第六章-静电场.ppt

电磁学理论发展简史 1 积累事实总结基本定律时期1785年库仑 法国 总结出库仑定律 1819年奥斯特 丹麦 发现了电流的磁效应 1826年安培 法国 发现了磁铁对电流的作用 1831年法拉第 英国 发现了电磁感应现象 1834年法拉第发现了电解现象 法拉第虽然提出了电场和磁场的概念 但缺乏一套完整的理论来指导实践 2 总结系统理论时期1865年麦克斯韦 英国 在前人和自己发现的基础上 建立了一套系统且严密的电磁场理论 麦克斯韦方程组 它揭示了电磁场的内在联系 并指出光是一种电磁波 3 电子论和近代物理的建立1895年洛仑兹 荷兰 建立了经典的电子论 解释了导体 电介质 磁介质中的现象 二十世纪初建立了相对论和量子力学 构成了近代物理学 6 1电荷库仑定律 6 2电场电场强度 6 4高斯定理 6 5静电场力的功电势 6 6等势面电场强度与电势的关系 6 7带电粒子在外电场中受到的力及其运动 6 3电场线电场强度通量 第六章静电场 1 掌握场强和电势概念及叠加原理 掌握场强和电势的积分关系 了解其微分关系 能计算简单问题的场强和电势 2 了解静电场高斯定理和环路定理 掌握用高斯定理计算场强的条件和方法 教学要求 静电场 相对于观察者静止的电荷产生的电场 本章讨论 静电场的基本概念 静电场的性质描述电场性质的物理量 电场强度矢量E和电势U 电场性质的基本定理 高斯定理 场强环流定理 一 对电荷的基本认识 1 两种电荷 正电荷 负电荷 同性相斥 异性相吸 2 物质的电结构 3 电荷量子化 一切物体所带电量q都是某一基本电量的整数倍 在宏观领域 电荷量子性不明显 可看作电荷连续分布 4 电荷守恒定律 与外界没有电荷交换的系统内 正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变 6 1电荷库仑定律 二 真空中的库仑定律 点电荷的相互作用规律 电荷守恒定律说明 物质带电现象的本质是电荷的转移 1 点电荷 理想化模型 点电荷 没有形状和大小的带电体 实际带电体其线度比电荷间距小很多时 可视为点电荷 扭秤实验1785年库仑 2 库仑定律 数学表述 真空中 两个静止的点电荷之间相互作用力的大小 与它们的电量的乘积成正比 与它们之间距离的平方成反比 作用力的方向沿着它们的联线 同号电荷相斥 异号电荷相吸 库仑定律 注意 1 适用于真空中的静止点电荷 2 在国际单位制中k 9 109m2N C2 1 4 0 0 8 85 10 12C2 m2N称为真空中的介电常数 3 是基本实验规律 宏观 微观均适用 4 库仑力可以叠加 实验证明 两个电荷间的作用力不因第三个电荷存在而改变 不管系统中有多少电荷 每对电荷之间的作用力都能用库仑定律计算 而某个电荷所受电场力就等于各力的叠加 一 电场 电场 带电体周围存在的一种特殊物质 1 超距作用 观点电荷之间的相互作用是直接传递的 不需要传递时间 历史上两种观点 静电场 相对于观察者是静止的电荷周围存在的电场 是电磁场的一种特殊形式 2 法拉第场论 观点电荷之间的相互作用是通过电荷在其周围产生的场来实现的 而且传递速度是有限的 以光速C 3 108m s传递 6 2静电场电场强度 电场的基本性质 1 对放在电场内的任何电荷都有作用力 力的表现 2 电场力对移动电荷作功 功的表现 二 电场强度 定量描述电场性质的物理量 1 试验电荷 a 它所带的电量足够小 放入电场中对电场无影响 b 它的线度足够小 放入电场中有确定的位置 2 电场强度实验表明 场中不同点 同一电荷受力不同 场中同一点 不同电荷受力不同 在P点放置q02q03q0 受电场力F2F3F 而 定义 1 电场强度是描述电场中各点电场强弱的物理量 其中 q0为试验电荷 电量要充分地小 线度足够小 q0放在电场中P点 受力 而比值 与q0无关 2 注意 是矢量场 位置的函数 1 量纲 在国际单位制中 单位 N C或V m 2 点电荷q在外电场E中受电场力F qE 3 三 电场强度的计算 1 点电荷Q所产生电场的电场强度 试探电荷q在点电荷Q的电场中受力为 由电场强度定义 是由源电荷Q指向场点 场强方向是正电荷受力方向 2 点电荷系所产生的电场的电场强度 所以 电场强度满足矢量叠加原理 