复杂抽屉原理

奥数周周练 复杂抽屉原理 1 1 证明 任给 12 个不同的两位数 其中一定存在着这样的两个数 它们的差是个位与十位数字相同 的两位数 2 从 1 2 3 49 50 这 50 个数中取出若干个数 使其中任意两个数的和都不能被 7 整除 则 最多能取出多少个数 3 有 49 个小孩 每人胸前有一个号码 号码从 1 到 49 各不相同 现在请你挑选若干个小孩 排成一 个圆圈 使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于 100 那么你最多能挑选出多少个孩子 4 某班有 16 名学生 每个月教师把学生分成两个小组 问最少要经过几个月 才能使该班的任意两 个学生总有某个月份是分在不同的小组里 5 上体育课时 21 名男 女学生排成 3 行 7 列的队形做操 老师是否总能从队形中划出一个长方形 使得站在这个长方形 4 个角上的学生或者都是男生 或者都是女生 如果能 请说明理由 如果不能 请举出实例 奥数周周练 复杂抽屉原理 2 6 8 个学生解 8 道题目 1 若每道题至少被 5 人解出 请说明可以找到两个学生 每道题至少被过两个学生中的一个解 出 2 如果每道题只有 4 个学生解出 那么 1 的结论一般不成立 试构造一个例子说明这点 7 试卷上共有 4 道选择题 每题有 3 个可供选择的答案 一群学生参加考试 结果是对于其中任何 3 人 都有一个题目的答案互不相同 问参加考试的学生最多有多少人 8 求从 1 到 1994 中不能被 5 整除 也不能被 6 或 7 整除的自然数的个数 例 20 一次数学竞赛出了 10 道选择题 评分标准为 基础分 10 分 每道题答对得 3 分 答错扣 1 分 不答不得分 问 要保证至少有 4 人得分相同 至少需要多少人参加竞赛 例 20 巩固 第十届 小数报 数学竞赛决赛 一次测验共有 10 道问答题 每题的评分标准是 回 答完全正确 得 5 分 回答不完全正确 得 3 分 回答完全错误或不回答 得 0 分 至少 人参加 这次测验 才能保证至少有 3 人得得分相同 奥数周周练 复杂抽屉原理 3 例 24 巩固 小学数学奥林匹克决赛 从 1 2 3 4 1988 1989 这些自然数中 最多可以取 个数 其中每两个数的差不等于 4 例 25 北京市第十一届 迎春杯 刊赛 从 1 2 3 4 1994 这些自然数中 最多可以取 个数 能使这些数中任意两个数的差都不等于 9 例 27 从 1 3 5 7 97 99 中最多可以选出多少个数 使得选出的数中 每一个数都不是 另一个数的倍数 例 29 从 1 2 3 49 50 这 50 个数中取出若干个数 使其中任意两个数的和都不能被 7 整 除 则最多能取出多少个数 例 34 有苹果和桔子若干个 任意分成堆 能否找到这样两堆 使苹果的总数与桔子的总数都是5 偶数 奥数周周练 复杂抽屉原理 4 例 36 在一个矩形内任意放五点 其中任意三点不在一条直线上 证明 在以这五点为顶点的三角 形中 至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一 例 37 在一个直径为厘米的圆内放入七个点 请证明一定有两个点的距离不大于 厘米21 例 37 巩固 平面上给定 17 个点 如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于 1 证明 在这 17 个点中必有 9 个点可以落在同一半径为 1 的圆内 例 38 9 条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形 而且它们的面积之比为 2 3 证明 这 9 条直线中至少有 3 条通过同一个点 N M Q P H G F E D C B A 奥数周周练 复杂抽屉原理 5 例 39 如图 能否在 行 列的方格表的每一个空格中分别填上 这三个数 使得各行各列88123 及对角线上 个数的和互不相同 并说明理由 8 例 39 巩固 在的方格纸中 每个方格纸内可以填上四个自然数中的任意一个 填满后对8 8 14 每个 田 字形内的四个数字求和 在这些和中 相同的和至少有几个 22 例 39 巩固 用数字 1 2 3 4 5 6 填满一个的方格表 如右图所示 每个小方格只填其中66 一个数字 将每个正方格内的四个数字的和称为这个正方格的 标示数 问 能否给出一22 22 种填法 使得任意两个 标示数 均不相同 如果能 请举出一例 如果不能 请说明理由 例 39 巩固 能否在 10 行 10 列的方格表的每个空格中分别填上 1 2 3 这三个数之一 使得大正方 形的每行 每列及对角线上的 10 个数字之和互不相同 对你的结论加以说明 奥数周周练 复杂抽屉原理 6 例 40 巩固 南京市第三届 兴趣杯 少年数学邀请赛决赛 D 卷第 12 题 如右图 四ABCD 只小盘拼成一个环形 每只小盘中放若干糖果 每次可取出 1 只 或 3 只 或 4 只盘中的全部糖果 也 可取出 2 只相邻盘中的全部糖果 这样取出的糖果数最多有几种 请说明理由 D C B A 例 41 巩固 8 位小朋友围着一张圆桌坐下 在每位小朋友面前都放着一张纸条 上面分别写着这 8 位小朋友的名字 开始时 每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字 请证明 经过适当转动圆桌 一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字 例 42 巩固 2009 年清华附中入学测试题 如图 在时钟的表盘上任意作个的扇形 使得每9120 一个扇形都恰好覆盖个数 且每两个扇形覆盖的数不全相同 求证 一定可以找到 个扇形 恰好43 覆盖整个表盘上的数 并举一个反例说明 作 个扇形将不能保证上述结论成立 8 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 奥数周周练 复杂抽屉原理 7 例 43 2008 年第六届 走进美妙的数学花园 中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛 走美 主试委员会为三 八年级准备决赛试题 每个年级道题 并且至少有 道题与其他各年级128 都不同 如果每道题出现在不同年级 最多只能出现 次 本届活动至少要准备 道决赛试3 题 例 44 巩固 2008 年第八届 春蕾杯 小学数学邀请赛初赛 有红 黄 白三种颜色的小球各个 10 混合放在一个布袋中 一次至少摸出 个 才能保证有个小球是同色的 5 例 45 第六届 小数报 数学竞赛初赛 有形状 长短都完全一样的红筷子 黑筷子 白筷子 黄筷子 紫筷子和花筷子各 25 根 在黑暗中至少应摸出 根筷子 才能保证摸出的筷子至少有 8 双 每两根花筷子或两根同色的筷子为一双 例 47 两个布袋各有 12 个大小一样的小球 且都是红 白 蓝各 4 个 从第一袋中拿出尽可能少 的球 但至少有两种颜色一样的放入第二袋中 再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中 使第 一袋中每种颜色的球不少于 3 个 这时 两袋中各有多少个球 奥数周周练 复杂抽屉原理 8 例 48 巩固 一个口袋里分别有 4 个红球 7 个黄球 8 个黑球 为保证取出的球中有 6 个球颜色相 同 则至少要取多少个小球 例 49 2008 年中国台湾小学数学竞赛选