2010年高三数学高考复 习必备精品：空间中的夹角和距离

空间中的夹角和距离空间中的夹角和距离 一 一 课标要求课标要求 1 掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理 对于异面直线的距离 只要求 会计算已给出公垂线时的距离 2 掌握点 直线到平面的距离 直线和平面所成的角 3 掌握平行平面间的距离 会求二面角及其平面角 二 二 命题走向命题走向 高考立体几何试题一般共有 4 道 选择 填空题 3 道 解答题 1 道 共计总分 27 分左右 考查的知识点在 20 个以内 随着新的课程改革的进一步实施 立体几何考题正朝着 多一点 思考 少一点计算 的发展 从历年的考题变化看 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系 的论证 角与距离的探求是常考常新的热门话题 预测 2010 年高考试题 1 单独求夹角和距离的题目多为选择题 填空题 分值大约 5 分左右 解答题中的 分步设问中一定有求夹角 距离的问题 分值为 6 分左右 2 选择 填空题考核立几中的计算型问题 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问 题 当然 二者均应以正确的空间想象为前提 三 三 要点精讲要点精讲 1 距离 空间中的距离是立体几何的重要内容 其内容主要包括 点点距 点线距 点面距 线 线距 线面距 面面距 其中重点是点点距 点线距 点面距以及两异面直线间的距离 因 此 掌握点 线 面之间距离的概念 理解距离的垂直性和最近性 理解距离都指相应线段 的长度 懂得几种距离之间的转化关系 所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离 一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 1 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度 叫做两条异面直线的距离 求法 如果知道两条异面直线的公垂线 那么就转化成求公垂线段的长度 2 点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P 则线段 PP 的长度就是点到平面的距离 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 等体积法 1 2 3 直线与平面的距离 一条直线和一个平面平行 这条直线上任意一点到平面的距 离 叫做这条直线和平面的距离 4 平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 求距离的一般方法和步骤 应用各种距离之间的转化关系和 平行移动 的思想方法 把所求的距离转化为点点距 点线距或点面距求之 其一般步骤是 找出或作出表示有关 距离的线段 证明它符合定义 归到解某个三角形 若表示距离的线段不容易找出或作 出 可用体积等积法计算求之 异面直线上两点间距离公式 如果两条异面直线 a b 所成 的角为 它们的公垂线 AA 的长度为 d 在 a 上有线段 A E m b 上有线段 AF n 那么 EF cos2 222 mnnmd 符号由实际情 况选定 2 夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角 直线与平面所成的 角和二面角 要理解各种角的概念定义和取值范围 其范围依次 为 0 90 0 90 和 0 180 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这 1 两条异面直线所成的角 然后通过解三角形去求得 通过两条异面直线的方向量所成的角 2 来求得 但是注意到异面直线所成角得范围是 2 0 向量所成的角范围是 0 如果求 出的是钝角 要注意转化成相应的锐角 2 直线和平面所成的角 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 除特殊位置外 主要是指平面 的斜线与平面所成的角 根据定义采用 射影转化法 3 二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手 所以作二面角的平面角就成为解 题的关键 通常的作法有 定义法 利用三垂线定理或逆定理 自空间 一点作棱垂直的垂面 截二面角得两条射线所成的角 俗称垂面法 此外 当作二面角的平 面角有困难时 可用射影面积法解之 cos S S 其中 S 为斜面面积 S 为射影面积 为斜面与射影面所成的二面角 3 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同 那么这两个角相等 推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或 直角 相等 四 四 典例解析典例解析 题型 1 直线间的距离问题 例 1 已知正方体ABCDA B C D 的棱长为 1 求直 线 DA 与 AC 的距离 解法 1 如图 1 连结 A C 则 AC 面 A C D 连结 DA DC DO 过 O 