席位的公平分配

目录 摘 要 1 ABSTRACT 2 绪论 3 1 席位分配问题 3 2 各种分配方法 3 2 1 最大分数法 3 2 2 最大分数法的优缺点 5 2 3 不公平度指标 5 2 3 1 定义不公平度 5 2 3 2 定义不公平程度 5 2 3 3 定义相对不公平度 6 2 4 Q 值法 6 2 5 用 Q 值法解决问题 8 2 6 分析 Q 值法的优缺点 9 2 7 D Hondt 法 9 3 比较分配方法 9 参考文献 12 致 谢 13 附 录 14 贵州师范学院毕业论文 设计 0 摘 要 约两个世纪以来 出于美国和欧洲诸如会议席位分配等社会政治活动的 需要 一些人包括数学家们先后提出了许多分配方法 这些方法对同一个问 题常常给出了不同的答案 还会违背人们意愿甚至违背常识现象 这更引起 数学家们的深入研究的兴趣 本文从最简单的最大剩余法开始研究 一步步 的优化方案 我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响 首先定义了不 公平指标及相对不公平度的定义 采用了最大剩余法 Q 值法和 D Hondt 法对模型进行比较 制定出更合理的方案 开始 我采用了最大剩余法对问 题进行研究 然后 我对相关资料进行了查阅 则定义了不公平度指标和相 对不公平度用来检查方案的公平性程度 确定了衡量公平的数量指标后 再 优化模型采用 Q 值法进行分配 最后采用了 D Hondt 法对模型进行了分析 几种方法的比较得出结论 关键字 席位分配 Q 值法 D Hondt 法 贵州师范学院毕业论文 设计 1 ABSTRACT About two of a century the need for American and Europe such as meeting seat allocation of social political activities including some mathematicians have put forward many distribution methods these methods to the same problem often give different answers but also goes against the crowd even contrary to common sense this caused more in depth research mathematicians the interest This paper studies the maximum residual method is the most simple optimization step by step I mainly according to the number of seats available on line first defines unfair index and relative unfair degree adopt the maximum residual method Q method and D Hondt method to compare the model to develop a more reasonable scheme To start I adopt the maximum residual method to research the problem Then I carried out the inspection of the relevant information define the unfair degree index and relative unfair degree used to check the program fairness degree To determine the quantitative index to measure the fair then optimization model with a Q value method is used the D Hondt method for model analysis compare several methods of conclusion Keywords seat allocation Q value method d hondt method 贵州师范学院毕业论文 设计 2 绪论 起初 对于出现在社会政治领域中的席位分配 