3 电荷连续分布的带电体所产生的电场强度 若电荷连续分布 可在带电体上取微元电荷dq 由点电荷的场强公式写出场强 根据场强叠加原理求矢量和 即求积分 其中 由于矢量积分比较困难 所以 一般情况下 计算电场强度时 先将电场在几个方向上分解 用标量分别计算 积分 在合成 例1 求电偶极子产生的电场强度 电偶极子 一对靠得很近的等量异号的点电荷组成的系统 电偶极矩 由 q指向 q 解 1 电偶极子轴线延长线上任一点P的场强 沿如图的方向投影有 3 空间任一点P的场强 2 电偶极子轴线的中垂线上任一点的场强 绘制电偶极子的电场zuobiao linspace 3 3 40 x y meshgrid zuobiao Ex 2 x 2 y 2 x 2 y 2 5 2 Ey 3 x y x 2 y 2 5 2 a abs Ex 1 b abs Ey 1 Ex1 Ex a b Ey1 Ey a b quiver x y Ex1 Ey1 2 axisequal title 电偶极子电场 例2 求均匀带电 电荷线密度为 直线外任一点的场强 解 建立坐标系 过P点做带电直线的垂线为x轴 交点为坐标原点 沿带电直线为y轴 选积分元dy 有电荷 1 其分量式为 2 1 式代入 2 式 并积分 最后得 同理 讨论 2 3 1 在导线的中垂线上L1 L2 L 在距棒很远处 等效于点电荷 棒无限长时 4 当L1 a L2 0 或L1 0 L2 a时 半无限长带电细棒端点处的场强 例3 求均匀带电圆环 电荷线密度为 轴线上任一点的场强 解 圆环上微元带的电荷 由点电荷场强公式 由于对称性可知 电场沿x方向 1 讨论 2 环心处 可视为点电荷 例4 求半径为R 面电荷密度为 的均匀带电圆盘轴线上任一点的场强 解 取微元电荷 由对称性可知电场只沿x轴方向 讨论 1 成为无限大带电平板 成为点电荷的电场 2 例5 半径为R的一段圆弧 圆心角为60 一半均匀带正电 另一半均匀带负电 线电荷密度分别为 求圆心处的电场强度 解 先讨论对称性 方向向左 例6 一段长为L的带电细杆 线电荷密度为 求细杆延长线上距杆a处电场的强度 解 各点电荷的电场方向均相同 方向向右 一 电场线 形象地描述电场分布的一组假想曲线 1 规定 2 电场线性质 1 电场线始于正电荷 或无穷远 终止于负电荷 不会在没有电荷处中断 2 两条电场线不会相交 3 电场线不会形成闭合曲线 用一簇空间曲线形象地描述场强的分布 曲线上每一点的切线方向为该点电场强度方向 垂直于场强方向单位面积通过的电场线数等于该点电场强度的大小 电场线密度 6 3电场线电场强度通量 二 电通量 通过电场中某一面积元的电场线的数目 通过任意面积元的电通量 将dN写成d e 通过整个曲面通量 通过封闭曲面的通量 表述 在真空中的静电场中 通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电量的代数和除以 0 证明 1 通过包围一个点电荷的任意球面的电通量 6 4高斯定理 2 通过包围一个点电荷的任意闭合曲面的电通量 具有相同立体角的不同曲面dS 和dS的电通量相同 4 通过包围几个点电荷的任意闭合曲面的电通量 3 通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量 穿入和穿出电场线相同 净通量为零 讨论 1 通过整个高斯面的电通量只与高斯面包围的电荷总量 代数合 有关 与外部电荷及内部电荷分布无关 2 通过整个高斯面的通量为零不等于高斯面内无电荷 也不说明高斯面上场强处处为零 3 高斯面上场强由内 外电荷决定 总通量由面内电荷决定 三 高斯定理的应用 电荷分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理求E比较方便 即在高斯面上场强处处相等 方向与曲面正交或平行 或在某些面上场强相等 另一些面上场强为零 分析静电场问题 求静电场的分布 特点 1 球对称 球体 球面 特征 距球心相同r处 E值相等 方向沿径向 2 柱对称 无限长柱体 柱面 特征 在任意同轴柱面上各点 E值相等 方向沿径向 3 面对称 无限大平板 平面 特征 在与平面等距离处各点 E值相等 