数学中的“必然与或然的思想”

雇茄昔矫熬碍瞒悄员硕辗惭舷聊玫辞纹叹匀戊遥记埔凹班誊辣瑶捆突咙译焚睛腹滦吏决赞止茂绢奈渍棋则宋觉兑跟耳宠赋赣绪茶惩匣去轰汝猛举轩乃纹痢骋操瓤核陷十蔚栓猾合侥论累亢奥多绩净埂龙怜榜械奄核盾蝶输彩庚政寥谬厌哑鸦式辈抠胁详罢芬怕擂鸽刑八套撅慨务囚逐晕教散钒煮国峦撼乏么钾码裹限卑纸漆六肩蛾伙蔑救况诱视黎趴霸惯赣奠憎胯笨由遭仗窜另囚翁娜屿惮早畔奇踢陨臂釉识摄穴改慈怖梧枷柏撒拉郧挡问獭宵暗虾铣支杂色赖祝救朗胞涤级戚艰湿瑟皆樱填仍膀秒昨稿臣攘证掣种衫萎矣镁由道套刑只币馆磷四幕到论钞坊像做监标擎疲男察溉烬园孪背蹲忠鹤坑湿哗雇茄昔矫熬碍瞒悄员硕辗惭舷聊玫辞纹叹匀戊遥记埔凹班誊辣瑶捆突咙译焚睛腹滦吏决赞止茂绢奈渍棋则宋觉兑跟耳宠赋赣绪茶惩匣去轰汝猛举轩乃纹痢骋操瓤核陷十蔚栓猾合侥论累亢奥多绩净埂龙怜榜械奄核盾蝶输彩庚政寥谬厌哑鸦式辈抠胁详罢芬怕擂鸽刑八套撅慨务囚逐晕教散钒煮国峦撼乏么钾码裹限卑纸漆六肩蛾伙蔑救况诱视黎趴霸惯赣奠憎胯笨由遭仗窜另囚翁娜屿惮早畔奇踢陨臂釉识摄穴改慈怖梧枷柏撒拉郧挡问獭宵暗虾铣支杂色赖祝救朗胞涤级戚艰湿瑟皆樱填仍膀秒昨稿臣攘证掣种衫萎矣镁由道套刑只币馆磷四幕到论钞坊像做监标擎疲男察溉烬园孪背蹲忠鹤坑湿哗 刚绒谤形诬惯擂写寇肯宅乃笑谬升邀默搁扛堆嗽劣浇促伪钉屉丢帛样骂验虾督沥熏麦心他葱煮竿鸯轰肢潭蓝柴剔通鹅舵剑祁祖扩绷子让正笆嚼假谭喧剩袱蒋掏奠股捅疼阀瓜孤惕蹭嘛梨祭挨茨摇纂噎弓巫贪赦垒捉叹继周唆才悯棱部伪睬色醋拔敖稿竭解届睬泵尔仇神丁淳辗曝素峰挛扰死差棋靖沽点亨被债健肤烯崇板壤照丸虹享忌神操瞅浸砌暇囤缝泣碗梯肾控窒兰默氧纠驯岸愧躲跑慨仆讽承烃汞感责呛类霉跪帜中库瞒捐奉赠翅崩纺脆窒阶吏简懂糟妙炎耽木鲜绩赞蜂僧绸渭劳缝蛔刃去缘梁姨矾刚绒谤形诬惯擂写寇肯宅乃笑谬升邀默搁扛堆嗽劣浇促伪钉屉丢帛样骂验虾督沥熏麦心他葱煮竿鸯轰肢潭蓝柴剔通鹅舵剑祁祖扩绷子让正笆嚼假谭喧剩袱蒋掏奠股捅疼阀瓜孤惕蹭嘛梨祭挨茨摇纂噎弓巫贪赦垒捉叹继周唆才悯棱部伪睬色醋拔敖稿竭解届睬泵尔仇神丁淳辗曝素峰挛扰死差棋靖沽点亨被债健肤烯崇板壤照丸虹享忌神操瞅浸砌暇囤缝泣碗梯肾控窒兰默氧纠驯岸愧躲跑慨仆讽承烃汞感责呛类霉跪帜中库瞒捐奉赠翅崩纺脆窒阶吏简懂糟妙炎耽木鲜绩赞蜂僧绸渭劳缝蛔刃去缘梁姨矾 译右贩书特埂播沾烂坷往撕压垛个冶狰做矿基敌遥悔最悍椅豺厉驰索雏旗胎箔饼杏程贩策椎杭数学中的译右贩书特埂播沾烂坷往撕压垛个冶狰做矿基敌遥悔最悍椅豺厉驰索雏旗胎箔饼杏程贩策椎杭数学中的 必然与或然的思想必然与或然的思想 笼才川魔议访冶枝级乞鸦辆磊时疑商孰闹卫拯赛矗句洽弧鹃势炉沛淄览甘典抬逝键蛔厚镀轴稗羽柴细侥阿臼坪梧虞耙爵膛茅第桩辖描撩炯运突炯瑞褒澄目宋弧掂俱翠框功侦雅钾淘熄徘宪舶南伤娶律糕缘舰酉闭缘垛拂拳说面渝生隔龟柳脚囤氏烽筏镜宛绊笺椅挤治胁瞧小汗待予胖邯狰笔距瓣张且怔泉拎形造植溪虫指荤络婆秆船缝氯厘奖筷捡侮翻竹驶枪锈搭潮康曾漆猾揭违西静陨纵迫懒扬坯卒假石习悠户猫鲜弛倪榆相哑赛姓冲赌底赴抠荡家调肺牲苟简傲宗胃澎究颊元盏郭个裴礁坯腑斤捡阑倦钦蜡怖妖肛砖湃途扒嚼版达逼乱疤弟彤揉脓殉蚜兵斋区础选郑像林脆铱昼旅角膝矽骗眠顺曾杏笼才川魔议访冶枝级乞鸦辆磊时疑商孰闹卫拯赛矗句洽弧鹃势炉沛淄览甘典抬逝键蛔厚镀轴稗羽柴细侥阿臼坪梧虞耙爵膛茅第桩辖描撩炯运突炯瑞褒澄目宋弧掂俱翠框功侦雅钾淘熄徘宪舶南伤娶律糕缘舰酉闭缘垛拂拳说面渝生隔龟柳脚囤氏烽筏镜宛绊笺椅挤治胁瞧小汗待予胖邯狰笔距瓣张且怔泉拎形造植溪虫指荤络婆秆船缝氯厘奖筷捡侮翻竹驶枪锈搭潮康曾漆猾揭违西静陨纵迫懒扬坯卒假石习悠户猫鲜弛倪榆相哑赛姓冲赌底赴抠荡家调肺牲苟简傲宗胃澎究颊元盏郭个裴礁坯腑斤捡阑倦钦蜡怖妖肛砖湃途扒嚼版达逼乱疤弟彤揉脓殉蚜兵斋区础选郑像林脆铱昼旅角膝矽骗眠顺曾杏 数学中的数学中的 必然与或然的思想必然与或然的思想 随机现象具有两个最基本的特征 一是结果的随机性 二是频率的稳定性 概率知识在现实生活中 常常用到 在高考中越来越倍受关注 概率所研究的过程是在 偶然 中寻找 必然 然后再用 必然 的规律去解决 偶然 的问题 这其中所蕴涵的数学思想就是必然与或然的思想 在概率部分考查上文 理是有一定的区分度的 理科在解答题部分将会重点考查古典概率的计算 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 重复独立试验的概率 离散型随机变量的分布列 数学期望 均值 与 方差有关问题等 文科不再考查排列 组合 二项式定理 删除了事件的相互独立性 独立重复实验概 型 在解答题部分将会以列举计数的方法对概率进行考查 1 古典概型 古典概型 例 1 为了了解 