2010年青海省高考数学二轮复习 排列组合二项式定理和概率新人教版

用心 爱心 专心 排列组合二项式定理和概率排列组合二项式定理和概率 一 知识整合 二 考试要求 1 掌握分类计数原理与分步计数原理 并能用它们分析和解决一些简单的 应用问题 2 理解排列的意义 掌握排列数计算公式 并能用它解决一些简单的应用 问题 3 理解组合的意义 掌握组合数计算公式和组合数的性质 并能用它们解 决一些简单的应用问题 4 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单 的问题 5 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 6 了解等可能性事件的概率的意义 会用排列组合的基本公式计算一些等 可能性事件的概率 7 了解互斥事件 相互独立事件的意义 会用互斥事件的概率加法公式与 相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率 8 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 随机事件的概率 例 1 某商业银行为储户提供的密码有 0 1 2 9 中的 6 个数字组成 1 某人随意按下 6 个数字 按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少 2 某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字 随意按下一个数字进行试验 按对 自己的密码的概率是多少 解 1 储蓄卡上的数字是可以重复的 每一个 6 位密码上的每一个数字都有 0 1 2 9 这 10 种 正确的结果有 1 种 其概率为 6 10 1 随意按下 6 个数字相当于随意按下 6 10 个 随意按下 6 个数字相当于随意按下 6 10 个密码 之一 其概率是 6 10 1 2 以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前 5 个正确的前提下 随意按下一个 数字 等可能性的结果为 0 1 2 9 这 10 种 正确的结果有 1 种 其 概率为 10 1 例 2 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球 从中任取 3 个球 这 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是多少 用组合数表示 解 设事件 I 是 从 m 个白球和 n 个黑球中任选 3 个球 要对应集合 I1 事件 A 是 从 m 个白球中任选 2 个球 从 n 个黑球中任选一个球 本题是等可能 性事件问题 且 Card I1 123 nmnm CCACardC 于是 P A 3 12 1 nm nm C CC ICard ACard 用心 爱心 专心 互斥事件有一个发生的概率 例 3 在 20 件产品中有 15 件正品 5 件次品 从中任取 3 件 求 1 恰有 1 件次品的概率 2 至少有 1 件次品的概率 解 1 从 20 件产品中任取 3 件的取法有 3 20 C 其中恰有 1 件次品的取法为 1 5 2 15C C 恰有一件次品的概率 P 76 35 3 20 1 5 2 15 C CC 2 法一 从 20 件产品中任取 3 件 其中恰有 1 件次品为事件 A1 恰有 2 件次 品为事件 A2 3 件全是次品为事件 A3 则它们的概率 P A1 3 20 1 5 2 15 C CC 228 105 228 2 3 20 1 15 2 5 2 C CC AP 228 2 3 20 3 5 3 C C AP 而事件 A1 A2 A3彼此互斥 因此 3 件中至少有 1 件次品的概率 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 228 137 法二 记从 20 件产品中任取 3 件 3 件全是正品为事件 A 那么任取 3 件 至 少有 1 件次品为A 根据对立事件的概率加法公式 P A 228 137 1 1 3 20 3 15 C C AP 例 4 1 副扑克牌有红桃 黑桃 梅花 方块 4 种花色 每种 13 张 共 52 张 从 1 副洗好的牌中任取 4 张 求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率 解 从 52 张牌中任取 4 张 有 4 52 C 种取法 4 张中至少有 3 张黑桃 可分为 恰有 3 张黑桃 和 4 张全是黑桃 共有 4 13 1 39 3 13 CCC 种取法 4 52 4 13 1 39 3 13 C CCC 注 研究至少情况时 分类要清楚 相互独立事件同时发生的概率 例 5 猎人在距离 100 米处射击一野兔 其命中率为 0 5 如果第一次射击未中 则猎人进行第二次射击 但距离 150 米 如果第二次射击又未中 则猎人进 行第三次射击 并且在发射瞬间距离为 200 米 已知猎人的命中概率与距离 的平方成反比 求猎人命中野兔的概率 解 记三次射击依次为事件 A B C 其中 2 1 AP 由 2 100 2 1k AP 求得 k 5000 用心 爱心 专心 8 1 200 5000 P C 9 2 150 5000 P B 22 命中野兔的概率为 144 95 8 1 9 2 1 2 1 1 9 2 2 1 1 2 1 AP P A CPBPAPBPAPAPCBAPB 例 6 要制造一种机器零件 甲机床废品率为 0 05 而乙机床废品率为 