三角形三边关系归纳

三角形三边关系的考点问题三角形三边关系的考点问题 三角形的三条边之间主要有这样的关系 三角形的两边的和大于第三边 三角形的两 边的差小于第三边 利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目 现举例说明 一 确定三角形某一边的取值范围问题 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论 已知三角形的两边为 a b 则第三边 c 满足 a b c a b 例 1 用三条绳子打结成三角形 不考虑结头长 已知其中两条长分别是 3m 和 7m 问第三条绳子的长有什么限制 简析 设第三条绳子的长为 xm 则 7 3 x 7 3 即 4 x 10 故第三条绳子的长 应大于 4m 且小于 10m 二 判定三条线段能否组成三角形问题 根据三角形的三边关系 只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可 例 2 1 下列长度的三根木棒首尾相接 不能做成三角形框架的是 A 5cm 7cm 10cm B 7cm 10cm 13cm C 5cm 7cm 13cm D 5cm 10cm 13cm 2 2004 年哈尔滨市中考试题 以下列各组线段为边 能组成三角形的是 A 1cm 2cm 4cm B 8cm 6cm 4cm C 12cm 5cm 6cm D 2cm 3cm 6cm 简析 由三角形的三边关系可知 1 5 7 13 故应选 C 2 6 4 8 故应选 B 例 3 有下列长度的三条线段能否组成三角形 1 a 3 a 3 其中 a 3 2 a a 4 a 6 其中 a 0 3 a 1 a 1 2a 其中 a 0 简析 1 因为 a 3 3 a 所以以线段 a 3 a 3 为边的三条线段不能组成三角 形 2 因为 a 6 a 6 而 6 与 a 4 的大小关系不能确定 所以以线段 a a 4 a 6 为边的三条线段不一定能组成三角形 3 因为 a 1 a 1 2a 2 2 a 1 2a 3a 1 a 1 所以以线段 a 1 a 1 2a 为边的三条线段一定能组成三角形 三 求三角形某一边的长度问题 此类问题往往有陷阱 即在根据题设条件求得结论时 其中可能有一个答案是错 误的 需要我们去鉴别 而鉴别的依据就是这里的定理及推论 例 4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm 两部分 求这个三角形的腰长 简析 如图 1 设腰 AB xcm 底 BC ycm D 为 AC 边的中点 根据题意 得 x x 12 且 y x 21 或 x x 21 且 y x 12 解得 x 8 y 17 或 1 2 1 2 1 2 1 2 x 14 y 5 显然当 x 8 y 17 时 8 8 17 不符合定理 应舍去 故此三角形的 腰长是 14cm 例 5 一个三角形的两边分别是 2 厘米和 9 厘米 第三边长是一个奇数 则第三边长 为 简析 设第三边长为 x 厘米 因为 9 2 x 9 2 即 7 x 11 而 x 是奇数 所以 x 9 故应填上 9 厘米 四 求三角形的周长问题 此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样 也会设计陷阱 所以 也应避免答案的错误 例 6 已知等腰三角形的一边等于 5 另一边等于 6 则它的周长等于 简析 已知等腰三角形的一边等于 5 另一边等于 6 并没有指明是腰还是底 故应由 三角形的三边关系进行分类讨论 当 5 是腰时 则底是 6 即周长等于 16 当 6 是腰时 则底是 5 即周长等于 17 故这个等腰三角形的周长是 16 或 17 五 判断三角形的形状问题 判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系 例 7 已知 a b c 是三角形的三边 且满足 a2 b2 c2 ab bc ca 0 试判断三角形 的形状 简析 因为 a2 b2 c2 ab bc ca 0 则有 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 于是有 a b 2 2 a 2 0 此时有非负数的性质知 a b 2 0 2 0 a 2 0 即 a b 0 0 a 0 故 a b c 所以此三角形是等边三角形 六 化简代数式问题 这里主要是运用两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 