球坐标计算法球坐标计算法 当积分区域是球体或球体的一部分时 时常采用球坐标计算三重积分 如图 13 29 点的球坐标与直角坐标的关系为P x y z sincos sinsin cos x y z 其中 02 0 0 对于以原点为球心且以为半O 0 径的球面上的简单封闭曲线 自原点发出Sl 且与 相交的射线环绕 一周所构成的空间区ll 域 图 13 30 称为由封闭曲线 张成的顶点l 在原点的立体角立体角 若用表示 所包围的那部分球面面积 则这个立体角的大小规定为O Sl 2 S 特别 单位球面上封闭曲线 张成的立体角的大小为 即 围成的球面面积 1 l S l 对于空间中的有界闭区域 首先用下面的三族曲面将划分成许多小区域 通过轴作一族半平面 Oz 02 ii 以原点为顶点且以轴为中心轴作一族圆锥面 Oz 0 jj 以原点为球心作一族同心球面 0 kk 图 13 31 中表示出这些小区域中的一个 它在单位球面上的中心投影中心投影的面积为 1 中心投影边界曲线张成的立体角的大小 sin 因此 那个小区域的底面的面积为 当的直径很小时 ABCD 2 sinS 把它看成长方体 合理假设 则它的体积为 2 sinv 现在 设有函数在有界闭区域上连续 则它在上的三重积分 f Pf x y z 1 dlim n ii i f Pvf Pv 2 1 lim sincos sinsin cos sin n iiiiiiiiiiiii i f 2 sincos sinsin cos sind d df z x N P x y z y O 图 13 29 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法160 160 为把上面最后的三重积分化为累次积分 三次积分 假定自原点发出且通过区域的内点O 的每一条射线与区域的边界曲面的交点不多于两个 如图 13 32 自原点发出的射线与区 O 域相交时 穿入点到原点的距离记为 而穿出点到原点的距离记为 这样 1 2 的射线同时也穿过区域在单位球面上的中心投影 于是有 1 1 S d d d df Pvf x y zx y z 13 29 2 11 2 sin d d sincos sinsin cos d S f 例例 18 用球坐标计算法 重新计算例 17 中的三重积分 解解 见图 13 33 当时 当时 根据式 0 3 02 32 2 3cos 0 sin 13 29 有 2 3cos 2 22 33 32sin 00000 3 dsin dcos ddsin dcos d 2 3cos 2 33 32sin 000 3 2 sincos dd2 sincos dd 5 32 7 0 3 81 cos 13 8 sincos dd3 244sin 3 3 选读选读 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法 实际上是下面这种变量替换的一般方法 的特殊情形 下面的变量替换方法是二重积分的变量替换方法 定理 13 3 在三重积分中的类 比 设函数在有界闭区域上连续 若有一对一的正则变换 f x y z 3 R xx u v w yy u v w zz u v w 将有界闭区域变换成 则 3 G R 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法161 161 d d df x y zx y z 13 30 d d d G x y z f x u v w y u v w z u v wu v w u v w 其中雅可比行列式为正时取 为负时取 x y z u v w 例例 1919 计算三重积分 222 222 1d d d 0 0 0 xyz x y z abc abc 其中为椭球体 222 222 1 xyz abc 解解 作广义球坐标变换 则它的雅可比行列式为 sincos sinsin cos xa yb zc xxx x y zyyy zzz sinsincoscossincos sincoscossinsinsin 0sincos aaa bbb cc 2sin abc 根据式 13 30 则有 22 1sin d d d G abc 2 1 22 000 dsind1dabc 2 1 22 0 4 1d 4 abcabc 习题与阅读习题与阅读 1 1 利用适当的方法 计算下面的三重积分 为抛物面和平面围成的闭区域 22 d d dxyx y z 22 2xyz 2z 为半球面和抛物面围成的闭区域 d d dz x y z 22 1zxy 22 zxy 为圆锥面和平面围成的闭区域 22 1 d d d 1 x y z xy 222 zxy 1z 22 e d d d z x y z xy 22 12 zxy 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法162 162 为两球体和的公共部分 2d d d zx y z 2222 xyzR 222 2 xyzRz 222 d d dxyzx y z 2222 xyzR 22d d d xyx y z 222 0 xyzRz