中考复习相似三角形练习题

新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 中考复习中考复习 相似三角形相似三角形 练习题练习题 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2013 自贡 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 6 AD 9 BAD 的平分线交 BC 于 E 交 DC 的延长线于 F BG AE 于 G BG 则 EFC 的周长为 A 11B 10C 9D 8 2 2013 重庆 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E 在 AD 上 连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F 若 AE 2ED CD 3cm 则 AF 的长为 A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm 3 2013 孝感 如图 在 ABC 中 AB AC a BC b a b 在 ABC 内依次作 CBD A DCE CBD EDF DCE 则 EF 等于 A B C D 4 2013 咸宁 如图 正方形 ABCD 是一块绿化带 其中阴影部分 EOFB GHMN 都是正方形的花圃 已知自 由飞翔的小鸟 将随机落在这块绿化带上 则小鸟在花圃上的概率为 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 A B C D 5 2013 绥化 如图 点 A B C D 为 O 上的四个点 AC 平分 BAD AC 交 BD 于点 E CE 4 CD 6 则 AE 的长为 A 4B 5C 6D 7 6 2013 内江 如图 在 ABCD 中 E 为 CD 上一点 连接 AE BD 且 AE BD 交于点 F S DEF S ABF 4 25 则 DE EC A 2 5B 2 3C 3 5D 3 2 7 2013 黑龙江 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 ABC 45 AD CD CE 平分 ACB 交 AB 于点 E 在 BC 上截取 BF AE 连接 AF 交 CE 于点 G 连接 DG 交 AC 于点 H 过点 A 作 AN BC 垂足为 N AN 交 CE 于点 M 则下列结论 CM AF CE AF ABF DAH GD 平分 AGC 其中正确 的个数是 A 1B 2C 3D 4 8 2013 恩施州 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O E 为 OD 的中点 连接 AE 并延 长交 DC 于点 F 则 DF FC w W w X k b 1 c O m 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 A 1 4B 1 3C 2 3D 1 2 9 2013 德阳 如图 在 O 上有定点 C 和动点 P 位于直径 AB 的异侧 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长 线交于点 Q 已知 O 半径为 tan ABC 则 CQ 的最大值是 A 5B C D 10 2012 岳阳 如图 AB 为半圆 O 的直径 AD BC 分别切 O 于 A B 两点 CD 切 O 于点 E AD 与 CD 相交于 D BC 与 CD 相交于 C 连接 OD OC 对于下列结论 OD2 DE CD AD BC CD OD OC S梯形 ABCD CD OA DOC 90 其中正确的是 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 10 小题 小题 11 2013 昭通 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 4cm F 是弦 BC 的中点 ABC 60 若动点 E 以 1cm s 的速 度从 A 点出发在 AB 上沿着 A B A 运动 设运动时间为 t s 0 t 16 连接 EF 当 BEF 是直角三角形时 t s 的值为 填出一个正确的即可 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 12 2013 南通 如图 在 ABCD 中 AB 6cm AD 9cm BAD 的平分线交 BC 于点 E 交 DC 的延长线于点 F BG AE 垂足为 G BG 4cm 则 EF CF 的长为 cm 13 2013 菏泽 如图所示 在 ABC 中 BC 6 E F 分别是 AB AC 的中点 动点 P 在射线 EF 上 BP 交 CE 于 D CBP 的平分线交 CE 于 Q 当 CQ CE 时 EP BP 14 2013 巴中 如图 小明在打网球时 使球恰好能打过网 而且落在离网 4 米的位置上 则球拍击球的高度 h 为 15 2012 自贡 正方形 ABCD 的边长为 1cm M N 分别是 BC CD 上两个动点 且始终保持 AM MN 当 BM cm 时 四边形 ABCN 的面积最大 最大面积为 cm2 16 2012 宜宾 如图 在 O 中 AB 是直径 点 D 是 O 上一点 点 C 是的中点 弦 CE AB 于点 F 过 点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G 连接 AD 分别交 CF BC 于点 P Q 连接 AC 给出下列结论 BAD ABC GP GD 点 P 是 ACQ 的外心 AP AD CQ CB 其中正确的是 写出所有正确结论的序号 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 17 