作 OE DO 于 E 因为 A C 面 BB D D 所以 A C OE 又 O D OE 所以 OE 面 A C D 因此 OE 为直线 DA 与 AC 的距离 在 Rt OO D 中 OEO DODOO 可求得OE 3 3 点评 此题是异面直线的距离问题 可作出异面直线的公 垂线 解法 2 如图 2 连接 A C DC B C AB A 得到分别包含 DA 和 AC 的两个平面 A C D 和 B C A D B C O A D 图 1 E O C B D A C O2 B D A O1 图 2 平面 AB C 又因为 A C AC A D B C 所以面 A C D 面 AB C 故 DA 与 AC 的距离就是平面 A C D 和平面 AB C 的距离 连 BD 分别交两平面于 OO 12 两点 易证O O 12是两平行平面距离 不难算出BOD Oa 12 3 3 所以O Oa 12 3 3 所以异面直线 BD 与B C 1 之间的 距离为 3 3 a 点评 若考虑到异面直线的公垂线不易做出 可分别过两异面直线作两平面互相平行 则异面直线的距离就是两平面的距离 题型 2 线线夹角 例 2 如图 1 在三棱锥 S ABC 中 SABSACACB90 AC 2 BC 13 SB 29 求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值 S A C B 图 1 解法 1 用公式 当直线AB 平面 A AB 与 所成的角为 1 l 是 内的一条直线 l 与 AB 在 内的射影AB 所成的角为 2 则异面直线 l 与 AB 所成的角 满足coscoscos 12 以此为据求解 由题意 知SA 平面 ABC AC BC 由三垂线定理 知SC BC 所以BC 平面 SAC 因为ACBCSB 21329 由勾股定理 得 ABSASC 172 34 在Rt SAC 中 cos SCA AC SC 1 2 在Rt ACB 中 cos CAB AC AB 2 17 设 SC 与 AB 所成角为 则 coscoscos SCACAB 17 17 解法 2 平移 过点 C 作 CD BA 过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D 连结 SD 则 SCD是异面直线 SC 与 AB 所成的角 如图 2 又四边形 ABCD 是平行四边形 由勾股定理 得 DCABSASD 172 35 S A B CD 图 2 在 SCD中 由余弦定理 得 cos SCD SCDCSD SC DC 222 2 17 17 点评 若不垂直 可经过如下几个步骤求解 1 恰当选点 作两条异面直线的平行线 构造平面角 2 证明这个角 或其补角 就是异面直线所成角 3 解三角形 常 用余弦定理 求出所构造角 的度数 题型 3 点线距离 例 3 2009 天津卷理 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中点 AF AB BC FE 1 2 A I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 本小题要考查异面直线所成的角 平面与平面垂直 二面角等基 础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空 间想像能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 方法一 解 由题设知 BF CE 所以 CED 或其补 角 为异面直线 BF 与 DE 所成的角 设 P 为 AD 的中点 连 结 EP PC 因为 FE AP 所以 FA EP 同理 AB PC 又 FA 平面 ABCD 所以 EP 平面 ABCD 而 PC AD 都在平面 ABCD 内 故 EP PC EP AD 由 AB AD 可得 PC AD 设 FA a 则 EP PC PD a CD DE EC a2 故 CED 60 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的 大小为 60 II 证明 因为 CEMPMP CEDMCEM 则连结的中点 所以为且DEDC CDEAMDCDECE AMDCEMDMMP平面 所以平面平面而平面 故又 III 因为 所以因为 的中点 连结为解 设 CDEQDECE EQPQCDQ ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角 故 所以 由 I 可得 2 2 2 6 EQaPQaPQEP 中 于是在 3 3 cosEPQRt EQ PQ EQP 方法二 如图所示 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 设 1 AB依题意得 001B 011C 020D 110E 100F 2 1 1 2 1 M I 解 101BF 110DE 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos 于是BF 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 