0 1 而 它们的生产是独立的 从它们制造的产品中 分别任意抽取一件 求 1 其中至少有一件废品的概率 2 其中至多有一件废品的概率 解 设事件 A 为 从甲机床抽得的一件是废品 B 为 从乙机床抽得的一件是 废品 则 P A 0 05 P B 0 1 1 至少有一件废品的概率 145 0 90 0 95 0 1 1 1 BPAPBAPBAP 2 至多有一件废品的概率 995 0 9 095 0 1 095 0 9 005 0 BABABAPP 概率内容的新概念较多 本课时就学生易犯错误作如下归纳总结 类型一 非等可能 与 等可能 混同 例 1 掷两枚骰子 求所得的点数之和为 6 的概率 错解 掷两枚骰子出现的点数之和 2 3 4 12 共 11 种基本事件 所以概 率为 P 1 11 剖析 以上 11 种基本事件不是等可能的 如点数和 2 只有 1 1 而点数之和 为 6 有 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 共 5 种 事实上 掷两 枚骰子共有 36 种基本事件 且是等可能的 所以 所得点数之和为 6 的 概率为 P 5 36 类型二 互斥 与 对立 混同 例 2 把红 黑 白 蓝 4 张纸牌随机地分给甲 乙 丙 丁 4 个人 每个人分 得 1 张 事件 甲分得红牌 与 乙分得红牌 是 A 对立事件 B 不可能事件 C 互斥但不对立事件 D 以上均 不对 错解 A 剖析 本题错误的原因在于把 互斥 与 对立 混同 二者的联系与区别主要 体现在 1 两事件对立 必定互斥 但互斥未必对立 2 互斥概念适用于多个事 件 但对立概念只适用于两个事件 3 两个事件互斥只表明这两个事件 不能同时发生 即至多只能发生其中一个 但可以都不发生 而两事件对 立则表示它们有且仅有一个发生 事件 甲分得红牌 与 乙分得红牌 是不能同时发生的两个事件 这两 用心 爱心 专心 个事件可能恰有一个发生 一个不发生 可能两个都不发生 所以应选 C 类型三 互斥 与 独立 混同 例 3 甲投篮命中率为 O 8 乙投篮命中率为 0 7 每人投 3 次 两人恰好都命 中 2 次的概率是多少 错解 设 甲恰好投中两次 为事件 A 乙恰好投中两次 为事件 B 则两人都 恰好投中两次为事件 A B P A B P A P B 2222 33 0 80 20 70 30 825cc 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑 将两 人都恰好投中 2 次理解为 甲恰好投中两次 与 乙恰好投中两次 的 和 互斥事件是指两个事件不可能同时发生 两事件相互独立是指一个事 件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响 它们虽然都描绘了两个事 件间的关系 但所描绘的关系是根本不同 解 设 甲恰好投中两次 为事件 A 乙恰好投中两次 为事件 B 且 A B 相互独立 则两人都恰好投中两次为事件 A B 于是 P A B P A P B 0 169 四 高考题选讲 1 甲 乙二人参加普法知识竞赛 共有 10 个不同的题目 其中选择题 6 个 判断题 4 个 甲 乙二人依次各抽一题 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 甲 乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 2000 年新课程 卷 2 如图 用 A B C 三类不同的元件连接成两个系统 N1 N2 当元件 A B C 都正 常工作时 系统 N1正常工作 当元件 A 正常工作且元件 B C 至少有一个正 常工作时 系统 N2正常工作 已知元件 A B C 正常工作的概率依次为 0 80 0 90 0 90 分别求系统 N1 N2正常工作的概率 P1 P2 2001 年新 课程卷 用心 爱心 专心 3 3 某单位 6 个员工借助互联网开展工作 每个员工上网的概率都是 0 5 相互独 立 求至少 3 人同时上网的概率 至少几人同时上网的概率小于 0 3 2002 年新课程卷 4 4 有三种产品 合格率分别是 0 90 0 95 和 0 95 各抽取一件进行检验 求恰有一件不合格的概率 求至少有两件不合格的概率 精确到 0 001 2003 年新课程卷 5 从 10 位同学 其中 6 女 4 男 中随机选出 3 位参加测验 每位女同学能通过 测验的概率均为 5 4 每位男同学能通过测验的概率均为 5 3 试求 选出的 3 位同学中 至少有一位男同学的概率 10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率 2004 年全国卷 解 本小题主要考查组合 概率等基本概念 独立事件和互斥事件的概率以及运 用概率知识 解决实际问题的能力 满分 12 分 解 随机选出的 3 位同学中 至少有一位男同学的概率为 1 6 5 3 10 3 6 C C 6 分 甲 乙被选中且能通过测验的概率为 125 4 5 3 5 4 3 10 1 8 C C 12 分 用心 爱心 专心 6 已知 8 支球队中有 3 支弱队 以抽签方式将这 8 支球队分为 A B 两组 每组 4 支 求 A B 两组中有一组恰有两支弱队的概率 A 组中至少有两支弱队的概率 2004 年全国卷 解 解法一 三支弱队在同一组的概率为 7 1 4 8 1 5 4 8 1 5 C C C C 故有一组恰有两支弱队的概率为 7 6 7 1 1 解法二 有一组恰有两支弱队的概率 7 6 4 8 2 5 2 3 4 8 2 5 2 