2012 泉州 在 ABC 中 P 是 AB 上的动点 P 异于 A B 过点 P 的直线截 ABC 使截得的三角形与 ABC 相似 我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线 简记为 P lx x 为自然数 1 如图 A 90 B C 当 BP 2PA 时 P l1 P l2 都是过点 P 的 ABC 的相似线 其中 l1 BC l2 AC 此外 还有 条 2 如图 C 90 B 30 当 时 P lx 截得的三角形面积为 ABC 面积的 18 2012 嘉兴 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 BA BC 点 D 是 AB 的中点 连接 CD 过点 B 作 BG 丄 CD 分别交 CD CA 于点 E F 与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G 连接 DF 给出以下四个结论 点 F 是 GE 的中点 AF AB S ABC 5S BDF 其中正确的结论序号是 19 2012 泸州 如图 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上 点 M1 M2 M3 Mn分别为边 B1B2 B2B3 B3B4 BnBn 1的中点 B1C1M1的面积为 S1 B2C2M2的面积为 S2 BnCnMn的面积为 Sn 则 Sn 用含 n 的式子表示 20 2013 荆州 如图 ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形 在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1 D1 E1在 AB 上 A1 B1分别在 AC BC 上 再在 A1B1C 内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A2B2D2E2 如此下去 操作 n 次 则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 三 解答题 共三 解答题 共 8 小题 小题 21 2013 珠海 如图 在 Rt ABC 中 C 90 点 P 为 AC 边上的一点 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 点 P 对应点 P 当 AP 旋转至 AP AB 时 点 B P P 恰好在同一直线上 此时作 P E AC 于点 E 1 求证 CBP ABP 2 求证 AE CP 3 当 BP 5时 求线段 AB 的长 22 2013 湛江 如图 已知 AB 是 O 的直径 P 为 O 外一点 且 OP BC P BAC 1 求证 PA 为 O 的切线 2 若 OB 5 OP 求 AC 的长 23 2013 宜宾 如图 AB 是 O 的直径 B CAD 1 求证 AC 是 O 的切线 2 若点 E 是的中点 连接 AE 交 BC 于点 F 当 BD 5 CD 4 时 求 AF 的值 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 24 2013 襄阳 如图 ABC 内接于 O 且 AB 为 O 的直径 ACB 的平分线交 O 于点 D 过点 D 作 O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P 过点 A 作 AE CD 于点 E 过点 B 作 BF CD 于点 F 1 求证 DP AB 2 若 AC 6 BC 8 求线段 PD 的长 25 2013 绍兴 在 ABC 中 CAB 90 AD BC 于点 D 点 E 为 AB 的中点 EC 与 AD 交于点 G 点 F 在 BC 上 1 如图 1 AC AB 1 2 EF CB 求证 EF CD 2 如图 2 AC AB 1 EF CE 求 EF EG 的值 26 2013 汕头 如图 O 是 Rt ABC 的外接圆 ABC 90 弦 BD BA AB 12 BC 5 BE DC 交 DC 的 延长线于点 E 1 求证 BCA BAD 2 求 DE 的长 3 求证 BE 是 O 的切线 27 2013 朝阳 如图 直线 AB 与 O 相切于点 A 直径 DC 的延长线交 AB 于点 B AB 8 OB 10 1 求 O 的半径 2 点 E 在 O 上 连接 AE AC EC 并且 AE AC 判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系 并证明你的结 论 3 求弦 EC 的长 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 28 2013 成都 如图 点 B 在线段 AC 上 点 D E 在 AC 同侧 A C 90 BD BE AD BC 1 求证 AC AD CE 2 若 AD 3 CE 5 点 P 为线段 AB 上的动点 连接 DP 作 PQ DP 交直线 BE 于点 Q i 当点 P 与 A B 两点不重合时 求的值 ii 当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时 求线段 DQ 的中点所经过的路径 线段 长 直接写出结果 不必写 出解答过程 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 九年级数学九年级数学 相似三角形相似三角形 提优训练题提优训练题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2013 自贡 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 6 AD 9 BAD 的平分线交 BC 于 E 交 DC 的延长线于 F BG AE 于 