2011年高考《随机变量及其分布列》试题

1 20112011 年高考年高考 随机变量及其分布列随机变量及其分布列 试题精选试题精选 一 选择题一 选择题 1 浙江卷理科浙江卷理科 9 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随机的并排摆放 到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 答案答案 B 解析解析 由古典概型的概率公式得 5 22 1 5 5 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 A AAAAAA P 2 2 辽宁卷理科辽宁卷理科 5 5 从 1 2 3 4 5 中任取 2 各不同的数 事件A 取到的 2 个数之和为偶数 事件 B 取到的 2 个数均为偶数 则P B A A B C D 1 8 1 4 2 5 1 2 3 3 全国新课标卷理科全国新课标卷理科 4 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个 小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法 两位同学个参加一个小组共有种方法 933 所以 甲乙两位同学参加同一个小组的概率为 3 1 9 3 点评 本题考查排列组合 概率的概念及其运算和分析问题 解决问题的能力 4 广东理 广东理 6 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军 乙队需要再赢两局 才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 A 1 2 B 3 5 C 2 3 D 3 4 解析解析 D D 由题得甲队获得冠军有两种情况 第一局胜或第一局输第二局胜 所以甲队获得冠军的概率由题得甲队获得冠军有两种情况 第一局胜或第一局输第二局胜 所以甲队获得冠军的概率 所以选所以选 D D 4 3 2 1 2 1 2 1 P 5 湖北卷理科湖北卷理科 7 7 如图 用 K A1 A2三类不同的元件连成一个系统 当 K 正常工作且 A1 A2至少有一个 正常工作时 系统正常工作 已知 K A1 A2正常工作的概率依次为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概 率为 2 A 0 960B 0 864C 0 720D 0 576 答案 B 解析 系统正常工作概率为 所以选 B 1 2 0 90 8 10 8 0 90 80 80 864C 6 陕西卷理科陕西卷理科 10 10 甲乙两人一起去 2011 西安世园会 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A B C D 1 36 1 9 5 36 1 6 答案 D 解析 各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览有种 且等可能 最后 11111111 66554433 C C C C C C C C 一小时他们同在一个景点有种 则最后一小时他们同在一个景点的概率是 1111111 6554433 C C C C C C C 故选 D 1111111 6554433 11111111 66554433 1 6 C C C C C C C p C C C C C C C C 7 四川卷理科四川卷理科 12 12 在集合 1 2 3 4 5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量 a a a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形 记所有作成的平行四 边形的个数为n 其中面积不超过4的平行四边形的个数为m 则 m n A 4 15 B 1 3 C 2 5 D 2 3 答案 B 解析 基本事件 其中面积为 2 的 2 6 2 1 2 3 2 5 4 1 4 5 4 3 23 515nC 从选取个 平行四边形的个数 其中面积为 4 的平行四边形的为 2 3 4 5 2 1 4 3 2 1 4 1 m 3 2 5 故 2 3 2 5 2 1 2 3 51 153 m n 8 福建卷理科福建卷理科 4 4 如图 矩形 ABCD 中 点 E 为边 CD 的中点 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 答案 C 3 二 填空题二 填空题 1 浙江卷理科浙江卷理科 15 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业 生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率为 且三个公司是否让其面试是相互独 2 3 p 立的 记为该毕业生得到面试得公司个数 若 则随机变量的数学期望 1 0 12 P E 答案 5 3 解析 的取值为 0 1 2 3 2 21 0 1 1 312 Pp 1 2 p 1 0 12 P 2 212 1121 14 1 1 1 1 1 1 323 2232 212 P 2 1121 12 1 15 2 1 1 1 3 2232 23 2 212 P 2 1 12 3 3 2 212 P 故 14525 0123 121212123 E 2 江西卷理科江西卷理科 12 12 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若此点到圆 心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 则去打篮球 否则 在家看书 则小 1 2 1 4 波周末不在家看书的概率为 答案 13 16 解析 小波周末不在家看书包含两种情况 一是去看电影 二是去打篮球 所以小波周末不在家看书的概 率为 1 416 13 16 3 湖南卷理科湖南卷理科 15 15 如图 4 EFGH 是以 O 为圆心 半径为 1 的圆内接正方形 将一颗豆子 随机地扔到该圆内 用 A 表示事件 豆子落在正方形 EFGH 内 B 表示事件 豆子落在 扇形 OHE 阴影部分 内 则 1 2 AP ABP 答案 2 AP 4 1 ABP 解析 1 是几何概型 2 是条件概率 2 圆 正 S S AP 4 1 AP ABP ABP 评析 本小题主要考查几何概型与条件概率的计算 4 湖北卷理科湖北卷理科 12 12 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶 则至少取到 1 瓶 已过保质期的概率为 结果用最简分数表示 答案 解析 因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30 3 27 瓶 故其概率为 28 145 2 27 2 30 28 1 145 C P C 4 5 重庆卷理科重庆卷理科 13 13 将一枚均匀的硬币投掷 6 次 则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 解析 硬币投掷 6 次 有三类情况 正面次数比反面次数多 反面次数比正面次数多 正 11 32 面次数而后反面次数一样多 概率为 的概率显然相同 故 的概率为 33 3 6 115 2216 C 5 1 11 16 232 6 安徽卷江苏安徽卷江苏 5 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 答案 1 3 解析 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 所有可能的取法有 6 种 满足 其中一个数是另 一个的两倍 的所有可能的结果有 1 2 2 4 共 2 种取法 所以其中一个数是另一个的两倍的概率是 21 63 7 福建卷理科福建卷理科 13 13 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机 取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 答案 3 5 8 上海卷理科上海卷理科 9 9 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望 尽管 处无法完全看清 且两个 处字迹模糊 但能肯 定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案 答案 E 2 9 上海卷理科上海卷理科 12 12 随机抽取 9 个同学中 至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 默认每 月天数相同 结果精确到 答案 0 0010 985 三 解答题三 解答题 1 全国卷理科全国卷理科 18 18 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 X 表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求的期望 解析 设该车主购买乙种保险的概率为 由题 解得p 1 0 5 0 3p 0 6p 设所求概率为 则故该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中 1 P 1 1 1 0 5 1 0 6 0 8 P 的 l 种的概率为 0 8 321 P x x 5 甲乙两种保险都不购买的概率为 1 0 8 0 2 设甲乙两种保险都不购买的车主数为 则 B 100 0 2 100 0 220E 答 该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率为 0 8 的期望值是 20 2 四川卷理科四川卷理科 18 18 本着健康 低碳的生活理念 租自行车骑游的人越来越多 某自行车租车点的收费标 准是每车每次租不超过两小时免费 超过两小时的收费标准为 2 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 有人独立来该租车点则车骑游 各租一车一次 设甲 乙不超过两小时还车的概率分别为 1 1 4 2 两小时 以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 1 2 4 两人租车时间都不会超过四小时 求出甲 乙所付租车费用相同的概率 求甲 乙两人所付的租车费用之和为随机变量 求的分布列与数学期望 E 解析 1 所付费用相同即为元 0 2 4 设付 0 元为 付 2 元为 付 4 元为 1 1 11 4 28 P 2 1 11 2 48 P 3 1 11 4 416 P 则所付费用相同的概率为 123 5 16 PPPP 2 设甲 乙两个所付的费用之和为 可为 0 2 4 6 8 1 0 8 1 11 15 2 4 42 216 1 11 11 15 4 4 42 42 416 1 11 13 6 4 42 416 1 11 8 4 416 P P P P P 分布列 0 2468 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 55917 84822 E 6 3 山东卷理科山东卷理科 18 18 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 A B C 进行围棋比赛 甲对 A 乙对 B 丙对 C 各 一盘 已知甲胜 A 乙胜 B 丙胜 C 的概率分别为 0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 求红队至少两名队员获胜的概率 用表示红队队员获胜的总盘数 求的分布列和数学期望 E 解析 红队至少两名队员获胜的概率为 0 55 0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 取的可能结果为 0 1 2 3 则 0 1 0 35 0 P 0 4 0 5 0 5 1 P 0 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 4 0 15 2 P 0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 3 P 0 6 0 5 0 5 所以的分布列为 0123 P0 10 350 40 15 数学期望 0 0 1 1 0 35 2 0 4 3 0 15 1 6 E 4 天津卷理科天津卷理科 16 16 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有 3 个白球 2 个黑球 乙箱子里装 有 1 个白球 2 个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球 若摸出 的白球不少于 2 个 则获奖 每次游戏结束后将球放回原箱 求在一次游戏中 i 摸出 3 个白球的概率 ii 获奖的概率 求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 