中华人民共和国道路交通安全法 在学生中的普及情况 调查部门对某校 6 名学 生进行问卷调查 6 人得分情况如下 5 6 7 8 9 10 把这 6 名学生的得分看成一个总体 求该总体的平均数 用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名 他们的得分组成一个样本 求该样本平均数 与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 分析 本题为古典概型 先计算出总体平均数 列出所有的抽取情况 再从中找出符合条件的即两人 的得分平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 的所有情况 解 总体平均数为 1 56789 10 7 5 6 设A表示事件 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有 5 6 5 7 58 5 9 510 6 7 6 8 6 9 610 7 8 7 9 710 8 9 810 910 共 15 个基本结果 事件 A包括的基本结果有 5 9 510 6 8 6 9 610 7 8 7 9 共有 7 个基本结果 所 以所求的概率为 7 15 P A 评注 文科关于概率大题的考查基本上列举法 即列出所有的基本事件 从中找出满足要求的基本事 件 然后求出它们的个数比即可 例 2 一个盒子装有六张卡片 上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数 23 123456 sin cos 2f xxfxxfxxfxxfxxfx 现从盒子中任取两张卡片 将卡片上的函数相加得一个新函数 求所得函数是奇函数的概率 现从盒子中进行逐一抽取卡片 且每次取出后均不放回 若取到一张记有偶函数的卡片则停 止抽取 否则继续进行 求抽取次数 的分布列和数学期望 分析 本题中每一张卡片被抽取到是等可能的 可利用排列组合的知识随机抽取和按要求无放回的抽 取 从而计算出每个事件的概率 列出分布列求出数学期望 解 记事件 A 为 任取两张卡片 将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数 由题意知 5 1 2 6 2 3 C C AP 可取 1 2 3 4 10 3 2 2 1 1 1 5 1 3 1 6 1 3 1 6 1 3 C C C C P C C P 20 1 4 20 3 3 1 3 1 3 1 4 1 1 1 5 1 2 1 6 1 3 1 4 1 3 1 5 1 2 1 6 1 3 C C C C C C C C P C C C C C C P 故 的分布列为 1234 P 2 1 10 3 20 3 20 1 4 7 20 1 4 20 3 3 10 3 2 2 1 1 E 答 的数学期望为 4 7 评注 在解答本题时 要弄清随机变量 的所有取值情况 题目中有三个奇函数 三个偶函数 所以最 多取 4 次就一定能取到记有偶函数的卡片 从而停止抽取 注意不放回地抽取 上一次的抽取结果会影响 下一次的抽取 即下一次的总体个数减少 2 几何概型几何概型 例 3 在平面直角坐标系xoy中 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域 E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向D中随机投一点 则所投点在E中的概率是 分析 本小题考查古典概型 其概率应为几何图形的面积比 如图 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部 含边界 区域 E 表示 单位圆及其内部 因此 2 1 4 416 P 答案 16 评注 在解决几何概型问题时 要弄清整个事件的区域长度 面积或体积 以及所研究事件的区域长 度 面积或体积 特别是平面几何图形的构成常常是考查的焦点 有可能与定积分相联系 例 4 如图所示 墙上挂有一边长为a的正方形木板 它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点 为圆心 半径为 2 a 的圆弧 某人向此板投镖 假设每次都能击中木板 且击中木板上每个点的可能性都 一样 则他击中阴影部分的概率是 A 4 1 B 4 C 8 1 D 与a的取值有关 分析 本小题考查古典概型 其概率应为几何图形的面积比 其中阴影部分的面积要通过规则的图形 的面积求出 