G BG 则 EFC 的周长为 A 11B 10C 9D 8 考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 平行四边形的性质 4387773 分析 判断出 ADF 是等腰三角形 ABE 是等腰三角形 DF 的长度 继而得到 EC 的长度 在 Rt BGE 中求 出 GE 继而得到 AE 求出 ABE 的周长 根据相似三角形的周长之比等于相似比 可得出 EFC 的周 长 解答 解 在 ABCD 中 AB CD 6 AD BC 9 BAD 的平分线交 BC 于点 E BAF DAF AB DF AD BC BAF F DAF BAE AEB AB BE 6 AD DF 9 ADF 是等腰三角形 ABE 是等腰三角形 AD BC EFC 是等腰三角形 且 FC CE EC FC 9 6 3 在 ABG 中 BG AE AB 6 BG 4 AG 2 AE 2AG 4 ABE 的周长等于 16 又 CEF BEA 相似比为 1 2 CEF 的周长为 8 故选 D 点评 本题主要考查了勾股定理 相似三角形 等腰三角形的性质 注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比 此题难度较大 2 2013 重庆 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E 在 AD 上 连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F 若 AE 2ED CD 3cm 则 AF 的长为 新 课 标 第 一 网 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 4387773 分析 由边形 ABCD 是平行四边形 可得 AB CD 即可证得 AFE DEC 然后由相似三角形的对应边成比例 求得答案 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AFE DEC AE DE AF CD AE 2ED CD 3cm AF 2CD 6cm 故选 B 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质 此题难度不大 注意掌握数形结合思想的应 用 3 2013 孝感 如图 在 ABC 中 AB AC a BC b a b 在 ABC 内依次作 CBD A DCE CBD EDF DCE 则 EF 等于 X k B 1 c o m A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 4387773 专题 压轴题 分析 依次判定 ABC BDC CDE DFE 根据相似三角形的对应边成比例的知识 可得出 EF 的长度 解答 解 AB AC ABC ACB 又 CBD A ABC BDC 同理可得 ABC BDC CDE DFE AB AC CD CE 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 解得 CD CE DE EF 故选 C 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 本题中相似三角形比较容易找到 难点在于根据对应边成比例求解 线段的长度 注意仔细对应 不要出错 4 2013 咸宁 如图 正方形 ABCD 是一块绿化带 其中阴影部分 EOFB GHMN 都是正方形的花圃 已知自 由飞翔的小鸟 将随机落在这块绿化带上 则小鸟在花圃上的概率为 A B C D 考点 相似三角形的应用 正方形的性质 几何概率 4387773 专题 压轴题 分析 求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率 解答 解 设正方形的 ABCD 的边长为 a 则 BF BC AN NM MC a 阴影部分的面积为 2 a 2 a2 小鸟在花圃上的概率为 故选 C 点评 本题考查了正方形的性质及几何概率 关键是表示出大正方形的边长 从而表示出两个阴影正方形的边长 最后表示出面积 5 2013 绥化 如图 点 A B C D 为 O 上的四个点 AC 平分 BAD AC 交 BD 于点 E CE 4 CD 6 则 AE 的长为 w W w x K b 1 c o M A 4B 5C 6D 7 考点 圆周角定理 圆心角 弧 弦的关系 相似三角形的判定与性质 4387773 分析 根据圆周角定理 CAD CDB 继而证明 ACD DCE 设 AE x 则 AC x 4 利用对应边成比例 可 求出 x 的值 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 解答 解 设 AE x 则 AC x 4 AC 平分 BAD BAC CAD CDB BAC 圆周角定理 CAD CDB ACD DCE 即 解得 x 5 故选 B 点评 本题考查了圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解答本题的关键是得出 CAD CDB 证明 ACD DCE 6 2013 内江 如图 在 ABCD 中 E 为 CD 上一点 连接 AE BD 且 AE BD 交于点 F S DEF S ABF 4 25 则 DE EC A 2 5B 2 3C 3 5D 3 2 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 4387773 分析 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出 DEF BAF 再根据 S DEF S ABF 4 25 即可 得出其相似比 由相似三角形的性质即可求出 DE AB 的值 由 AB CD 即可得出结论 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD EAB DEF AFB DFE DEF BAF S DEF S ABF 4 25 DE AB 2 5 AB CD DE EC 2 3 故选 B 点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质 熟知相似三角形边长的比等于相似比 面积 的比等于相似比的平方是解答此题的关键 7 2013 黑龙江 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 ABC 45 AD CD CE 平分 ACB 交 AB 于点 E 在 BC 上截取 BF AE 连接 AF 交 CE 于点 G 连接 DG 交 AC 于点 H 过点 A 作 AN BC 垂足为 N AN 交 CE 于点 M 则下列结论 CM AF CE AF ABF DAH GD 平分 AGC 其中正确 的个数是 新 课 标 第 一 网 A1B 2C 3D4 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 直角梯形 4387773 专题 压轴题 分析 如解答图所示 结论 正确 证明 ACM ABF 即可 结论 正确 由 ACM ABF 得 2 4 进而得 4 6 90 即 CE AF 结论 正确 证法一 利用四点共圆 证法二 利用三角形全等 结论 正确 证法一 利用四点共圆 证法二 利用三角形全等 解答 解 1 结论 正确 理由如下 1 2 1 CMN 90 2 6 90 6 CMN 又 5 CMN 5 6 AM AE BF 易知 ADCN 为正方形 ABC 为等腰直角三角形 AB AC 在 ACM 与 ABF 中 ACM ABF SAS CM AF 2 结论 正确 理由如下 ACM ABF 2 4 2 6 90 4 6 90 CE AF 3 结论 正确 理由如下 证法一 CE AF ADC AGC 180 A D C G 四点共圆 7 2 2 4 7 4 又 DAH B 45 ABF DAH 证法二 CE AF 1 2 ACF 为等腰三角形 AC CF 点 G 为 AF 中点 w W w x K b 1 c o M 在 Rt ANF 中 点 G 为斜边 AF 中点 NG AG MNG 3 DAG CNG 在 ADG 与 NCG 中 ADG NCG SAS 7 1 又 1 2 4 7 4 又 DAH B 45 ABF DAH 4 结论 正确 理由如下 证法一 A D C G 四点共圆 DGC DAC 45 DGA DCA 45 DGC DGA 即 GD 平分 AGC 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 证法二 AM AE CE AF 3 4 又 2 4 3 2 则 CGN 180 1 90 MNG 180 1 90 3 90 1 2 45 ADG NCG DGA CGN 45 AGC GD 平分 AGC 综上所述 正确的结论是 共 4 个 故选 D 点评 本题是几何综合题 考查了相似三角形的判定 全等三角形的判定与性质 正方形 等腰直角三角形 直 角梯形 等腰三角形等知识点 有一定的难度 解答中四点共圆的证法 仅供同学们参考 8 2013 恩施州 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O E 为 OD 的中点 连接 AE 并延 长交 DC 于点 F 则 DF FC A 1 4B 1 3C 2 3D 1 2 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 4387773 分析 首先证明 DFE BAE 然后利用对应变成比例 E 为 OD 的中点 求出 DF AB 的值 又知 AB DC 即可得出 DF FC 的值 解答 解 在平行四边形 ABCD 中 AB DC 则 DFE BAE O 为对角线的交点 DO BO 又 E 为 OD 的中点 DE DB 则 DE EB 1 3 DF AB 1 3 DC AB DF DC 1 3 DF FC 1 2 故选 D 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质 难度适中 解答本题的关键是根据平行证明 DFE BAE 然后根据对应边成比例求值 9 2013 德阳 如图 在 O 上有定点 C 和动点 P 位于直径 AB 的异侧 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长 线交于点 Q 已知 O 半径为 tan ABC 则 CQ 的最大值是 A 5B C D 考点 圆周角定理 圆内接四边形的性质 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 计算题 压轴题 分析 根据圆周角定理的推论由 AB 为 O 的直径得到 ACB 90 再根据正切的定义得到 tan ABC 然 后根据圆周角定理得到 A P 则可证得 ACB PCQ 利用相似比得 CQ PC PC PC 为直径时 PC 最长 此时 CQ 最长 然后把 PC 5 代入计算即可 解答 解 AB 为 O 的直径 AB 5 ACB 90 tan ABC CP CQ PCQ 90 而 A P ACB PCQ CQ PC PC 当 PC 最大时 CQ 最大 即 PC 为 O 的直径时 CQ 最大 此时 CQ 5 故选 D 点评 本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的 一半 也考查了三角形相似的判定与性质 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 10 2012 岳阳 如图 AB 为半圆 O 的直径 AD BC 分别切 O 于 A B 两点 CD 切 O 于点 E AD 与 CD 相交于 D BC 与 CD 相交于 C 连接 OD OC 对于下列结论 OD2 