2010-2011学年高中数学 复习资料二 新人教版必修3

用心 爱心 专心 数学必修数学必修 3 复习资料复习资料 2 概率概率与统计与统计 高考选高考选题题 三 解答题 1 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学 测量他们的身 高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图如图 7 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学 求身高为 176cm 的同学被抽中的概率 解析 1 由茎叶图可知 甲班身高集中于160179 之间 而乙班身高集中于 170180 之间 因此乙班平均身高高于甲班 2 158 162 163 168 168 170 171 179 179 182 170 10 x 甲班的样本方差为 2222 2 1 158 170 162 170163 170168 170168 170 10 22222 170 170171 170179 170179 170182 170 57 3 设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有 181 173 181 176 181 178 181 179 179 173 179 176 179 178 178 173 178 176 176 173 共 10 个基本事件 而事件 A 含有 4 个基本事件 42 105 P A 2 根据空气质量指数API 为整数 的不同 可 将空气质量分级如下表 用心 爱心 专心 对某城市一年 365 天 的空气质量进行监测 获得的 API 数据按照区间 50 0 100 50 150 100 200 150 250 200 300 250 进行分组 得到频率分布直方 图如图 5 1 求直方图中x的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率 结果用分数表示 已知7812557 12827 365 2 1825 3 1825 7 9125 123 9125 8 1825 3 573365 解 1 由图可知 150 x 365 2 1825 3 1825 7 50 9125 123 150 9125 8 1825 3 解得 18250 119 x 2 219 50 365 2 50 18250 119 365 3 该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 5 3 365 219 50 365 2 50 18250 119 则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 5 2 5 3 1 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 78125 76653 5 3 5 2 5 3 5 2 1 166 7 077 7 CC 3 在1 2 3 9 这9个自然数中 任取3个数 I 求这3个数中恰有1个是偶数的概率 II 设 为这3个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为1 2 3 则有两组相邻的数 1 2和2 3 此时 的值是2 求随机变量 的分布列及其数学期望E 解析 I 记 这 3 个数恰有一个是偶数 为事件 A 则 12 45 3 9 10 21 C C P A C w w w k s 5 u c o m 用心 爱心 专心 II 随机变量 的取值为0 1 2 的分布列为 012 P 5 12 1 2 1 12 所以 的数学期望为 5112 012 122123 E w w w k s 5 u c o m 4 2009 北京卷文 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红灯的 概率都是 1 3 遇到红灯时停留的时间都是 2min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 解析解析 本题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率的基础知识 考查运 用概率知识解决实际问题的能力 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等于 事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B 这名学 生在上学路上遇到k次红灯的事件 0 1 2 k Bk 则由题意 得 4 0 216 381 P B 1322 12 1424 12321224 33813381 P BCP BC 由于事件 B 等价于 这名学生在上学路上至多遇到两次红灯 事件 B 的概率为 012 8 9 P BP BP BP B 5 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红 灯的概率都是 1 3 遇到红灯时停留的时间都是 2min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 用心 爱心 专心 解析解析 本题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率知识 考查离散型随 机变量的分布列和期望等基础知识 考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等于 事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 由题意 可得 可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事件 该学生在路上遇到k次红灯 k 0 1 2 3 4 4 4 12 20 1 2 3 4 33 kk k PkCk 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是 16328818 02468 81812781813 E 6 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投第三次 某同学在 A 处的命中率 q1为 0 25 在 B 处的命中率为 q2 该同学选择先在 A 处投一球 以 后都在 B 处投 用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 P1 P2 P3 P4 1 求 q2的值 2 求随机变量 的数学期望 E 3 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 用心 爱心 专心 0 25 0 75P A P B q2 2 1P Bq 根据分布列知 0 时 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q q 2 0 8 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1 q 2 1 5 q2 2 1 q 0 24 当 3 时 P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 当 4 时 P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 0 24 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 0 24 0 01 0 48 0 24 随机变量 的数学期望0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 命题立意 本题主要考查了互斥事件的概率 相互独立事件的概率和数学期望 以及运用概 率知识解决问题的能力 7 一汽车厂生产 A B C 三类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 某月的产量如下表 单 位 辆 轿车 A轿车 B轿车 C 舒适型100150z 标准型300450600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 其中有 A 类轿车 10 辆 用心 爱心 专心 1 求 z 的值 2 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 将该样本看成一个总体 从 中任取 2 辆 求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆 经检测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这 8 辆轿车的得分看作一个总体 从中任取一个数 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 解 1 设该厂本月生产轿车为 n 辆 由题意得 5010 100300n 所以 n 2000 z 2000 100 300 150 450 600 2 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车 因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 所以 400 10005 m 解得 m 2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车 3 辆标准型轿车 分别记作 S1 S2 B1 B2 B3 则从中任取 2 辆的所有基本事件为 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 B1 B2 B2 B3 B1 B3 共 10 个 