人们认为是一个简单的 数学问题 用初等的办法解决 但是在应用中这样的办法得出许多难以接受 的结果 人们发现所有的方法都有不合理之处 文章中提到的最大分数法就 是 A Hamilton 提出的 也曾多次在美国国会 1850 1900 年众议员席位分配 中采用 但是同时也被质疑 从而继续寻找更合理的方法 于 20 世纪 20 年 代由哈佛大学数学家 E V Huntington 提出和推荐的一系列分配方法中的一种 Q 值法 Q 值法克服了最大分数法的缺陷 但是也有不少缺点 最后就是 简单的介绍了一下 D Hondt 法 通过对这三种方法的比较来寻找更合理的 办法 文章主要参考的是姜启源 谢金星 叶俊等编写的数学模型第四版 通过本论文的学习我们可以学习到没有绝对的公平 只有相对的公平 我们 只能尽量避免不公平的事件发生 却不能杜绝它的发生 如果发现文章有 什么不足之处请指出改正 欢迎来指正错误 1 1 席位分配问题 贵州师范学院有 3 个学院参加会议 有 200 名学生 其中数计学院 100 名 物电学院 60 名 化生学院 40 名 如果学生代表会议设有 20 个席位 怎样去分配 但是现在化生学院有 3 名学生转入数计学院 3 名学生转入物 电学院 那又将怎么分配呢 如果席位变成 21 个则怎么样分配 2 各种分配方法 2 12 1 最大分数法最大分数法 公平而简单的方法就是按照学生人数的比例进行分配 这种按照惯例的 分配方案是由 A Hamilton 提出的 这种方案在美国国会 1850 1900 年的众 议员席位分配 按照人口比例每个州应分得几个席位 中就多次被采用 也 同时被质疑 称之为最大剩余法 GR Greatest Remainders 或最大分数法 贵州师范学院毕业论文 设计 3 LF Largest Fractions 也称 Hamilton 法或 Vinton 法 1 表 2 1 最初的按照比例的席位分配 学院学生人数学生人数的比例 按比例分配的席位参照惯性的结果 数计学院100501010 物电学院603066 化生学院402044 总和2001002020 表 2 2 按比例并参照惯例的席位分配 20 个席位的分配21 个席位的分配学院学生人 数 学生人数 的比例 按比例分配 的席位 参照惯性的 结果 按比例分配的 席位 参照惯性的 结果 数计学院10351 510 31010 85111 物电学院6331 56 366 6157 化生学院3417 03 443 5703 总和20010020202121 很明显数计学院 物电学院 化生学院三个学院分别应占有 10 6 4 个席 位 表 2 1 但是现有化生学院 3 名学生转入数计学院 3 名学生转入物电 学院 表 2 2 第 2 列所示 继续按比例 表 2 2 第 3 列所示 分配席位时出 现了小数 表 2 2 第 4 列 于是按照最大分数法分配三个学院分别占 10 6 4 席 表 3 2 第 5 列所示 但是 20 席位的代表会议在表决大会时可能出现 10 10 的局面 因此增加一个席位变成 21 席 同样按照上述办法重新分配席 贵州师范学院毕业论文 设计 4 位 计算结果见表 2 2 的 6 7 列 2 22 2 最大分数法的优缺点最大分数法的优缺点 我们看到席位从 20 席增加到 21 席 但是化生学院却从分得的 4 席变为 了 3 席 即总席位增加反而导致某个学院分得的席位减少 我们把这种现象 称之为席位悖论 这是最大分数法的一个缺陷 如上例若三个学院学生人数 变为 114 64 34 名 按照最大分数法 21 席的分配结果将是 11 6 4 席我们观察 可得 物电学院学生人数增加却比原来的少了 1 席 化生学院人数没有变反 而增加了 1 席 即某个学院的人数增加较多反而可能导致这个学院席位的减 少 我们把这种现象称之为人口悖论 这又是最大分数法的一大缺陷 2 32 3 不公平度指标不公平度指标 2 3 1 定义不公平度 为了寻找更公平的席位分配的方法 我们先来研讨一下衡量公平的数量 指标 为了简便我们首先只考虑甲 乙两方分配席位的情况 设甲 乙两方人 数分别为 且已占有席位分别为 则比值为甲 乙两方 21 p p 21 n n 2211 npnp 每个席位所代表的人数 显然当且仅当时分配才是完全公平的 2211 npnp 但是因为人数和席位都是整数 所以通常 那么一般都是分配不 2211 npnp 公平的 并且是对于比值较大的一方不公平 2 3 2 定义不公平程度 不妨设 那么不公平程度就可以用数值来衡量 