DE CD AD BC CD OD OC S梯形 ABCD CD OA DOC 90 其中正确的是 A B C D 考点 切线的性质 切线长定理 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 计算题 压轴题 分析 连接 OE 由 AD DC BC 都为圆的切线 根据切线的性质得到三个角为直角 且利用切线长定理得到 DE DA CE CB 由 CD DE EC 等量代换可得出 CD AD BC 选项 正确 由 AD ED OD 为公共 边 利用 HL 可得出直角三角形 ADO 与直角三角形 EDO 全等 可得出 AOD EOD 同理得到 EOC BOC 而这四个角之和为平角 可得出 DOC 为直角 选项 正确 由 DOC 与 DEO 都为直角 再由一对公共角相等 利用两对对应角相等的两三角形相似 可得出三角形 DEO 与三角形 DOC 相似 由 相似得比例可得出 OD2 DE CD 选项 正确 又 ABCD 为直角梯形 利用梯形的面积计算后得到梯形 ABCD 的面积为 AB AD BC 将 AD BC 化为 CD 可得出梯形面积为 AB CD 选项 错误 而 OD 不一定等于 OC 选项 错误 即可得到正确的选项 解答 解 连接 OE 如图所示 AD 与圆 O 相切 DC 与圆 O 相切 BC 与圆 O 相切 DAO DEO OBC 90 DA DE CE CB AD BC CD DE EC AD BC 选项 正确 在 Rt ADO 和 Rt EDO 中 Rt ADO Rt EDO HL AOD EOD 同理 Rt CEO Rt CBO EOC BOC 又 AOD DOE EOC COB 180 2 DOE EOC 180 即 DOC 90 选项 正确 DOC DEO 90 又 EDO ODC EDO ODC 即 OD2 DC DE 选项 正确 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 而 S梯形 ABCD AB AD BC AB CD 选项 错误 由 OD 不一定等于 OC 选项 错误 则正确的选项有 故选 A 点评 此题考查了切线的性质 切线长定理 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 以及梯形面 积的求法 利用了转化的数学思想 熟练掌握定理及性质是解本题的关键 X k B 1 c O m 二 填空题 共二 填空题 共 10 小题 小题 11 2013 昭通 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 4cm F 是弦 BC 的中点 ABC 60 若动点 E 以 1cm s 的速 度从 A 点出发在 AB 上沿着 A B A 运动 设运动时间为 t s 0 t 16 连接 EF 当 BEF 是直角三角形时 t s 的值为 4s 填出一个正确的即可 考点 圆周角定理 垂径定理 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 压轴题 开放型 分析 根据圆周角定理得到 C 90 由于 ABC 60 BC 4cm 根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AB 2BC 8cm 而 F 是弦 BC 的中点 所以当 EF AC 时 BEF 是直角三角形 此时 E 为 AB 的中点 易 得 t 4s 当从 A 点出发运动到 B 点名 再运动到 O 点时 此时 t 12s 也可以过 F 点作 AB 的垂线 点 E 点运动到垂足时 BEF 是直角三角形 解答 解 AB 是 O 的直径 C 90 而 ABC 60 BC 4cm AB 2BC 8cm F 是弦 BC 的中点 当 EF AC 时 BEF 是直角三角形 此时 E 为 AB 的中点 即 AE AO 4cm t 4 s 故答案为 4s 点评 本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的 一半 也考查了圆周角定理的推论以及含 30 度的直角三角形三边的关系 12 2013 南通 如图 在 ABCD 中 AB 6cm AD 9cm BAD 的平分线交 BC 于点 E 交 DC 的延长线于点 F BG AE 垂足为 G BG 4cm 则 EF CF 的长为 5 cm 考点 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 勾股定理 平行四边形的性质 4387773 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 专题 压轴题 新 课 标 第 一 网 分析 首先 由于 AE 平分 BAD 那么 BAE DAE 由 AD BC 可得内错角 DAE BEA 等量代换后可证 得 AB BE 即 ABE 是等腰三角形 根据等腰三角形 三线合一 的性质得出 AE 2AG 而在 Rt ABG 中 由勾股定理可求得 AG 的值 即可求得 AE 的长 然后 利用平行线分线段成比例的性质分别得出 EF FC 的长 即可得出答案 解答 解 AE 平分 BAD DAE BAE 又 AD BC BEA DAE BAE AB BE 6cm EC 9 6 3 cm BG AE 垂足为 G AE 2AG 在 Rt ABG 中 AGB 90 AB 6cm BG 4cm AG 2 cm AE 2AG 4cm EC AD 解得 EF 2 cm FC 3 cm EF CF 的长为 5cm 故答案为 5 点评 本题考查了平行四边形的性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力 同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查 难度适中 13 2013 菏泽 如图所示 在 ABC 中 BC 6 E F 分别是 AB AC 