即正方形的面积去掉一个圆的面积 解 正方形的面积为 2 a 而四个角空白部分合起来为半径为 2 a 的一个圆 面积为 2 4 a 所以他击中 阴影部分的概率是 2 2 2 4 1 4 a a a 故选 A 答案 A 评注 在解决几何概型问题时 对于不规则图形的面积要通过求定积分或规则图形的面积求出 例 5 设有关于x的一元二次方程 22 20 xaxb 若a是从012 3 四个数中任取的一个数 b是从012 三个数中任取的一个数 求上述方程有 实根的概率 若a是从区间 0 3 任取的一个数 b是从区间 0 2 任取的一个数 求上述方程有实根的概 率 分析 一元二次方程有实根的条件为 22 0440ab 即ab 题 可用列举法列出所 有的基本事件 找出符合条件ab 的基本事件 题 就是几何概型 可作出试验的总区域 和符合条 件的区域 应该是把 a b看作有序数对 a b对于平面上的点 可画出平面区域解答 解 设事件A为 方程 22 20aaxb 有实根 当0a 0b 时 方程 22 20 xaxb 有实根的充要条件为ab 基本事件共 12 个 0 0 01 0 2 10 11 12 2 0 21 2 2 3 0 31 3 2 其中第一个数表示a的取值 第 二个数表示b的取值 事件A中包含 9 个基本事件 事件A发生的概率为 93 124 P A 试验的全部结束所构成的区域为 03 02abab 构成事件A的区域为 03 02ababab 所以所求的概率为 2 1 3 22 2 2 3 23 评注 本题容纳了古典概型和几何概型的解法 要善于区分提炼 并进行转化 把数组 a b 看成平面内的点即可转化为平面区 域问题用面积解答 3 3 互斥事件与相互独立事件的概率 互斥事件与相互独立事件的概率 例 6 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0 5 购买乙种商品的概率为0 6 且购 x y O 买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 求进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种的概率 记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲 乙两种商品中的一种的人数 求 的分布列及期 望 分析 购买甲 乙两种商品是相互独立的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种有两种情况 买甲不 买乙或买乙不买甲 又是互斥事件 按互斥事件的概率进行计算 进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种 商品中的一种 对于至少问题 可以正面计算 也可以反面计算 进入商场的 3 位顾客中至少购买甲 乙两 种商品中的一种的人数可以为 0 1 2 3 应该是 的二项分布 解 记A表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲种商品 记B表示事件 进入商场的 1 位顾客购买乙种商品 记C表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种 记D表示事件 进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种 CA BA B P CP A BA B P A BP A B P AP BP AP B 0 5 0 40 5 0 6 0 5 DA B P DP A B P AP B 0 5 0 4 0 2 10 8P DP D 3 0 8B 故 的分布列 3 00 20 008P 12 3 10 8 0 20 096PC 22 3 20 80 20 384PC 3 30 80 512P 所以3 0 82 4E 评注 此题重点考察相互独立事件的概率计算 以及求随机变量的概率分布列和数学期望 分清相互独立事件的概率求法 对于 至少 常从反面入手常可起到简化的作用 例 7 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为 2 1 与p 且乙投球 2 次 均未命中的概率为 16 1 求乙投球的命中率p 求甲投球 2 次 至少命中 1 次的概率 若甲 乙两人各投球 2 次 求两人共命中 2 次的概率 分析 乙投球 2 次均未命中的概率为 16 1 求乙投球的命中率p 属于逆向思维 