《一 数学归纳法（1）》同步练习2

数学归纳法原理数学归纳法原理 同步练习同步练习 一 选择题一 选择题 1 用数学归纳法证明 1 n n 1 在验证n 2时成立 左式是 1 2 1 3 1 2n 1 A 1 B 1 1 2 C 1 1 2 1 3 D 1 1 2 1 3 1 4 答案 C 2 用数学归纳法证明等式 1 2 3 n2 n N 则从n k到n k 1 n4 n2 2 时 左边应添加的项为 A k2 1 B k 1 2 C k 1 4 k 1 2 2 D k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 答案 D 3 某个与正整数n有关的命题 如果当n k k N 且k 1 时该命题成立 则一定可 推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时该命题不成立 那么应有 A 当n 4时该命题成立 B 当n 6时该命题成立 C 当n 4时该命题不成立 D 当n 6时该命题不成立 答案 C 4 已知f x 是定义域为正整数集的函数 对于定义域内任意的k 若f k k2成立 则 f k 1 k 1 2成立 下列命题成立的是 A 若f 3 9成立 则对于任意的k 1 均有f k k2成立 B 若f 4 16成立 则对于任意的k 4 均有f k k2成立 C 若f 7 49成立 则对于任意的k 7 均有f k n 2 n N 1 n 1 1 n 2 1 3n 5 6 证明 1 当n 2时 左边 不等式成立 1 3 1 4 1 5 1 6 5 6 2 假设n k k 2 k N 时命题成立 即 则当n k 1时 1 k 1 1 k 2 1 3k 5 6 1 k 1 1 1 k 1 2 1 3k 1 3k 1 1 3k 2 1 3 k 1 1 k 1 1 k 2 1 3k 1 3k 1 1 3k 2 1 3k 3 1 k 1 5 6 1 3k 1 1 3k 2 1 3k 3 1 k 1 5 6 3 1 3k 3 1 k 1 5 6 所以当n k 1时不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对一切n 2 n N 均成立 9 求证 1 1 2 1 3 4 1 2n 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 n n 证明 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 1 1 2 1 2 1 2 2 假设当n k时 等式成立 即 1 1 2 1 3 4 1 2k 1 2k 1 k 1 1 k 2 1 2k 则当n k 1时 1 1 2 1 3 4 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 2 1 k 1 1 k 2 1 2k 1 2k 1 2k 2 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 1 k 1 2 1 k 1 k 1 k 1 k 1 即当n k 1时 等式成立 根据 1 2 可知 对一切n N 等式成立 10 是否存在常数a b c 使得等式1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 对一切正整数n都成立 n n 1 12 解 假设存在a b c使等式成立 令n 1 2 3 得Error 解之得a 3 b 11 c 10 故对n 1 2 3等式 1 22 2 32 n n 1 2 3n2 11n 10 成立 用数学归纳法证明 当n 1时等式成立 n n 1 12 假设n k k N k 1 时等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 3k2 11k 10 成立 k k 1 12 当n k 1时 左边 1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 k k 1 3k2 11k 10 k 1 k 2 2 1 12 k 1 k 2 k 3k 5 12 k 2 1 12 k 1 k 1 1 3k2 17k 24 k 1 k 1 1 3 k 1