从而确定代数式的符号 例 8 已知三角形三边长为 a b c 且 a b c a b c 10 求 b 的值 简析 因 a b c 故 a b c 0 因 a b c 故 a b c 0 所以 a b c a b c a b c a b c 2b 10 故 b 5 七 确定组成三角形的个数问题 要确定三角形的个数只需根据题意 运用三角形三边关系逐一验证 做到不漏不重 例 9 现有长度分别为 2cm 3cm 4cm 5cm 的木棒 从中任取三根 能组成三角形 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 简析 由三角形的三边关系知 若以长度分别为 2cm 3cm 4cm 则可以组成三角形 若以长度分别为 3cm 4cm 5cm 则可以组成三角形 若以长度分别为 2cm 3cm 5cm 则不可以组成三角形 若以长度分别为 2cm 4cm 5cm 则也可以组成三角形 即分别为 2cm 3cm 4cm 5cm 的木棒 从中任取三根 能组成三角形的个数为 3 故应选 C 例 10 求各边长互不相等且都是整数 周长为 24 的三角形共有多少个 简析 设较大边长为 a 另两边长为 b c 因为 a b c 故 2a a b c a a b c 又 a a b c 即 2a b c 所以 2 1 3a a b c a a b c 所以 a b c a 3 1 3 1 A D P B C 图 2图 1 D CB A a b c 24 a 24 所以 8 a 12 即 a 应为 9 10 11 由三角形三边 2 1 3 1 2 1 关系定理和推论讨论知 7 8 9 c b a 6 8 10 c b a 5 9 10 c b a 6 7 11 c b a 5 8 11 c b a 4 9 11 c b a 3 10 11 c b a 由此知符合条件的三角形一共有 7 个 八 说明线段的不等问题 在平面几何问题中 线段之间的不等关系的说明 很多情况下必须借助三角形三 边之间的关系定理及推论 有时可直接加以运用 有时则需要添加辅助线 创造条件才 能运用 例 11 已知 P 是 ABC 内任意一点 试说明 AB BC CA PA PB PC AB BC CA 的理由 2 1 简析 如图 2 延长 BP 交 AC 于 D 点 在 ABD 中 可证明 AB AD BP PD 在 PDC 中 可证明 PD DC PC 两式相加 可得 AB AC BP PC 同理可得 AB BC PA PC BC CA PA PB 把三式相加后除以 2 得 AB BC CA PA PB PC 在 PAB 中 PA PB AB 在 PBC 中 PB PC BC 在 PAC 中 PA PC CA 上面三式相加后除以 2 得 PA PB PC AB BC CA 综上所述 AB BC CA PA PB PC 2 1 AB BC CA 2 1 课堂练习课堂练习 1 若三角形的两边长分别为 6 7 则第三边长 a 的取值范围是 2 设三角形三边之长分别为 3 8 1 2a 则 a 的取值范围为 A 6 a 3B 5 a 2 C 2 a 5 D a2 3 ABC 的一边为 5 另外两边长恰是方程 2x2 12x m 0 的两根 那么 m 的取值范 围是 4 已知五条线段长分别为 3 5 7 9 11 若每次以其中三条线段为边组成三角形 则最多可构成互不全等的三角形 A 10 个 B 7 个C 3 个D 2 个 5 以 7 和 3 为两边长 另一边的长是整数 这样的三角形一共有 A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 6 已知等腰三角形的周长是 8 边长为整数 则腰长是 7 已知等腰三角形的两边长分别为 6cm 和 3cm 则该等腰三角形的周长是 A 9cmB 12cmC 12cm 或 15cmD 15cm 8 在 ABC 中 AB AC AC 上的中线 BD 把三角形的周长分为 21cm 和 12cm 两部 分 求三角形各边长 9 若 a b c 为 ABC 的三边长 试证 abca ba cb c 444222222 222 10 已知 如图 2 在 ABC 中 B 2 C 求证 AC 2AB 11 已知 如图 3 M N 是四边形 ABCD 的一组对边 AD BC 的中点 求证 并试问 当四边形 ABCD 满足什么条件时取等号 MNABCD 1 2 三角形中的有关角的考点归纳三角形中的有关角的考点归纳 三角形中关于角的考点 主要在于三角形三内角和为 180 求角的度数 