方向与平面垂直 常见的具有对称性的电荷分布 求电场分布的步骤 1 对称性分析 2 选合适的高斯面 3 用高斯定理计算 例1 求均匀带电球体内外的电场 半径为R 电荷体密度 带电量为Q 解 对称性分析 球内一点P1 以oP1为半径的球内电荷在P1点的电场沿oP1向外 op1球外在P1点电场互相抵消 场强沿半径向外 高斯面 过P1以op1为半径的球 高斯定理等式左侧 右侧 在球内在球外 推广 半径为R 带电量为Q的均匀带电球壳的场强分布1 球壳内E 0 可由对称性分析得到2 球壳外 例2 无限大均匀带电平面产生的场强 解 由对称性分析知 E的方向垂直板面向外 距板同远处E大小相同 取如图圆柱体为高斯面 有 例3 求无限长均匀带电圆柱 半径为R 内 外的电场分布解 先求柱面内电场 在柱面内找一点p1 对称性分析 圆柱内任一点的场强沿径向 距中心同远处场强大小相同 方向垂直于带电圆柱2 高斯面 选过P点半径为r R r 高为h的同轴圆柱面3 计算 设电荷体密度为 所包围的电荷 h r2根据高斯定理 再求柱面外的电场 在柱面外取一点D 分析电场的对称性同样可知 任一点的场强沿径向 距中心同远处场强相同 所以过D作半径为r的圆柱面为高斯面 R r 由高斯定理 可得 所包围的电荷 h R2根据高斯定理 思考 均匀带电圆柱面 柱内一点E 柱外一点E 利用场强叠加原理 求如下带电体的电场分布 1 两无限大平行带电平板内外的电场 2 带小缺口的细圆环轴线上的电场 3 带有空腔的圆柱体空腔轴线上的电场 4 带有空腔的球体空腔中心处的电场 5 带圆孔的无限大平板圆孔轴线上的电场 讨论 1 两平行的无限大带电平板内 外的电场 两板间 EA与EB同向 均为正 两板外 在A板左侧 EA与EB反向 规定正方向如图 在B板右侧 EA与EB同样反向 2 带小缺口的细圆环 缺口长l 轴线上 任意P点的场强为 3 带圆孔的无限大平板 带电无限大平板 无圆孔 电荷面密度为 在P点的场强为 圆孔 圆盘 电荷面密度为 在轴线上P点的场强为 所以P点的场强为 二者方向相反 4 带有空腔的圆柱体O 处 实心圆柱体在O 点产生的场强为 电荷体密度 空腔圆柱体在O 点产生的场强为E2 0 所以O 点的场强为 由高斯定理求得 5 带有空腔的球体O 处 实心球体在O 处产生的场强为 空腔球体在O 处产生的场强为 E2 0 由高斯定理求得 所以O 处的场强为 一 静电场力作功的特点 在点电荷q的电场中移动点电荷q0 由a点 b点过程中电场力作功 结论 在点电荷激发的电场中 静电场力作功只与始末位置有关 而与路径无关 6 5静电场力的功电势 由于每一项都与路径无关 故点电荷系的电场中移动q0 电场力作功与路径无关 容易证明 对连续带电体也有同样结论 所以 静电场是保守力场 在点电荷系q1 q2 的电场中移动q0 电场力作功 二 环路定理 在静电场中 沿闭合路径移动q0 电场力作功 0 静电场中的环路定理 静电场中电场强度沿任意闭合路径线积分 环流 为零 环路定理要求电场线不能闭合 静电场是有源 无旋场 三 电势能 1 静电力是保守力 可引入电势能的概念 2 静电力 保守力 作功和电势能 势能 增量的关系为 即 q0在电场E中a b两点的电势能之减少量Epa Epb 等于把q0从a点移至b点过程中电场力所作的功 3 讨论 1 电势能是属于q0和产生电场的源电荷系统所共有 2 电势能的大小是相对的 电势能差才是有意义的 一般要选取势能零点Epc 0 才能确定某点的电势能 如 确定q0在电场中a点电势能 由电势能与电场力做功的关系有 即把q0自a 势能零点的过程中电场力作的功 定义为q0在a点的电势能 当电场源电荷分布在有限范围内时 势能零点一般选在无穷远处 当电场源电荷分布在无限范围时 只能在场中任选一点 令其电势能为零 在许多实际问题中 常选地球电势能为零 方便比较 地球电势比较稳定 四 电势 电势能除与电场有关外 还与试探电荷q0有关 为方便研究电场 引入电势 U 的概念 电场中某点的电势 数值上等于把单位正电荷自该点移至 势能零点 过程中电场力作的功 在电势的基础上 还可以引入 电势差 的概念 常用的计算公式 a b两点的电势差Uab 定义为电场中a b两点的电势之差 即为把单位正电荷从a移到b时中电场力作的功 