2010年高三数学试题汇编第八章圆锥曲线方程 第三节 抛物线

用心 爱心 专心 1 第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 三三 抛物线抛物线 考点阐述 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 考试要求 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 考题分类 一 选择题 共 7 题 1 福建卷理 2 以抛物线 2 4yx 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A 22 20 xyx B 22 0 xyx C 22 0 xyx D 22 20 xyx 答案 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所以圆的 半径为r 1 故所求圆的方程为 22 x 1 y 1 即 22 x 2x y 0 选 D 命题意图 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法 属基础题 2 湖南卷文 5 设抛物线 2 8yx 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦点的 距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B 解析 抛物线 2 8yx 的准线为 x 2 点 P 到 y 轴的距离是 4 到准线的距离是 6 点 P 到该抛物线焦点的距离是 6 3 辽宁卷理 7 文 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂足 如果直线 AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 4 山东卷文 9 已知抛物线 2 2 0 ypx p 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 用心 爱心 专心 2 A 1x B 1x C 2x D 2x 答案 B 解析 设 11 A x y 22 B xy 则有 2 11 2ypx 2 22 2ypx 两式相减得 121212 2 yyyyp xx 又因为直线的斜率为 1 所以 12 12 1 yy xx 所以有 12 2yyp 又线段AB的中点的纵坐标为 2 即 12 4yy 所以 2p 所以抛物 线的准线方程为 1 2 p x 命题意图 本题考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系等基础知识 5 陕西卷理 8 文 9 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的准线与圆 22 670 xyx 相切 则 p 的值为 A 1 2 B 1 C 2 D 4 答案 C 解析 由题设知 直线 2 p x 与圆 163 2 2 yx 相切 从而 24 2 3 p p 故选C 6 四川卷文 3 抛物线 2 8yx 的焦点到准线的距离是 高 考 资 源 网 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由 y2 2px 8x 知 p 4 又交点到准线的距离就是 p 答案 C 7 上海春卷 17 已知抛物线 xyC 2 与直线 1 kxyl 0 k 是 直线 l 与抛 物线 C 有两个不同交点 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 2 1 kxx 即 22 21 10k xkx 22 21 4410kkk 则 1 4 k 故 0k 推不出 直线l与抛物线C有两个不同的交点 但 直线l与抛物线 C有两个不同的交点 则必有 0k 故选 B 用心 爱心 专心 3 二 填空题 共 6 题 1 安徽卷文 12 抛物线 y2 8x 的焦点坐标是 答案 2 0 解析 抛物线 2 8yx 所以 4p 所以焦点 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求 p 或求出 p 后 误认为焦点 0 p 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 2 湖南卷理 14 过抛物线 2 2 0 xpy p 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A B 两点 A B 在x轴上的正射影分别为 D C 若梯形ABCD的面积为12 2 则 p 答案 2 解析 抛物线的焦点坐标为 F 0 2 p 则过焦点斜率为 1 的直线方程为 2 p yx 设 A 1122 x yB xy 21 xx 由题意可知 12 0 0yy 由 2 2 2 p yx xpy 消去 y 得 22 220 xpxp 由韦达定理得 2 1212 2 xxp x xp 所以梯形 ABCD 的面积为 12211221 222 1212 2 11 22 11 3 4344 22 3 2 Syyxxxxp xx Pxxx xPpp p AA 所以 2 3 212 2 0 2ppp 又所以 命题意图 本题考查抛物线的焦点坐标 直线的方程 直线与抛物线的位置关系 考察 考生的运算能力 属中档题 3 全国 卷理 15 文 15 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的准线为l 过 1 0 M 且斜率 为 3 的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若AM MB 则 p 答案 2 命题意图 本题主要考查抛物线的定义与性质 解析 过 B 作 BE 垂直于准线l于 E AM MB M 为中点 用心 爱心 专心 4 1 BMAB 2 又斜率为 3 0 BAE30 1 BEAB 2 BMBE M 为抛物线的焦点 p 2 4 浙江卷理 13 设抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 0 2 A 若线段FA的中点 B在抛物线上 则B到该抛物线准线的距离为 解析 利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 2 B 点坐标为 1 4 2 所以点 B 到抛物线准线的距离为 3 2 4 本题主要考察抛物线的定义及几何性质 属容易题 5 重庆卷理 14 已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx 上的两点 A B 满足 3AFFB 则弦 AB 的中点到准线的距离为 答案 8 3 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBBmAA 11 3 ABC 中 AC 2m AB 4m 3 AB k 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消 y 得 03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 6 重庆卷文 13 已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物 线于 A B 两点 AF 2 则 BF 答案 2 解析 由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF ABx 轴 故 AF BF 2 三 解答题 共 3 题 1 福建卷文 19 已知抛物线 C 的方程 C y 2 2 p x p 0 过点 A 1 2 I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 用心 爱心 专心 5 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 l 使得直线 l 与抛物线 C 有公共点 且直线 OA 与 l 的距离等于 5 5 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明理由 2 全国 卷理 21 文 22 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线l与 C相交于A B两点 点 A 关于x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 8 9 FA FB A 求 BDK 的内切圆 M 的方程 命题意图 本小题为解析几何与平面向量综合的问题 主要考查抛物线的性质 直线与 圆的位置关系 直线与抛物线的位置关系 圆的几何性质与圆的方程的求解 平面向量的 数量积等知识 考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力 运算能力和解决问题的能 力 同时考查了数形结合思想 设而不求思想 解析 设 11 A x y 22 B xy 11 D xy l的方程为 1 0 xmym 用心 爱心 专心 6 由 知 2 1212 1 1 42xxmymym 1212 1 1 1 x xmymy 因为 11 1 FAxy uu r 22 1 FBxy uur 2 12121212 1 1 1484FA FBxxy yx xxxm uu r uur 故 2 8 84 9 m 解得 4 3 m 所以l的方程为 3 430 3430 xyxy 又由 知 2 21 4 4 4 47 3 yym 故直线 BD 的斜率 21 43 7yy 因而直线 BD 的方程为3 730 3730 xyxy 因为 KF 为 BKD 的平分线 故可设圆心 0 11 M tt 0 M t 到l及 BD 的距离分 别为 31 31 54 tt 由 3131 54 tt 得 1 9 t 或 9t 舍去 用心 爱心 专心 7 故 圆 M 的半径 312 53 t r 所以圆 M 的方程为 22 14 99 xy 3 浙江卷文 22 已知 m 是非零实数 抛物线 2 2Cyps p 0 的焦点 F 在直线 2 0 2 m l xmy 上 I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线l与抛物线 C 交于 A B A 2 A F 1 BB F 的重 心分别为 G H 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴 的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 解析 本题主要考查抛物线几何性质 直线与抛物线 点与圆的位置关系等基础知识 同 时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力 解 因为焦点 F 2 P 0 在直线 l 上 得 2 m 又 m 2 故 4 所以抛物线 C 的方程为 22 2ym x 设 A x1 y1 B x2 y2 由 2 22 2 2 m xmy ym x 消去 x 得 y2 2m3y m4 0 由于 m 0 故 4m6 4m4 0 且有 y1 y2 2m3 y1y2 m4 设 M1 M2 分别为线段 AA1 BB1 的中点 由于 2 12 G 2 M CFM HHF 可知 G 11 2 33 xy H 22 2 33 xy 所以 242 1212 6636 xxm yymmm 3 12 222 63 yy