0 60 II 证明 由 2 1 1 2 1 AM 101CE 0AMCE020AD 可得 AMDCEAADAM ADCEAMCE 0 ADCE平面 故又 因此 CDEAMDCDECE平面 所以平面平面而 III 0 D 0 CDE Eu CEu zyxu 则 的法向量为解 设平面 111 1 0 0 可得令 于是 ux zy zx 又由题设 平面ACD的一个法向量为 100 v 3 3 13 100 cos vu vu vu 所以 题型 4 点面距离 例 4 2009 重庆卷理 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 如题 19 图 在四棱锥SABCD 中 ADBCA且ADCD 平面CSD 平面 ABCD 22CSDS CSAD E为BS的中点 2 3CEAS 求 点A到平面BCS的距离 二面角ECDA 的大小 1919 本小题 本小题 1212 分 分 解法一 因为 AD BC 且 BCBCS 平面所以 ADBCS平面从而 A 点到平面BCS的距离 等于 D 点到平面BCS的距离 因为平面 CSDABCDADCD 平面 故ADCSD 平面 从而ADSD 由 AD BC 得BCDS 又由CSDS 知DSBCS 平面 从而DS为点 A 到平面 BCS的距离 因此在Rt ADS 中 22 3 12DSASAD 如答 19 图 1 过 E 电作 EGCD 交CD于点 G 又 过 G 点作GHCD 交 AB 于 H 故EGH 为二面角 ECDA 的平面角 记为 过 E 点作 EF BC 交CS于 点 F 连结 GF 因平面 ABCDCSD GHCDGHGF 平面易知 故 2 EGF 由于 E 为 BS 边中点 故 1 1 2 CFCS 在Rt CFE 中 22 2 11EFCECF 因EFCSD 平面 又EGCD 故由三垂线定理的逆定理得FGCD 从而又可得 CGFCSD 因此 GFCF DSCD 而在Rt CSD 中 22 426 11 2 63 CDCSSD CF GFDS CD 故 在Rt FEG 中 tan3 EF EGF FG 可得 3 EGF 故所求二面角的大小为 6 解法二 如答 19 图 2 以 S O 为坐标原点 射线 OD OC 分别为 x 轴 y 轴正向 建立空间 坐标系 设 AAA A xyz 因平面 CODABCD ADCDADCOD 平面故平面 即点 A 在 xoz 平面上 因此01 AA yzAD uuu v 又 2 22 13 2 2 01 AA xASx A uuv 从而 因 AD BC 故 BC 平面 CSD 即 BCS 与平面 yOx 重合 从而点 A 到平面 BCS 的距离为2 A x 易知 C 0 2 0 D 0 0 因 E 为 BS 的中点 BCS 为直角三角形 知 22 2BSCE uu vuuv 设 B 0 2 B Z B Z 0 则 A Z 2 故 B 0 2 2 所以 E 0 1 1 在 CD 上取点 G 设 G 11 0 x y 使 GE CD 由 11 2 2 0 1 1 0CDGExyCD GE uuu vuu u vuuu v uu u v 故 11 22 1 0 xy 又点 G 在直线 CD 上 即 CGCD uuu vuuu v 由CG uuu v 11 2 0 x y 则有 11 2 22 xy 联立 解得 G 2 4 0 33 故GE uu u v 22 1 33 又由 AD CD 所以二面角 E CD A 的平面角为向量GE uu u v 与向量 DA uu u v 所成的角 记此角为 因为GE uu u v 2 3 3 0 0 1 1 1DADAGE DA uu u vuu u vuu u v uu u v 所 3 cos 2 GE DA GEDA uu u v uu u v uu u vuu u v 故所求的二面角的大小为 6 点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所成的角以及点到平面的距离 等基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 题型 5 线面距离 例 5 2009 重庆卷文 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 如题 18 图 在五面体ABCDEF中 AB DC 2 BAD 2CDAD 四边形ABFE为平行四边形 FA 平面ABCD 3 7FCED 求 直线AB到平面EFCD的距离 二面角FADE 的平面角的正切值 解法一 ABDC DC A平面EFCD AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面EFCD的距离 过点 A 作 AGFD 于 G 因 2 BAD AB DC 故 CDAD 又 FA 平面ABCD 由三垂线定理可 知 CDFD 故CDFAD 面 知CDAG 所 以 AG 为所求直线 AB 到面EFCD的距离 在RtABC 中 22 945FDFCCD 由FA 平面ABCD 得FA AD 从而在Rt FAD中 22 541FAFDAD 22 5 55 FA AD AG FD 即直线AB到平面EFCD的距离为 2 5 5 由己知 FA 