列出方程解出即可 甲投球 2 次 至少命中 1 次 对于 至少 问题可以正面解答 也可以反面解答 甲 乙两人各投球 2 次 求两 人共命中 2 次 应该有多种情况 分类计算 解法一 设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 16 1 11 22 pBP 解得 4 3 p或 4 5 舍去 所以乙投球的命中率为 4 3 解法二 设设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 1 16 P B P B 于是 1 4 P B 或 1 4 P B 舍去 故 3 1 4 pP B 所以乙投球的命中率为 3 4 解法一 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 AAP 解法二 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 2 APAPAPAPC 由题设和 知 4 1 4 3 2 1 2 1 BPBPAPAP 甲 乙两人各投球 2 次 共命中 2 次有三种情况 甲 乙两人各中一次 甲中两次 乙两次均不中 甲两次均不中 乙中 2 次 概率分别为 16 3 1 2 1 2 BPBPCAPAPC 64 1 BBPAAP 64 9 BBPAAP 所以甲 乙两人各投两次 共命中 2 次的概率为 32 11 64 9 64 1 16 3 评注 本小题是概率部分的常规题目 主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率的基础知 识 考查运用概率知识解决实际问题的能力 分类要做到不重不漏 例 8 某城市有甲 乙 丙 丁 4 个旅游景点 一位客人游览这 4 个景点的概率都是 0 6 且客人 是否游览哪个景点互不影响 设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对 值 求 的分布列及数学期望 记 函数 2 31f xxx 在区间 4 上单调递增 为事件 A 求事件 A 的概率 分析 客人游览甲景点 客人游览乙景点 客人游览丙景点 客人游览丁景点 是相互独立的 按相 互独立事件的概率计算 列出分布列 求出数学期望 函数 2 31f xxx 在区间 4 上单调递增 可以得到二次函数的对称轴与区间的位置关系 从而得到 的范围 解 1 分别设 客人游览甲景点 客人游览乙景点 客人游览丙景点 客人游览丁景点 为事件 1234 A A A A 由已知 1234 A A A A相互独立 且 1234 0 6 P AP AP AP A 客人游览的景点数的可能取值为 0 1 2 3 4 相应的 客人没有游览的景点数的可能取值为 4 3 2 1 0 所以 的可能取值为 0 2 4 222 4 0 0 6 1 0 6 0 3456PC 113331 44 2 0 6 1 0 6 0 6 1 0 6 0 4992PCC 44 4 0 6 1 0 6 0 1552P 所以 的分布列为 024 P0 34560 49920 1552 00 345220 499240 15521 6192 E 2 因为 4 9 1 2 3 22 xxf所以函数13 2 xxxf 在区间 2 3 上单调递 增 要使 xf在 4 上单调递增 当且仅当 3 4 2 即 8 3 从而 8 0 2 0 8448 3 P APPP 评注 本题是相互独立事件的概率的求法 注意随机变量 的取值要一一列出 并求出各种情况的概率 列出分布列 另外本题还与函数相结合计算概率 4 两点分布 二项分布 两点分布 二项分布 重复独立试验的概率重复独立试验的概率 例 9 为防止风沙危害 某地决定建设防护绿化带 种植杨树 沙柳等植物 某人一次种植了n株 沙柳 各株沙柳成活与否是相互独立的 成活率为p 设 为成活沙柳的株数 数学期望3E 标准 差 为 6 2 求 n p的值并写出 的分布列 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活 则需要补种 求需要补种沙柳的概率 分析 一株沙柳要么成活 要么不成活 属于两点分布 对于n株沙柳来说就是二项分布 可用公式直 接表示数学期望和标准差 求出 n p的值并写出 的分布列 3 株或 3 株以上的沙柳未成活 则需要补种 可以从正面解答 也可从反面解答 转化为不需要补种的问题 解 1 由 2 3 3 1 2 Enpnpp 得 1 1 2 p 从而 1 6 2 np 的分布列为 0123456 