的中点 动点 P 在射线 EF 上 BP 交 CE 于 D CBP 的平分线交 CE 于 Q 当 CQ CE 时 EP BP 12 考点 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 三角形中位线定理 4387773 专题 压轴题 分析 延长 BQ 交射线 EF 于 M 根据三角形的中位线平行于第三边可得 EF BC 根据两直线平行 内错角相等 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 可得 M CBM 再根据角平分线的定义可得 PBM CBM 从而得到 M PBM 根据等角对等边可得 BP PM 求出 EP BP EM 再根据 CQ CE 求出 EQ 2CQ 然后根据 MEQ 和 BCQ 相似 利用相似三 角形对应边成比例列式求解即可 X k B 1 c O m 解答 解 如图 延长 BQ 交射线 EF 于 M E F 分别是 AB AC 的中点 EF BC M CBM BQ 是 CBP 的平分线 PBM CBM M PBM BP PM EP BP EP PM EM CQ CE EQ 2CQ 由 EF BC 得 MEQ BCQ 2 EM 2BC 2 6 12 即 EP BP 12 故答案为 12 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 角平分线的定义 平行线的性质 延长 BQ 构造出相似三角形 求 出 EP BP EM 并得到相似三角形是解题的关键 也是本题的难点 14 2013 巴中 如图 小明在打网球时 使球恰好能打过网 而且落在离网 4 米的位置上 则球拍击球的高度 h 为 1 5 米 考点 相似三角形的应用 4387773 分析 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DE BC 可知 ADE ACB 根据其相似比即可求解 解答 解 DE BC ADE ACB 即 则 h 1 5m 故答案为 1 5 米 新 课 标 第 一 网 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 点评 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用 解题时关键是找出相似的三角形 然后根据对应边成比例列 出方程 建立适当的数学模型来解决问题 15 2012 自贡 正方形 ABCD 的边长为 1cm M N 分别是 BC CD 上两个动点 且始终保持 AM MN 当 BM cm 时 四边形 ABCN 的面积最大 最大面积为 cm2 考点 相似三角形的判定与性质 二次函数的最值 正方形的性质 4387773 专题 压轴题 分析 设 BM xcm 则 MC 1 xcm 当 AM MN 时 利用互余关系可证 ABM MCN 利用相似比求 CN 根 据梯形的面积公式表示四边形 ABCN 的面积 用二次函数的性质求面积的最大值 解答 解 设 BM xcm 则 MC 1 xcm AMN 90 AMB NMC 90 NMC MNC 90 AMB MNC 又 B C ABM MCN 则 即 解得 CN x 1 x S四边形 ABCN 1 1 x 1 x x2 x 0 当 x cm 时 S四边形 ABCN最大 最大值是 2 cm2 故答案是 X k B 1 c o m 点评 本题考查了二次函数的性质的运用 关键是根据已知条件判断相似三角形 利用相似比求函数关系式 16 2012 宜宾 如图 在 O 中 AB 是直径 点 D 是 O 上一点 点 C 是的中点 弦 CE AB 于点 F 过 点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G 连接 AD 分别交 CF BC 于点 P Q 连接 AC 给出下列结论 BAD ABC GP GD 点 P 是 ACQ 的外心 AP AD CQ CB 其中正确的是 写出所有正确结论的序号 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 考点 切线的性质 圆周角定理 三角形的外接圆与外心 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 计算题 压轴题 分析 连接 BD 由 GD 为圆 O 的切线 根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到 GDP ABD 再由 AB 为圆的 直径 根据直径所对的圆周角为直角得到 ACB 为直角 由 CE 垂直于 AB 得到 AFP 为直角 再由一对 公共角 得到三角形 APF 与三角形 ABD 相似 根据相似三角形的对应角相等可得出 APF 等于 ABD 根据等量代换及对顶角相等可得出 GPD GDP 利用等角对等边可得出 GP GD 选项 正确 由直径 AB 垂直于弦 CE 利用垂径定理得到 A 为的中点 得到两条弧相等 再由 C 为的中点 得到两条弧 相等 等量代换得到三条弧相等 根据等弧所对的圆周角相等可得出 CAP ACP 利用等角对等边可得 出 AP CP 又 AB 为直径得到 ACQ 为直角 利用等角的余角相等可得出 PCQ PQC 得出 CP PQ 即 P 为直角三角形 ACQ 斜边上的中点 即为直角三角形 ACQ 的外心 选项 正确 利用等弧所对的圆周 角相等得到一对角相等 再由一对公共角相等 得到三角形 ACQ 与三角形 ABC 相似 根据相似得比例得 到 AC2 CQ CB 连接 CD 同理可得出三角形 ACP 与三角形 ACD 相似 根据相似三角形对应边成比例 可得出 AC2 AP AD 等量代换可得出 AP AD CQ CB 选项 正确 解答 解 BAD 与 ABC 不一定相等 选项 错误 连接 BD 如图所示 GD 为圆 O 的切线 GDP ABD 又 AB 为圆 O 的直径 ADB 90 CE AB AFP 90 ADB