平面ABCD 得FA AD 又由 2 BAD 知ADAB 故 AD 平面 ABFE DAAE 所以 FAE 为二面角FADE 的平面角 记为 在RtAED 中 22 743AEEDAD 由ABCDA得 FEBAA 从而 A B C D E F x y z G 2 AFE 在RtAEF 中 22 3 12FEAEAF 故tan2 FE FA 所以二面角FADE 的平面角的正切值为2 解法二 如图以 A 点为坐标原点 AB AD AF 的方向为 x y z的正方向建立空间直角坐标系数 则 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 设 00 0 0 0 Fzz 可得 0 2 2 FCz 由 3FC 即 222 0 223z 解得 0 0 1 F AB DC DC 面EFCD 所以直线 AB 到面EFCD的距离等于点 A 到面EFCD的距离 设 A 点 在平面EFCD上的射影点为 111 G xy z 则 111 AGxy z 因0AG DF 且 0AG CD 而 0 2 1 DF 2 0 0 CD 此即 11 1 20 20 yz x 解得 1 0 x 知 G 点在yoz面上 故 G 点在 FD 上 GFDF A 111 1 GFxyz 故有 1 1 1 2 y z 联立 解得 2 4 0 5 5 G AG 为直线 AB 到面EFCD的距离 而 2 4 0 5 5 AG 所以 2 5 5 AG 因四边形ABFE为平行四边形 则可设 00 0 1 0 E xx 0 2 1 EDx 由 7ED 得 22 0 217x 解得 0 2x 即 2 0 1 E 故 2 0 1 AE 由 0 2 0 AD 0 0 1 AF 因0AD AE 0AD AF 故FAE 为二面角 FADE 的平面角 又 2 0 0 EF 2EF 1AF 所以 tan2 EF FAE FA 点评 线面距离往往转化成点面距离来处理 最后可能转化为空间几何体的体积求得 体积法不用得到垂线 题型 6 线面夹角 例 6 2009 湖南卷文 本小题满分 12 分 如图 3 在正三棱柱 111 ABCABC 中 AB 4 1 7AA 点 D 是 BC 的中点 点 E 在 AC 上 且 DE 1 AE 证明 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 求直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值 解 如图所示 由正三棱柱 111 ABCABC 的性质知 1 AA 平面ABC 又 DE 平面 ABC 所以 DE 1 AA 而 DE 1 AE 111 AAAEA 所以 DE 平面 11 ACC A 又 DE 平面 1 ADE 故平面 1 ADE 平面 11 ACC A 解法解法 1 1 过点 A 作 AF 垂直 1 AE于点F 连接 DF 由 知 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 所以 AF 平面 1 ADE 故ADF 是直线 AD 和 平面 1 ADE所成的角 因为 DE 11 ACC A 所以 DE AC 而 ABC 是边长为 4 的正三角形 于是 AD 2 3 AE 4 CE 4 1 2 CD 3 又因为 1 7AA 所以 1 AE 22 11 AEAAAE 22 7 3 4 1 1 3 7 4 AE AA AF AE 21 sin 8 AF ADF AD 即直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值为 21 8 解法解法 2 2 如图所示 设 O 是 AC 的中点 以 O 为原点建立空间直角坐标系 则相关各点的坐标分别是 A 2 0 0 1 A 2 0 7 D 1 3 0 E 1 0 0 易知 1 AD 3 3 7 DE 0 3 0 AD 3 3 0 设 nx y z r 是平面 1 ADE的一个法向量 则 1 30 3370 n DEy n ADxyz r uuu v r uuu v 解得 7 0 3 xz y 故可取 7 0 3 n r 于 cos n AD n AD nAD r uuu r r uuu r ruuu r 3 721 84 2 3 由此即知 直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值为 21 8 点评 本题主要考查几何体的概念 线面夹角 两平面垂直等 能力方面主要考查空间 想象能力 逻辑思维能力和运算能力 题型 7 面面距离 例 7 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC 3 CC1 2 如图 1 求证 平面 A1BC1 平面 ACD1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 3 求点 B1到平面 A1BC1的距离 1 证明 由于 BC1 AD1 则 BC1 平面 ACD1 同理 A1B 平面 ACD1 则平面 A1BC1 平面 ACD1 2 解 设两平行平面 A1BC1与 ACD1间的距离为 d 则 d 等于 D1到平面 A1BC1的距离 易求 