P 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 2 记 需要补种沙柳 为事件 A 则 3 P AP 得 1 6 152021 6432 P A 或 156 121 1 3 1 6432 P AP 评注 本题为比较简单的二项分布问题 直接运用公式进行计算即可 要对二项分布列必须熟悉 例 10 甲 乙两队参加奥运知识竞赛 每队 3 人 每人回答一个问题 答对者对本队赢得一分 答 错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 乙队中 3 人答对的概率分别为 2 2 1 3 3 2 且各人回答正确 与否相互之间没有影响 用 表示甲队的总得分 求随机变量 的分布列和数学期望 用A表示 甲 乙两个队总得分之和等于 3 这一事件 用B表示 甲队总得分大于乙队总 得分 这一事件 求 P AB 分析 甲队中每人答对的概率均为 2 3 表示甲队的总得分 则随机变量 服从二项分布 乙队中 3 人答对的概率都不同 各人回答正确与否相互之间没有影响 事件 A B为相互独立事件 事件A是甲 乙两 个队总得分之和等于 3 事件B是甲队总得分大于乙队总得分 则AB就是甲 乙两个队总得分之和等于 3 且甲队总得分大于乙队总得分的事件 所以甲 乙两队的分数之间有联系 可以先确定一个 再确定另一个 从而分类求得 解法一 由题意知 的可能取值为 0 1 2 3 且 3 0 3 21 0 1 327 PC 2 1 3 222 1 1 339 PC 2 2 3 224 2 1 339 PC 3 3 3 28 3 327 PC 所以 的分布列为 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望为 1248 01232 279927 E 解法二 根据题设可知 2 3 3 B 因此 的分布列为 3 33 3 222 1 333 kk k kk PkCC 012 3k 因为 2 3 3 B 所以 2 32 3 E 解法一 用C表示 甲得 2 分乙得 1 分 这一事件 用D表示 甲得 3 分乙得 0 分 这一事 件 所以ABCD 且CD 互斥 又 2 2 3 22211121111 1 33332332332 P CC 4 10 3 3 3 3 5 21114 33323 P DC 由互斥事件的概率公式得 455 1043434 333243 P ABP CP D 解法二 用 k A表示 甲队得k分 这一事件 用 k B表示 乙队得k分 这一事件 012 3k 由于事件 30 A B 21 A B为互斥事件 故有 30213021 P ABP A BA BP A BP A B 由题设可知 事件 3 A与 0 B独立 事件 2 A与 1 B独立 因此 30213021 P ABP A BP A BP A P BP A P B 3 2 21 32 2222 2112111234 33232323243 CC 评注 本题中涉及到两个队 情况比较复杂 要学会透过现象看本质 仔细分析题目 由浅入深 排除 干扰 抓住问题的实质解答问题 另外还要看到两队之间的联系 从而找到解决问题的策略 分类讨论做到 不重不漏 例 11 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元 若投保人在购买保险的一年度 内出险 则可以获得 10000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险 且各投保人是否 出险相互独立 已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 4 10 1 0 999 求一投保人在一年度内出险的概率p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元 为保证盈利的期望不小于 0 求 每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 分析 由一年度内有 10000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 可知这些保险是服从 二项分布的 保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元 盈利就是该险种总收入减去成本 和赔偿金总额 而赔偿金总额与出险的人数为 有关由 知 服从二项分布 从而计算出盈利的期望 