其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 所以从中任取 2 辆 至少有 1 辆舒适型轿 车的概率为 7 10 3 样本的平均数为 1 9 48 69 29 68 79 39 08 2 9 8 x 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的数为 9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0 这 6 个 数 总的个数为 8 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率为75 0 8 6 命题立意 本题为概率与统计的知识内容 涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问 题 要读懂题意 分清类型 列出基本事件 查清个数 利用公式解答 8 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 某车间甲组有 10 名工人 其中有 4 名女工人 乙组有 10 名工人 其中有 6 名女工人 现采用分层抽样 层内采用不放回简单随即抽样 从甲 乙两组中共抽取 4 名工人进 行技术考核 求从甲 乙两组各抽取的人数 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率 w w w k s 5 u c o m 解析 本题考查概率统计知识 要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概解析 本题考查概率统计知识 要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概 用心 爱心 专心 率的能力 第一问直接利用分层统计原理即可得人数 第二问注意要用组合公式得出概率 率的能力 第一问直接利用分层统计原理即可得人数 第二问注意要用组合公式得出概率 第三问关键是理解清楚题意以及恰有第三问关键是理解清楚题意以及恰有 2 名男工人的具体含义 从而正确分类求概率 名男工人的具体含义 从而正确分类求概率 解 I 由于甲 乙两组各有 10 名工人 根据分层抽样原理 要从甲 乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核 则从每组各抽取 2 名工人 II 记A表示事件 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人 则 15 8 2 10 1 6 1 4 C CC AP III i A表示事件 从甲组抽取的 2 名工人中恰有i名男工人 210 i j B表示事件 从乙组抽取的 2 名工人中恰有j名男工人 210j B表示事件 抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人 w w w k s 5 u c o m i A与 j B独立 210 ji 且 021120 BABABAB 故 021120 BABABAPBP 021120 BPAPBPAPBPAP 2 10 2 6 2 10 2 6 2 8 1 4 1 6 2 10 1 6 1 4 2 10 2 4 2 10 2 4 C C C C C CC C CC C C C C 9 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在 一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 I 求甲获得这次比赛胜利的概率 II 设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数 求 得分布列及数学期望 分析分析 本题较常规 比 08 年的概率统计题要容易 需提醒的是 认真审题是前提 部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分 这是很 可惜的 主要原因在于没读懂题 另外 还要注意表述 这也是考生较薄弱的环节 10 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某地有 A B C D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感 其中只有 A 到过疫区 B 肯定是受 A 感染的 对于 C 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的 于是假定他受 A 和受 B 感染的概 用心 爱心 专心 率都是 1 2 同样也假定 D 受 A B 和 C 感染的概率都是 1 3 在这种假定之下 B C D 中直接 受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量 写出 X 的分布列 不要求写出计算过程 并求 X 的均值 即数学期望 本小题主要考查古典概型及其概率计算 考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均 值的概念 通过设置密切贴近现实生活的情境 考查概率思想的应用意识和创新意识 体现 数学的科学价值 本小题满分 12 分 解 随机变量 X 的分布列是 X123 P 1 3 1 2 1 6 X 的均值为 11111 123 3266 EX 附 X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形 每种情形发生的概率都是 1 6 A B C DA B C D A B C D A B D C A C D B 在情形 和 之下 A 直接感染了一个人 在情形 之下 A 直接感染了两个人 在情形 之下 A 直接感染了三个人 12 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A 将其与原有的一个优良品种 B 进行对照 试验 两种小麦各种植了 25 亩 所得亩产数据 单位 千克 如下 w w w k s 5 u c o m 品种 A 357 359 367 368 375 388 392 399 400 405 414 415 421 423 423 427 430 430 434 443 445 451 454 品种 B 363 371 374 383 385 386 391 392 394 395 397 397 400 401 401 403 406 407 410 412 415 416 422 430 完成所附的茎叶图 用茎叶图处理现有的数据 有什么优点 w w w k s 5 u c o m 通过观察茎叶图 对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较 写出统计结论 思路 由统计知识可求出 A B 两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图 用茎叶图处理 数据 看其分布就比较明了 w w w k s 5 u c o m 用心 爱心 专心 解析 1 茎叶图如图所示 AB 9 735 8 7363 5371 4 8383 5 6 9 2391 2 4 457 7 5 0400 1 1 3 6 7 5 4 2410 2 5 6 7 3 3 1422 4 0 0430 5 5 344 4 145 2 用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况 而且可以看出每组中的具体数 据 3 通过观察茎叶图 可以发现品种 A 的平均每亩产量为 411 1 千克 品种 B 的平均亩产 量为 397 8 千克 由此可知 品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高 但品种 A 的亩产 量不够稳定 而品种 B 的亩产量比较集中 D 平均产量附近 12 本小题满分 12 分 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生的创业方案 进行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 1 2 若某人获得两个 支持 则给予 10 万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给予 5 万元的资助 若未获得 支持 则不予资助 求 1 该公司的资助总额为零的概率 2 该公司的资助总额超过 15 万元的概率 w w w k s 5 u c o m 解 1 设A表示资助总额为零这个事件 则 用心 爱心 专心 6 11 264 P A 2 设B表示资助总额超过 15 万元这个事件 则 666 11111 156 22232 P B 13 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生的创业方案进 行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 1 2 若某人获得两个 支持 则 给予 10 万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给予 5 万元的资助 若未获得 支持 则不予资助 令 表示该公司的资助总额 1 写出 的分布列 2 求数学期望E 解 1 的所有取值为0 5 10 15 20 25 30 1 0 64 P 3 5 32 P 15 10 64 P 5 15 16 P 15 20 64 P 3 25 32 P 1 30 64 P 2 31551531 5101520253015 326416643264 E 14 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况 拟采用分层抽样的方法从 A B C 三个区中抽 取 7 个工厂进行调查 已知 A B C 区中分别有 18 2