R 222 ln 1 d d dzxyzx y z 222 14 xyz 答案 16 3 7 12 2ln2 4 2 2 2 e 5 59 480 R 5 4 5 R 24 1 64 R0 2 2 根据的体积 求由曲面围成的立dd d dvx y z 222 33 3xyza xyz 体的体积 分析与解答 分析与解答 不妨认为 则图形含在第一 三 六 八挂限 根据图形对称性 所求0a 体积为 为含在第一挂限的部分 1 4d d dVx y z 1 用球坐标变换 则曲面方程变为 222 33 3xyza xyz 332 3sincoscossina 因此 1 4d d dVx y z 332 3sincoscos sin 222 000 4dsindd a 3322 00 4cos sin dsincosda 3 2 a 3 3 设为连续函数 求函数的导数 f u 2222 222 d d d xyzt F tf xyzx y z F t 答案 22 4 F tt f t 4 4 求三重积分 其中为非负整数 222 1 d d d mnk xyz Ix y zx y z m n k 答案 当中至少有一个为奇数时 m n k0I 当都为偶数时 m n k 111 2 222 3 3 2 mnk I mnk mnk 5 5 求由曲面包围的立体的体积 2 222 222 0 0 0 xyz ax abc abc 分析与解答分析与解答 由曲面方程看出 曲面包围的立体处在坐标平面的正侧 0 x Oyz 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法163 163 一方 并且分别关于坐标平面与对称 因此 它的体积是它含在第一卦限部分 0 x OxyOxz 的体积的 4 倍 即 令 广义球坐标变换 0 0 4dVv sincos sinsin cos xa yb zc 2 3 0 0 0sincos 22 a 则 23 0 sincos 2 22 000 4d4ddsin d a Vvabc 23 sincos 2 22 000 4dsindd a abc 32 22 00 4 cos dsind 3 a bc 3 3 a bc 6 6 阅读阅读 矩与质心 重心 矩与质心 重心 对于空间中的 n 个质点组成的 3 R 1 2 iiii P x y zin 质点组 它们的质量依次记为 若它们到某平面或某直线或某点的距离依次为 12 n m mm 则称 12 n r rr 1 0 1 2 n k ii i r mk 为该质点组对那个平面或那条直线或那个点的级矩级矩 零级矩零级矩就是质点组的总质量k 0 k 12n mmmm 而对平面的级矩级矩又称为静矩静矩 级矩级矩又称为惯性矩惯性矩或转动惯量转动惯量 12 上述质点组质心 或重心 的坐标为 1 1 1 1 1 1 n cii i n cii i n cii i xx m m yy m m zz m m 12 n mmmm 这里用到的是质点组对坐标平面的静矩 1 级矩 不过其中质点的坐标不是它到 i P iii x y z 相应坐标平面的距离 但它们的绝对值是它到相应坐标平面的距离 上述质点组对坐标平面的惯性矩 即转动惯量 依次为 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法164 164 2 1 2 1 2 1 n xyii i n yzii i n zxii i Jz m Jx m Jy m 而对坐标轴的惯性矩 即转动惯量 依次为 22 1 22 1 22 1 n xiii i n yiii i n ziii i Jyzm Jzxm Jxym 还有对原点的惯性矩为 222 0 1 n iiii i Jxyzm 以上关于质点组的矩概念用不到积分 因为它们的分布式离散的 而要研究质量连续分布 的 矩概念 时 就要用积分替代上面的各个和数 譬如 设有某种物质连续地分布在空 间某有界闭区域上 其分布密度为 则它的质心 重心 坐标为 P 1 d d d 1 d d d 1 d d d c c c xxPx y z m yyPx y z m zzPx y z m 其中 总质量 而它对坐标平面的惯性矩依次为 d d dmPx y z 2 2 2 d d d d d d d d d xy yz zx JzPx y z JxPx y z JyPx y z 以及它对坐标轴的惯性矩依次为 22 22 22 d d d d d d d d d x y z JyzPx y z JzxPx y z JxyPx y z 最后 还有它对原点的惯性矩为 13 5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法165 165 222 0 d d dJxyzPx y z 读者在做有关的习题时 只要套用有关的公式就可以了 例例 设有某种物质均匀地分布在由球面与圆锥面围成 222 8 0 xyzz 22 zxy 的区域上 见下图 求它的质心时 注意到质量均匀分布 即分布密度 常数 P 以及物体的对称性 质心在轴上 则质心的竖坐标为Oz0 cc xy 1 d d dd d d c