A1C1 5 A1B 25 BC1 13 则 cosA1BC1 65 2 则 sinA1BC1 65 61 则 S 111 CBA 61 由于 111111 DCABBCAD VV 则 3 1 S 11BC A d 2 1 3 1 111 DCAD BB1 代入求得 d 61 6112 即两平行平面间的距离为 61 6112 D1C1 B1 A1 D C B A 3 解 由于线段 B1D1被平面 A1BC1所平分 则 B1 D1到平面 A1BC1的距离相等 则由 2 知点 B1到平面 A1BC1的距离等于 61 6112 点评 立体几何图形必须借助面的衬托 点 线 面的位置关系才能显露地 立 起来 在具体的问题中 证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面 这个辅助平面的获取 正是解题的关键所在 通过对这个平面的截得 延展或构造 纲举目张 问题就迎刃而解了 题型 8 面面角 例 8 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E P 分别是 11 BC AD的中点 M N分别是 1 AE CD的 中 点 1 2ADAAa ABa 求证 MN面 11 ADD A 求二面角PAED 的大小 求三棱锥PDEN 的体积 解析 证明 取CD的中点K 连结 MK NK M N K分别为 1 AK CD CD的中点 1 MKAD NKDD MK面 11 ADD A NK 面 11 ADD A 面 MNK面 11 ADD A MN面 11 ADD A 设F为AD的中点 P为 11 AD的中点 1 PFD D PF 面ABCD 作FHAE 交AE于H 连结PH 则由三垂线定理得AEPH 从而PHF 为二面角PAED 的平面角 在Rt AEF 中 17 2 22 a AFEFa AEa 从而 2 2 2 1717 2 a a AF EFa FH AE a 在Rt PFH 中 1 17 tan 2 DDPF PFH FHFH 故二面角PAED 的正切值为 2 17 1 222 1 1115 4 2444 NEPECD P SSBC CDaaaa 矩形 作 1 DQCD 交 1 CD于Q 由 11 AD 面 11 CDDC得 11 ACDQ DQ 面 11 BCD A 在 1 Rt CDD 中 1 1 22 55 CD DDa a DQa CDa 1 3 P DEND ENPNEP VVSDQ 2 152 3 45 aa 3 1 6 a 点评 求角和距离的基本步骤是作 证 算 此外还要特别注意融合在运算中的推理过 程 推理是运算的基础 运算只是推理过程的延续 如求二面角 只有根据推理过程找到二 面角后 进行简单的运算 才能求出 因此 求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系 的论证 五 五 思维总结思维总结 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系 空间的角主要研究射影以及与射影有 关的定理 空间两直线所成的角 直线和平面所成的角 以及二面角和二面角的平面角 等 解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决 1 空间的角 是对由点 直线 平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行 定量分析的一个重要概念 由它们的定义 可得其取值范围 如两异面直线所成的角 0 2 直线与平面所成的角 0 2 二面角的大小 可用它们的平面角来度量 其平面角 0 对于空间角的计算 总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角 并把它置于一个 平面图形 而且是一个三角形的内角来解决 而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直 来实现的 因此求这些角的过程也是直线 平面的平行与垂直的重要应用 通过空间角的计 算和应用进一步培养运算能力 逻辑推理能力及空间想象能力 1 求异面直线所成的角 一般是平移转化法 方法一是在异面直线中的一条直线上 选择 特殊点 作另一条直线的平行线 或过空间任一点分别作两异面直线的平行线 这 样就作出了两异面直线所成的角 构造一个含 的三角形 解三角形即可 方法二是补 形法 将空间图形补成熟悉的 完整的几何体 这样有利于找到两条异面直线所成的角 2 求直线与平面所成的角 一般先确定直线与平面的交点 斜足 然后在直线上取 一点 除斜足外 作平面的垂线 再连接垂足和斜足 即得直接在平面内的射影 最后解 由垂线 斜线 射影所组成的直角三角形 求出直线与平面所成的角 3 求二面角 一般有直接法和间接法两种 所谓直接法求二面角 就是作出二面角 的平面角来解 其中有棱二面角作平面角的方法通常有 根据定义作二面角的平面角 垂面法作二面角的平面角 利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角 无棱二面角先 作出棱后同上进行 间接法主要是投影法 即在一个平面 上的图形面积为 S 它在另一个 平面 上的投影面积为