AFP 又 PAF BAD APF ABD ABD APF 又 APF GPD GDP GPD GP GD 选项 正确 直径 AB CE A 为的中点 即 新 课 标 第 一 网 又 C 为的中点 CAP ACP AP CP 又 AB 为圆 O 的直径 ACQ 90 PCQ PQC PC PQ AP PQ 即 P 为 Rt ACQ 斜边 AQ 的中点 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 P 为 Rt ACQ 的外心 选项 正确 连接 CD 如图所示 B CAD 又 ACQ BCA ACQ BCA 即 AC2 CQ CB ACP ADC 又 CAP DAC ACP ADC 即 AC2 AP AD AP AD CQ CB 选项 正确 则正确的选项序号有 故答案为 点评 此题考查了切线的性质 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 以及三角形的外接圆与圆心 熟练掌握 性质及定理是解本题的关键 17 2012 泉州 在 ABC 中 P 是 AB 上的动点 P 异于 A B 过点 P 的直线截 ABC 使截得的三角形与 ABC 相似 我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线 简记为 P lx x 为自然数 1 如图 A 90 B C 当 BP 2PA 时 P l1 P l2 都是过点 P 的 ABC 的相似线 其中 l1 BC l2 AC 此外 还有 1 条 2 如图 C 90 B 30 当 或 或 时 P lx 截得的三角形面积为 ABC 面积的 考点 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 压轴题 分析 1 过点 P 作 l3 BC 交 AC 于 Q 则 APQ ABC l3是第 3 条相似线 2 按照相似线的定义 找出所有符合条件的相似线 总共有 4 条 注意不要遗漏 解答 解 1 存在另外 1 条相似线 如图 1 所示 过点 P 作 l3 BC 交 AC 于 Q 则 APQ ABC 故答案为 1 w W w x K b 1 c o M 2 设 P lx 截得的三角形面积为 S S S ABC 则相似比为 1 2 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 如图 2 所示 共有 4 条相似线 第 1 条 l1 此时 P 为斜边 AB 中点 l1 AC 第 2 条 l2 此时 P 为斜边 AB 中点 l2 BC 第 3 条 l3 此时 BP 与 BC 为对应边 且 第 4 条 l4 此时 AP 与 AC 为对应边 且 故答案为 或 或 点评 本题引入 相似线 的新定义 考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算 难点在于找出所有的 相似线 不要遗漏 18 2012 嘉兴 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 BA BC 点 D 是 AB 的中点 连接 CD 过点 B 作 BG 丄 CD 分别交 CD CA 于点 E F 与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G 连接 DF 给出以下四个结论 点 F 是 GE 的中点 AF AB S ABC 5S BDF 其中正确的结论序号是 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角形 4387773 专题 压轴题 分析 首先根据题意易证得 AFG CFB 根据相似三角形的对应边成比例与 BA BC 继而证得正确 由点 D 是 AB 的中点 易证得 BC 2BD 由等角的余角相等 可得 DBE BCD 即可得 AG AB 继 而可得 FG BF 即可得 AF AC 又由等腰直角三角形的性质 可得 AC AB 即可求得 AF AB 则可得 S ABC 6S BDF 解答 解 在 Rt ABC 中 ABC 90 AB BC AG AB X k B 1 c O m AG BC AFG CFB BA BC 故 正确 ABC 90 BG CD DBE BDE BDE BCD 90 DBE BCD AB CB 点 D 是 AB 的中点 BD AB CB tan BCD 在 Rt ABG 中 tan DBE FG FB GE BF 点 F 不是 GE 的中点 故 错误 AFG CFB AF CF AG BC 1 2 AF AC AC AB AF AB 故 正确 BD AB AF AC S ABC 6S BDF 故 错误 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 故答案为 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 直角三角形的性质以及三角函数等知识 此题难度适中 解题的关 键是证得 AFG CFB 注意掌握数形结合思想与转化思想的应用 19 2012 泸州 如图 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上 点 M1 M2 M3 Mn分别为边 B1B2 B2B3 B3B4 BnBn 1的中点 B1C1M1的面积为 S1 B2C2M2的面积为 S2 BnCnMn的面积为 Sn 则 Sn 用含 n 的式子表示 新 课 标 第 一 网 考点 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 压轴题 规律型 分析 由 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上 点 M1 M2 M3 Mn分别为边 B1B2 B2B3 B3B4 BnBn 1的中点 即可求得 B1C1Mn的面积 