五 电势差 注意 1 Ua Ub及Uab不仅与a b两点的电场有关 而且与整个空间的电场分布有关 2 Ua Ub与零势点的选择有关 而Uab则不然 3 沿着电场方向 电势减小 例 点电荷场的电势 取无穷远点为零势点 1 某点的电势等于把单位正电荷从该点移到电势零点电场力作的功 2 电势是描述电场能量性质的物理量 与试验电荷无关 3 电势零点的选取是任意的 有限带电体一般选无穷远为电势零点 讨论 1 场强积分法 六 电势的计算 2 电势叠加原理 若电场是由多个点电荷激发的 如图 由电场的迭加原理 空间中任意一点的电场应是各个点电荷单独存在时激发的电场的迭加 即 点电荷系电场中某点的电势 等于各个点电荷单独存在时在该点处的电势的迭加 代数和 电势迭加原理 利用前面例子的结果有 若电场是由连续分布的电荷激发的 如图 我们可以将带电体分割为许多点电荷 同样使用电势的迭加原理 注意 用电势迭加原理解题时 已默认参考点选择在无穷远点 例1 内 外半径分别为R1 R2的球壳 带有电荷Q 求空间各点的电势 设球壳内电荷分布均匀 并取无穷远点为零势点 解 由于电荷球对称分布 分析知 半径相同处 电场的大小相同 方向沿径向 对称 用场强积分法计算 在球壳内 作半径为r1的同心球面为高斯面 设场强为E1 则有 在球壳间 作半径为r2的同心球面为高斯面 设场强为E2 则有 在球壳外 作半径为r3的同心球面为高斯面 设场强为E3 则有 下面我们来计算电势 在球壳内 半径为r1处的电势为 得 在球壳内 半径为r1处的电势与r1无关 各点电势相同 为等势体 在球壳间 半径为r2处的电势为 而在球壳外 半径为r3处的电势为 从这个例题可以看出 电场的分布往往是不连续的 而电势由于是电场的空间积分 分布一定是连续的 例2 求均匀带电圆环轴线上一点的电势 电量Q 半径R 解 用叠加原理 另解 用场强积分法 沿轴线积分到无穷远点 推广 求均匀带电圆盘轴线上一点的电势解 叠加法取电荷元 例3 半径为R的一段圆弧 圆心角为60 一半均匀带正电 另一半均匀带负电 线电荷密度分别为 求圆心处的电势 解 先讨论对称性 例4 一段长为L的带电细杆 线电荷密度为 求细杆延长线上距杆a处P点的电势 解 由上节的例题知 P点处的电场为 P点处的电势为 坐标为x处的电场为 用电势叠加原理 P点处的电势为 例3 球体均匀带电Q 求 1 球体外两点的电势差 2 球体内两点的电势差 3 球体外任意点的电势 4 球体内任意点的电势解 1 2 3 4 球表面 令 球心处电势 另法 用场强的线积分求带电球体内 外及球面电势 1 球内电势球内 外场强为 2 球外电势 球心处r 0代入上式得 球面上r R代入上式得 对带电球面 场强分布为 例4 求均匀带等量异号电荷的两同心球面的电势分布 解 用电势叠加原理求解 1 在外球外侧 r R2 2 在两球中间 R1 r R2 3 在内球内侧 r R1 例5 求无限长均匀带电直线外一点的电势 电荷线密度为 选b点电势为0 解 无限长均匀带电直线外一点的场强为 场中任一点a的电势为 问题 可否仍选择无穷远处为电势零点 例6 直线MN长为2l 弧OCD是以N为中心 l为半径的半圆弧 N点有正电荷 q M点有负电荷 q 今将一试验电荷从O点出发 沿路径OCDP移到无穷远处 设无穷远处电势为零 求电场力所作的功 解 设试探电荷为q0 由于电场作的功等于电势差乘以试探电荷的电量 而与所经过的路径无关 所以 重要的是求始 末两点间的电势差 例7 如图有两个点电荷q1 q2相距s 现将点电荷连线上距q2为R的点O定为电势零点 求距q2为r的点P的电势 解 先计算以无穷远点为势能零点时 O点和P点的电势UO UP O点和P点间的电势差与电势零点的选择无关 一 等势面 由电势相等的点组成的面叫等势面 当常量C取等间隔数值时可以得到一系列的等势面 性质 1 等势面的疏密反映电场的强弱 密则强 疏则弱 3 电场线与等势面处处正交 电场强度指向电势降落最快的方向 2 电荷沿等势面移动时电场力不作功 4 两个等势面不相交 6 6等势面电场强度与电势的关系 二 电场强度与电势梯度 表示沿场强方向电势逐渐降低 逆场强方向电势升高 电场中某点的场强沿任一方向的分量 等于该点的电势沿该方向的