2211 npnp 2211 npnp 那么我们可以举两个例子来练习一下不公平程度 例 1 设 则 10 100 120 2121 nnpp 2211 npnp 21012 2211 npnp 例 2 设 而不变时 则 1000 1020 21 pp 21 n n2100102 2211 npnp 利用上述定义的来衡量不公平程度 那么上述两个例子的不公平程度是 一样的 但是常识告诉我们 例 2 的这种情况的相对不公平程度 2211 npnp 贵州师范学院毕业论文 设计 5 比例 1 的不公平程度已经大为改善了 所以我们发现用来衡量不公平程度 常常无法区分不公平程度明显不同的情况 2 3 3 定义相对不公平度 为了改善上述的衡量标准 我们想到了相对标准 当 定义 2211 npnp 1 22 2211 21 np npnp nnrA 为对甲的相对不公平度 当 定义 2 2 1 1 n p n p 2 11 1122 21 np npnp nnrB 为对乙的相对不公平度 2 42 4 Q Q 值法值法 假设甲 乙两方已占有的席位 利用相对不公平度讨论当总席 21 n n BA rr 位增加 1 席时 应该是分给甲还是乙 2 一般地 可先讨论 当大于号成立时表示对甲不公平 如把 2211 npnp 增加的 1 席给甲 则甲的席位从变成 若把它分给乙 则乙的席位从 1 n1 1 n 变成 则原不等式可能出现下列几种情况 2 n1 1 n 1 说明即使把增加的这一个席位分给甲依旧对甲不公平 2 2 1 1 1n p n p 因此这增加的这一席位应该分给甲 2 说明把这增加的一个席位分给甲后对乙不公平了 故参 2 2 1 1 1n p n p 照公式 2 计算出对乙的相对不公平度为 贵州师范学院毕业论文 设计 6 3 1 1 1 21 12 21 np np nnrB 3 说明把这增加的一个席位分给甲后对甲 乙两方是一样 2 2 1 1 1n p n p 的 因此这增加的一个席位应该分给甲 4 说明把增加的这个席位分给乙后对甲不公平了 参照公 1 2 2 1 1 n p n p 式 1 计算出对甲的相对不公平度为 4 1 1 1 12 21 21 np np nnrA 5 说明把这增加的一个席位分给乙后还对乙不公平 但是 1 2 2 1 1 n p n p 前面我们已经设了 所以这种结果是不可能出现的 2 2 1 1 n p n p 1 2 1 2 2 1 1 n p n p n p 6 说明把这增加的一个席位分给乙后对甲 乙是一样的 1 2 2 1 1 n p n p 同样因为 所以这种结果也不可能出现 1 2 1 2 2 1 1 n p n p n p 对于建立的衡量分配不公平的指标 它们的原则是尽可能的使它 BA rr 们小 所以在这种分配原则下进行分配 对进行比较将这增加的一个 BA rr 席位分给相对不公平度大的一方 即当 5 1 1 2121 nnrnnr AB 则增加的这个席位要分给甲 反之则分给乙 如果相等则可以任意分给甲 或乙 对 5 式进行化简 得 6 1 1 11 2 1 22 2 2 nn p nn p 所以当 6 式成立时增加的这个席位应该分给甲 反之则分给乙 相等则 可以任意分给甲或乙 贵州师范学院毕业论文 设计 7 同理 假设成立时 也可以得到 6 式 2 2 1 1 n p n p 综上所述 只要 6 式成立 则增加的一席分给甲 反之则分给乙 相等则可以任意分给甲或乙 上述讨论的是两方的分配方案 现在将这种方法推广到有 m 方分配 席位的情况 设第 i 方人数为 已占有个席位 当总席 1 p 1 nmi 3 2 1 位增加一席时 计算 7 mi nn p Q ii i i 3 2 1 1 1 2 将增加的这一席位分给 Q 值大的一方 这个方法我们称之为 Q 值法 2 52 5 用用 Q Q 值法解决问题值法解决问题 用 Q 值法重新讨论提出的数计学院 物电学院 化生学院三个学院分配 21 席位的方案 已知 数计学院 物电学院 化生学院三个学院分配 21 席位 其中 表示数计学院 物电学院 化生学院的人数 则 3 2 1 ipi 34 63 103 321 ppp 求 用 Q 值法分配数计学院 物电学院 化生学院三个学院各分得多少席位 解 设 表示数计学院 物电学院 化生学院三个学院已占有的席 3 2 1 ini 位 则可设 开始每增加 1 席应该分给谁来计算 1 321 nnn 但是最大分数法已经计算出 分配了 19 席的结果 现3 6 10 