三角形类型 的判断 内角和外角关系以及关于角度大小的证明 一 根据三角形三内角和 180 解题 1 ABC 中 A 55 B 25 则 C 解析解析 此题考查三角形内角和定理 由三角形三个角的和为 180 易得 C 180 A B 180 55 25 100 2 在中 则 ABC 2 1AB 60C A 解析解析 设 B x A 2x 根据三角形内角和定理得 2 1AB x 2x 60 180 解得 x 60 A 2x 80 3 若等腰三角形的一个外角为 则它的底角为 度 70 解析解析 等腰三角形的一个外角为 则和这个角相邻的内角为 110 度 它必为为顶70 角 所以底角 000 35110180 2 1 4 图 1 AB CD AC BC BAC 65 则 BCD 度 解析解析 本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握 由三角形内 角和可以知道 ABC 25 再根据平行线性质 我们可以知道 BCD ABC 25 二 利用三角形三内角比判断三角形类型 5 一个三角形三个内角的度数之比为 这个三角形一定是 2 3 7 A 直角三角形B 等腰三角形 C 锐角三角形D 钝角三角形 解析 解析 此题根据三角形内角性质 可以看着把 180 分成 12 分 其中有一个占去 7 分 则可知次为钝角三角形 是否等腰只看 2 3 就可知不等要 6 已知 ABC 中 A B C 1 3 5 这个三角形是 三角型 A B C 解析 解析 同上题可把 180 分成 9 分 有角占 5 分则可知为钝角三角形 计算角度时可 先算出每份为 20 则 A 20 B 60 C 100 三 内角和外角的运用 7 ABC 中 若 C B A 则 ABC 的外角中最小的角是 填 锐角 直 角 或 钝角 解析 解析 由 C B A 可以得到 C B A 可知此为直角三角形 则其他 2 内 角都为锐角 其外角则最小为直角 8 如图 ABC 中 点 D 在 BC 的延长线上 点 F 是 AB 边上一点 延长 CA 到 E 连 图 1 EF 则 1 2 3 的大小关系是 解析 解析 2 3 E 1 2 B 则可知 1 2 3 四 利用三角形内角和外角进行证明 9 一个零件的形状如图 7 2 2 6 所示 按规定 A 应等于 90 B D 应分别是 30 和 20 李叔叔量得 BCD 142 就断定这个零件不合格 你能说出道理吗 解析 解析 解法 1 如答图 1 延长 BC 交 AD 于点 E 则 DEB A B 90 30 120 从而 DCB DEB D 120 20 140 若零件合格 DCB 应等于 140 李叔叔量得 BCD 142 因此可以断定该零件不合格 1 2 3 点拨 也可以延长 DC 与 AB 交于一点 方法与此相同 解法 2 如答图 2 连接 AC 并延长至 E 则 3 1 D 4 2 B 因此 DCB 1 D 2 B 140 以下同方法 1 解法 3 如答图 3 过点 C 作 EF AB 交 AD 于 E 则 DEC 90 FCB B 30 所以 DCF D DEC 110 从而 DCB DCF FCB 140 以下同方法 1 说明 也可以过点 C 作 AD 的平行线 点拨 上述三种解法应用了三角形外角的性质 三角形的一个外角等于它不相邻的两 个内角的和 10 如图 在绿茵场上 足球队员带球进攻 总是向球门 AB 冲近 说明这是为什么 解析 解析 如图 设球员接球时位于点 C 他尽力向球门冲近到 D 此时不仅距离球门近 射门更有力 而且对球门 AB 的张角也扩大 球就更容易射中 理由说明如下 延长 CD 到 E 则 ADE ACE BDE BCE ADE BDE ACE BCE 即 ADB ACB 点拨 解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题 课堂练习课堂练习 1 如图 在 ABC 中 D E 分别是边 AB AC 的中点 已知 BC 10 则 DE 的长为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 如图 那么 11002145 3 A 55 B 65 C 75 D 85 3 如图 将沿折叠 使点与边的中点重合 下列结论中 ABC DEABCF 且EFAB 1 2 EFAB BAFCAF 1 2 ADFE SAF DE A 四边形 正确的个数是 2BDFFECBAC A 1B 2C 3D 4 1 2 3 A D B F C E 第 1 题图 4 已知等腰三角形的一个内角为 则这个等腰