又由 BnCn B1C1 即可得 BnCnMn B1C1Mn 然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方 求得答案 解答 解 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上 点 M1 M2 M3 Mn分别为边 B1B2 B2B3 B3B4 BnBn 1的中点 S1 B1C1 B1M1 1 S B1C1M2 B1C1 B1M2 1 S B1C1M3 B1C1 B1M3 1 S B1C1M4 B1C1 B1M4 1 S B1C1Mn B1C1 B1Mn 1 BnCn B1C1 BnCnMn B1C1Mn S BnCnMn S B1C1Mn 2 2 即 Sn 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 Sn 故答案为 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 正方形的性质以及直角三角形面积的公式 此题难度较大 注意掌 握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键 20 2013 荆州 如图 ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形 在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1 D1 E1在 AB 上 A1 B1分别在 AC BC 上 再在 A1B1C 内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A2B2D2E2 如此下去 操作 n 次 则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是 考点 相似三角形的判定与性质 等腰直角三角形 4387773 新 课 标 第 一 网 专题 规律型 分析 求出第一个 第二个 第三个内接正方形的边长 总结规律可得出第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长 解答 解 A B 45 AE1 A1E A1B1 B1D1 D1B 第一个内接正方形的边长 AB 1 同理可得 第二个内接正方形的边长 A1B1 AB 第三个内接正方形的边长 A2B2 AB 故可推出第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长 AB 故答案为 点评 本题考查了相似三角形的判定与性质 等腰直角三角形的性质 解答本题的关键是求出前几个内接正方形 的边长 得出一般规律 三 解答题 共三 解答题 共 8 小题 小题 21 2013 珠海 如图 在 Rt ABC 中 C 90 点 P 为 AC 边上的一点 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 点 P 对应点 P 当 AP 旋转至 AP AB 时 点 B P P 恰好在同一直线上 此时作 P E AC 于点 E 1 求证 CBP ABP 2 求证 AE CP 3 当 BP 5时 求线段 AB 的长 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 考点 全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 4387773 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 根据旋转的性质可得 AP AP 根据等边对等角的性质可得 APP AP P 再根据等角的余角相等证 明即可 2 过点 P 作 PD AB 于 D 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CP DP 然后求出 PAD AP E 利用 角角边 证明 APD 和 P AE 全等 根据全等三角形对应边相等可得 AE DP 从而得 证 3 设 CP 3k PE 2k 表示出 AE CP 3k AP AP 5k 然后利用勾股定理列式求出 P E 4k 再求出 ABP 和 EPP 相似 根据相似三角形对应边成比例列式求出 P A AB 然后在 Rt ABP 中 利用勾股定理 列式求解即可 解答 1 证明 AP 是 AP 旋转得到 AP AP http www xk APP AP P C 90 AP AB CBP BPC 90 ABP AP P 90 又 BPC APP 对顶角相等 CBP ABP 2 证明 如图 过点 P 作 PD AB 于 D CBP ABP C 90 CP DP P E AC EAP AP E 90 又 PAD EAP 90 PAD AP E 在 APD 和 P AE 中 APD P AE AAS AE DP AE CP 3 解 设 CP 3k PE 2k 则 AE CP 3k AP AP 3k 2k 5k 在 Rt AEP 中 P E 4k C 90 P E AC CBP BPC 90 EP P EPP 90 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网不用注册 免费下载 新课标第一网系列资料 BPC EPP 对顶角相等 CBP EP P 又 BAP P EP 90 ABP EPP 即 解得 P A AB 在 Rt ABP 中 AB2 P A2 BP 2 即 AB2 AB2 5 2 解得 AB 10 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 旋转的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质 勾股 定理 相似三角形的判定与性质 2 作辅助线构造出过渡线段 DP 并得到全等三角形是解题的关键 3