X E X 解析解析 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量的分布列 互斥事件和相互独立 事件等基础知识 考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力 i 设 在一次游戏中摸出 i 个白球 为事件 则 0 1 2 3 i A i 21 32 3 22 53 1 5 C C P A C C ii 设 在一次游戏中获奖 为事件 B 则 B 23 AA 又 且互斥 所以 11122 32232 2 22 53 1 2 C C CC C P A C C 23 A A 23 117 2510 P BP AP A 由题意可知的所有可能取值为 0 1 2 X P 0 P 1 P 2 X 2 79 1 10100 X 1 2 7721 1 101050 C X 2 749 10100 所以的分布列是X 7 X012 P 9 100 21 50 49 100 的数学期望 X E X 9 0 100 21 1 50 49 2 100 7 5 5 江西卷理科江西卷理科 16 16 某饮料公司招聘了一名员工 现对其进行一项测试 以便确定工资级别 公司准备了 两种不同的饮料共 8 杯 其颜色完全相同 并且其中 4 杯为 A 饮料 另外 4 杯为 B 饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 若 4 杯都选对 则月工资定 为 3500 元 若 4 杯选对 3 杯 则月工资定为 2800 元 否则月工资定为 2100 元 令 X 表示此人选对 A 饮 料的杯数 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 1 求 X 的分布列 2 求此员工月工资的期望 解析 1 X 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 则 所以所求的分布列为 4 44 4 8 0 1 2 3 4 ii C C P xii C X01234 P 1 70 16 70 36 70 16 70 1 70 2 设 Y 表示该员工的月工资 则 Y 的所有可能取值为 3500 2800 2100 相对的概率分别为 1 70 16 70 53 70 所以 11653 3500280021002280 707070 E Y 所以此员工工资的期望为 2280 元 本题考查排列 组合的基础知识及概率分布 数学期望 6 重庆卷理科重庆卷理科 17 17 某市公租房房屋位于 A B C 三个地区 设每位申请人只申请其中一个片区的房屋 且 申请其中任一个片区的房屋是等可能的 求该市的任 4 位申请人中 若有 2 人申请 A 片区房屋的概率 申请的房屋在片区的个数的分布列与期望 解析 所有可能的申请方式有种 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有种 从而 4 3 22 4 2C 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 22 4 4 28 327 C 的所有可能值为 1 2 3 又 4 31 1 327 p 24 3 4 22 14 2 327 C p 23 43 4 4 3 39 C A p 8 综上知 的分布列为 1 2 3 p 1 27 14 27 4 9 从而有 114465 123 2727927 E 7 湖南卷理科湖南卷理科 18 18 某商店试销某种商品 20 天 获得如下数据 日销售量 件 0123 频数 1595 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时由该商品 3 件 当天营业结束 后检查存货 若发现存量少于 2 件 则当天进货补充至 3 件 否则不进货 将频率视为概率 求当天商店不进货的概率 记为第二天开始营业时该商品视为件数 求的分布列和数学期 XX 望 解 当天商店不进货 P 件 当天商品销售量为0P 件 当天销售量为1P 10 3 20 5 20 1 由题意知 的可能取值为 2 3 X 2XP 件 当天销售量为1P 4 1 20 5 3XP 件 当天商品销售量为0P 件 当天销售量为2P 件 当天销售量为3P 4 3 20 5 20 9 20 1 故的分布列为X X23 P 4 1 4 3 所以的数学期望为 X 4 11 4 3 3 4 1 2 EX 9 评析 本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法 求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法 以 及互斥事件概率的求法 8 陕西卷理科陕西卷理科 20 20 如图 A 地到火车站共有两条路径 和 据统计 通过两条路径所用的时间互 1 L 2 L 不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 时间 分钟 1020 2030 3040 4050 5060 的频率 1 L 0 10 20 30 20 2 的频率 2 L 00 10 40 40 1 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 用 X 表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 的选择方案 求 X 的分 布列和数学期望 解析 表示事件 甲选择路径时 40 分钟内赶到火车站 表示事件 乙选择路径 i A i L i B 时 50 分钟内赶到火车站 用频率估计相应的概率可得 i L1 2i 1 0 1 0 20 30 6P A 甲应选择 2 0 1 0 40 5P A 12 P AP A 1 L 乙应选择 1 0 1 0 20 30 20 8P B 2 0 1 0 40 40 9P B 12 P BP B 2 L A B 分别表示针对 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 知 又由题意知 A B 独立 0 6P A 0 9P B 0 P X 0 4 0 10 04P ABP A P B 1 P XP ABABP A P BP A P B 0 4 0 90 6 0 10 42 X 的分布列为 0 6 0 90 54P XP ABP A P B X012 P0 040 420 54 0 0 04 1 0 422 0 541 5EX 9 辽宁卷理科辽宁卷理科 19 19 某农场