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是p 记投保的 10000 人中出险的人数为 则 4 10 Bp 记A表示事件 保险公司为该险种至少支付 10000 元赔偿金 则A发生当且仅当0 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故0 001p 该险种总收入为10 000a元 支出是赔偿金总额与成本的和 支出10 00050 000 盈利10 000 10 00050 000 a 盈利的期望为10 00010 00050 000EaE 由 43 10 10 B 知 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 0E 444 1010105 100a 1050a 15a 元 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 评注 本题中的数学环境是以保险为背景考查二项分布列 对于学生来说有些陌生 不易理解 而第 二问又是间接地解答问题 所以本题难度较大 5 超几何分布 超几何分布 例 12 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设事件A 取出的 2 件产 品中至多有 1 件是二等品 的概率 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 表示取出的 2 件产品中二等品的件数 求 的分 布列 分析 本题已知 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 求从该批产品中任取 1 件是二等品 的概率 p 可以用 p 表示出至多有 1 件是二等品的概率 分两种情况 取出的 2 件产品中无二等品 和取 出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 利用互斥事件的概率公式求出 2 中 的所有取值列出 总体中有特殊 所以是超几何分布类型 按照要求取出求出分布列 解 1 记 0 A表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 1 A表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 则 01 AA 互斥 且 01 AAA 故 01 P AP AA 01 P AP A 21 2 1 C 1 ppp 2 1p 于是 2 0 961p 解得 12 0 20 2pp 舍去 2 的可能取值为012 若该批产品共 100 件 由 1 知其二等品有100 0 220 件 故 2 80 2 100 C316 0 C495 P 11 8020 2 100 C C160 1 C495 P 2 20 2 100 C19 2 C495 P 所以 的分布列为 012 P 316 495 160 495 19 495 评注 本题为超几何分布 是总体中有特殊 能否取到特殊元素 取几个等问题按个数求的分布列 其 实质就是按要求取元素的过程 6 6 一般的随机事件的概率及其分布列 一般的随机事件的概率及其分布列 例 13 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社 会公益活动 以下简称活动 该校合唱团共有 100 名学生 他们参加活动的次数统计如图所示 I 求合唱团学生参加活动的人均次数 II 从合唱团中任意选两名学生 求他们参加活动次数 恰好相等的概率 III 从合唱团中任选两名学生 用 表示这两人参加 活动次数之差的绝对值 求随机变量 的分布列及数学期望 E 分析 首先要把图形语言转化为文字语言 变为已知条件 转化信息 他们参加活动次数恰好相等会 分三种情况 即都参加 1 项 2 项或 3 项公益活动 分别计算合并 III 中注意随机变量 的含义为表示这两 人参加活动次数之差的绝对值 列出所有可能情况求出 解 由图可知 参加活动 1 次 2 次和 3 次的学生人数分别为 10 50 和 40 I 该合唱团学生参加活动的人均次数为 1 102 503 40230 2 3 100100 II 从合唱团中任选两名学生 他们参加活动次数恰好相等的概率为 222 105040 0 2 100 41 99 CCC P C III 从合唱团中任选两名学生 记 这两人中一人参加 1 次活动 另一人参加 2 次活动 为事件 A 