321 nnn 在就是对第 20 席和第 21 席的分配了 第 20 席 进行比较 发33 96 43 34 50 94 76 63 45 96 1110 103 2 3 2 2 2 1 QQQ 现最大 所以第 20 席分给数计学院 1 Q 则 3 6 11 321 nnn 贵州师范学院毕业论文 设计 8 第 21 席 因为物电学院 化生学院两系的已占有席37 80 1211 1032 1 Q 位没有变化所以同上 经过比较发现最大 所以第 21 席应该分给化 32 Q Q 3 Q 生学院 综上所述 数计学院 物电学院 化生学院三个学院分别获得席位为 11 6 4 席 2 62 6 分析分析 Q Q 值法的优缺点值法的优缺点 Q 值法不仅有明确的不公平指标 而且由于它是每增加 1 个席位来计算 Q 值的 所以不会出现席位悖论 也可证明不会出现人口悖论 3 它的优 点就是在每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小 不过 Q 值法也存在很大的缺点 我们稍微注意一下就会发现开始分配时我们设了各 方已占有席位为 1 位 即各方必须分得 1 席或者大于 1 席位 Q 值才有意义 Q 值法要求参加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位 因而当分配的 总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的不 公平 4 2 72 7 D D HondtHondt 法法 把个学院的人数用正整数相除 把所得的商从大到小进 m AAA 2 1 3 2 1 行排列 若席位总数为 N 则取前面 N 个商 并将各学院被选取的最小商的除 数作为这个学院被分配的席位数 其原理就是某学院人数较多 则应该分配 到较多的席位数 用 D hondt 法的商的结果见附录表 2 3 我们发现用 D Hondt 法计算的结 果是如果分配 20 个席位 那么数计学院 物电学院 化生学院三个学院各 分得 11 6 3 席 如果分配 21 个席位 则数计学院 物电学院 化生学院各 分得 11 7 3 席 贵州师范学院毕业论文 设计 9 3 3 比较分配方法 从表3 1看出 无论是用哪一种分配方法 单单从最终的分配结果来看 数计学院都是分到了11个席位 而最终就是一个席位的差别 到底是分配给 物电学院 还是分配给化生学院 即最终的席位利益是在物电学院还是在化 生学院 但是从上面的不同的方法的证明过程中我们可以看出 其分配的结 果不仅仅是如此 表 3 1 21 个席位的分配结果 数计学院物电学院化生学院 最大分数法1173 Q 值法1164 D Hondt 法1173 从表2 2可以看出 按 最大分数法 分配显然存在着较大缺陷 出现了 人口悖论和席位悖论 而D Hondt 法 从分配完的结果来看 数计学院 物电学院 化生学院 分别得到的席位是11 7 3 虽然与 最大分数法 分配的最终结果一样 不 过D Hondt 法克服了最大分数法分配中人数席位变动而引起的名额不规则变 动 但是在各学院每个席位代表的人数不等的情况下 席位代表的平均人数 值较大的一方来说 就存在着不公平 而且D Hondt 法不能衡量 不公平 的大小 5 贵州师范学院毕业论文 设计 10 而Q值法不仅有明确的不公平指标 而且由于它是每增加1个席位来计算 Q值的 所以不会出现席位悖论 也可证明不会出现人口悖论 3 它的优 点就是在每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小 不过Q 值法也存在很大的缺点 我们细心点就会发现开始分配时我们设了各方已占 有席位为1位 即各方必须分得1席或者大于1席位 Q值才有意义 Q值法要 求参加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位 因而当分配的总席位比 较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的 不公平 结论结论 从上述的几种分配方法来看 在席位分配中很难找到一种绝对公平的分 配方法 因为席位的分配不仅仅要涉及到分配席位的总数的多少 而且还涉 及到一个席位所代表的人数 上述的几种分配方法都是在不同的角度提出的 不同观点 不同的分配方法 所以说 在公平席位分配中 如果单纯的靠一 种分配方法 基本上就不存在公平的席位分配方法 实际上 如果掌握了