3 C CC C CC 解法一 A 组中至少有两支弱队的概率 2 1 4 8 1 5 3 3 4 8 2 5 2 3 C CC C CC 解法二 A B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1 由于对 A 组和 B 组 来说 至少有两支弱队的概率是相同的 所以 A 组中至少有两支弱队的概 率为 2 1 7 某同学参加科普知识竞赛 需回答 3 个问题 竞赛规则规定 答对第一 二 三问题分别得 100 分 100 分 200 分 答错得零分 假设这名同学答对第 一 二 三个问题的概率分别为 0 8 0 7 0 6 且各题答对与否相互之 间没有影响 求这名同学得 300 分的概率 求这名同学至少得 300 分的概率 2004 年全国卷 8 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 求所选 3 人都是男生的概率 求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率 求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率 2004 年天津卷 用心 爱心 专心 9 某地区有 5 个工厂 由于用电紧缺 规定每个工厂在一周内必须选择某一天 停电 选哪一天是等可能的 假定工厂之间的选择互不影响 求 5 个工厂均选择星期日停电的概率 求至少有两个工厂选择同一天停电的概率 2004 年浙江卷 10 甲 乙两人参加一次英语口语考试 已知在备选的 10 道试题中 甲能答对 其中的 6 题 乙能答对其中的 8 题 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试 至少答对 2 题才算合格 分别求甲 乙两人考试合格的概率 求甲 乙两人至少有一人考试合格的概率 2004 年福建卷 11 甲 乙 丙三台机床各自独立地加工同一种零件 已知甲机床加工的零件是 一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 4 1 乙机床加工的零件是一 等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 12 1 甲 丙两台机床加工的零 件都是一等品的概率为 9 2 分别求甲 乙 丙三台机床各自加工零件是一等品的概率 从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 求至少有一个一等品的概 率 2004 年湖南卷 用心 爱心 专心 12 为防止某突发事件发生 有甲 乙 丙 丁四种相互独立的预防措施可供采 用 单独采用甲 乙 丙 丁预防措施后此突发事件不发生的概率 记为 P 和所需费用如下 预防措施甲乙丙丁 P0 90 80 70 6 费用 万 元 90603010 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施 在总费用不超 过 120 万元的前 提下 请确定一个预防方案 使得此突发事件不发生的概率最大 2004 年湖北卷 解 方案 1 单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元 由表可知 采 用甲措施 可使此突发事件不发生的概率最大 其概率为 0 9 方案 2 联合采用两种预防措施 费用不超过 120 万元 由表可知 联合甲 丙两 种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大 其概率为 1 1 0 9 1 0 7 0 97 方法 3 联合采用三种预防措施 费用不超过 120 万元 故只能联合乙 丙 丁 三种预防措施 此时突发事件不发生的概率为 1 1 0 8 1 0 7 1 0 6 1 0 024 0 976 综合上述三种预防方案可知 在总费用不超过 120 万元的前提下 联合使用 乙 丙 丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大 13 设甲 乙 丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0 7 0 6 和 0 5 三人各向目标射击一次 求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中 目标概率 若甲单独向目标射击三次 求他恰好命中两次的概率 2004 年重庆卷 14 从数字 1 2 3 4 5 中 随机抽取 3 个数字 允许重复 组成一个三位 数 其各位数字之和等于 9 的概率为 D A 125 13 B 125 16 C 125 18 D 125 19 15 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 一接待中心有 A B C D 四部热线电话 已知某一时刻电话 A B 占线的概 率均为 0 5 电话 C D 占线的概率均为 0 4 各部电话是否占线相互之间没有影 响 假设该时刻有 部电话占线 试求随机变量 的概率分布和它的期望 解 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念 考查运用概率知 识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 P 0 0 52 0 62 0 09 P 1 1 2 C 0 52 0 62 1 2 C 0 52 0 4 0 6 0 3