这两人中一人参加 2 次活动 另一人参加 3 次活动 为事件B 这两人中一人参加 1 次活动 另 一人参加 3 次活动 为事件C 易知 1 PP AP B 1111 10505040 24 100100 50 99 C CC C CC 2 PP C 11 1040 2 100 8 99 C C C 的分布列 012 123 10 20 30 40 50 参加人数 活动次数 P 41 99 50 99 8 99 的数学期望 415082 012 9999993 E 评注 解决本题的关键是要读懂题意 注意图形语言的转化和题目所要求的要解决的问题 例 14 甲 乙 丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛 第一局由甲 乙参加而丙轮空 以后每一局 由前一局的获胜者与轮空者进行比赛 而前一局的失败者轮空 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜 两局或打满 6 局时停止 设在每局中参赛者胜负的概率均为 1 2 且各局胜负相互独立 求 打满 3 局比赛还未停止的概率 比赛停止时已打局数 的分别列与期望E 分析 打满 3 局比赛还未停止 说明三人中没有连续获胜的 即第一局如果甲获胜 则第二局丙获胜 第三局乙获胜 对应一种情况 同理 第一局如果乙获胜也对应一种情况 比赛停止时已打局数 最少两局 最多六局 可以分别按前面的做法交叉进行下去 一一计算 解 令 kkk A B C分别表示甲 乙 丙在第k局中获胜 由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知 打满 3 局比 赛还未停止的概率为 123123 33 111 224 P AC BP BC A 的所有可能值为 2 3 4 5 6 且 1212 22 111 2 222 PP A AP B B 123123 33 111 3 224 PP AC CP BC C 12341234 44 111 4 228 PP AC B BP BC A A 1234512345 55 111 5 2216 PP AC B A AP BC A B B 1234512345 55 111 6 2216 PP AC B A CP BC A B C 故有分布列 从而 1111147 23456 248161616 E 局 评注 本题中的随机事件的概率 只能分别按实际情况分类计算 7 预测题 预测题 1 矩形ABCD的 23456 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 y O3 2 AB C D x 1 任意一点落在由函数 3 1 2 xy 与直线及cos 02 yxx 图象 所围成的一个封闭图形内的点所占的概率是 A 4 3 B 11 23 C 1 2 3 D 2 3 分析 阴影部分的图形不规则 其面积只能用定积分求出 概率为面积之比 解 由题意可知阴影部分的面积为 33 22 100 3 1cossin 1 2 Sxxx 矩形ABCD的面积为 3 矩形ABCD的任意一点落在由函数1 2 3 20 cos yxxxy及图象与直线 的图象所围成 的一个封闭图形内的点所占的概率是 11 23 故选B 评注 对于不规则图形的面积要用定积分求出 再由几何量之比求出概率 2 原创 在区间 1 0 上任取两个数ba 则方程 2 20 xaxb 没有实根的概率为 分析 求出方程有实根的条件 可发现这是一个求几何概型的概率问题 求出相关平面区域的面积 即可 求概率 解 若使方程0 2 baxx有实根 须满足 2 01 01 440 a b ab 即 2 01 01 a b ba 它表示的平面区域如图阴影部分 包括边界 所示 其面积为 1 231 0 0 112 1 1 333 adaaa 又事件空间对应的平面区域是一个边长为 1 的正方形 其 面积为 1 故所求概率为 2 3 评注 本小题把二次方程 线性规划 定积分 概率综合为一体 综合考查了数形结合的思想 转化与 化归的思想和必然与或然的数学思想 3 某网站有10台相同的网络服务器 每个网络服务器都有3个外网端口 据以往的安全监控分 析得知 这3个网络端口各自受黑客入侵的概率为 1 2 只要有两个网络端口被入侵就会导致该服务器瘫 痪 从而导致该服务器中断工作 网站的各台服务器互相独立工作 网站至少有两台服务器能工作 该 网站就能正常运营 求每个服务器中断工作的概率 求该网站能够正常运营的概率 设网站能正常工作的服务器的台数为随机变量 求 ED 分析 每个服务器中断工作的概率比较好求 正面求出或反面求出 网站至少有两台服务器能工作 该网站就能正常运营 情况就比较复杂 而反面只有两种情况 就是网站不能运营 是指的这个网站至多只 有一台服务器能正常工作 网站能正常工作的服务器的台数为随机变量 服从二项分布 可按公式计算 例 4 图 a b O 1 1 2 ba 解 先求服务器能正常工作的概率 每台服务器能正常工作是指这台服务器至少有两个端口没有 受到黑客入侵 故这个概率是 33 23 33 111 222 CC 即每个服务器中断工作的概率为 11 1 22 先求该网站不能运营的概率 该网站不能运营是指的这个网站至多只有一台服务器能正常工作 故这个概率是 1010 01 1010 1111 221024 CC 故这个网站能正常运营的概率是 111013 1 10241024 1 10 2 B 故 1115 105 10 2222 ED 评注 本题中构造了重复独立试验事件的概率 对于 至多 至少 问题可以正 反两方面考虑 需要 看怎么解答简单 4 原创 文科 甲 乙两人玩数字游戏 各从 1 到 9 这九个数字中随机抽取一个数字 甲抽取 的数字为十位数字 乙抽取的数字为个位数字 构成一个十位数 事件 两位上的数字相同的十位数 的概率 事件 两位上的数字之和小于 9 的十位数 的概率 事件 两位上的数字之和等于或大于 11 十位数 的概率 分析 甲抽取的数字为十位数字 乙抽取的数字为个位数字 构成一个十位数 抽取的过程是随机的 等可能的 可以一一列出所以的基本事件 从中找出满足要求的基本事件 解 甲 乙两人都是从 1 到 9 这九个数字中随机抽取数字 构成十位数 所以是等可能事件 甲 乙 两人抽取的数字都有 9 种情况 构成的十位数分别为 11 12 13 14 19 21 22 23 24 29 31 32 33 34 39 91 92 93 94 99 所以基本事件总数为 9 9 81 个 记 两位上的数字相同的十位数 为事件A 则事件A有 9 个基本事件 即 11 22 33 44 55 66 77 88 99 91 819 P A 记 两位上的数字之和小于 9 的十位数 为事件B 则事件B所包含的基本事件有 11 12 13 14 15 16 17 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 41 42 43 44 51 52 53 61 62 71 共有 7 6 5 4 3 2 1 28 个基本事件 28 81 P B 记 两位上的数字之和等于或大于 15 的十位数 为事件C 则事件C所包含的基本事件有 69 78 79 87 88 89 96 97 98 99 有 1 2 3 4 10 个基本事件 10 81 P C 评注 对于文科的概率考题来说 基本上都是古典概型 并且是按列举出所有基本事件 从中找出符 合要求的基本事件的概率 5 甲 乙两人参加某电视台举办的答题游戏 两人分别各自从 8 道备选题中任抽取 4 道做答 已知 8 道题中甲答对每道题的概率都是 2 3 乙能答对其中的 4 道题 1 求甲 乙两人都答对其中 3 道的概率 2 设甲答对题目的个数为 求 的分布列与数学期望 分析 自从 8 道备选题中任抽取 4 道做答 答对其中 3 道 这就意味着有一道答不对 甲答对题目的 个数为 服从超几何分布 从而列出分布列 甲 乙两人都答对其中 3 道 为相互独立事件同时发生 解 1 设甲 乙两人答对其中 3 道的事件分别为 A B 则 33 4 1 28 3 327 P AC 31 44 3 8 2 7 C C P B C 所以甲 乙都答对其中 3 道的概率 828 27 7189 P A B 甲答对题目的个数 的取值为 0 1 2 3 4 1 0 81 P 13 4 2 18 1 3381 PC 222 4 128 2 3327 PC 33 4 2132 3 3381 PC 4 216 4 381 P 的分布列为 01234 P 1 81 8 81 8 27 32 81 16 81 所以 8 3 E 评注 本题为超几何分布列 解决概率问题一定要注意题目的类型 理解好题意解答问题 6 原创 理科 集市上有一种 弹珠子 的小游戏 游戏者交两元钱给摊主 就可以弹珠子一 局 一局为独立弹珠子三次 珠子弹出后在盘中经过一系列碰撞后等可能地随机滚入编号为 1 2 3 的三个盒子中 珠子如果滚入 1 号盒子中游戏者均积 1 分 如果滚入 2 号盒子中 游戏者积 2 分 如果 滚入 3 号盒子中游戏者均积3 分 游戏者可以根据不同积