2010高三数学高考萃取精华30套（11）

用心 爱心 专心 20102010 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1111 1 1 江西五校联考江西五校联考 20 本小题满分 12 分 已知aR 函数 ln1 a f xx x ln1 x g xxex 其中e为自然对数的底数 1 判断函数 f x在区间 0 e上的单调性 2 是否存在实数 0 0 xe 使曲线 yg x 在点 0 xx 处的切线与 y 轴垂直 若存在 求出 0 x 的值 若不存在 请说明理由 20 1 解 ln1 a f xx x 22 1 axa fx xxx 令 0fx 得xa 若a 0 则 0fx f x在区间 0 e上单调递增 若0ae 当 0 xa 时 0fx 函数 f x在区间 0 a上单调递减 当 xa e 时 0fx 函数 f x在区间 a e上单调递增 若ae 则 0fx 函数 f x在区间 0 e上单调递减 6分 2 解 ln1 x g xxex 0 xe ln1ln11 xx g xxexe 1 ln11ln11 x xx e xexe xx 由 1 可知 当1a 时 1 ln1f xx x 此时 f x在区间 0 e上的最小值为ln10 即 1 ln10 x x 当 0 0 xe 0 0 x e 0 0 1 ln10 x x 0 00 0 1 ln11 10 x g xxe x 曲线 yg x 在点 0 xx 处的切线与y轴垂直等价于方程 0 0g x 有实数解 而 0 0gx 即方程 0 0g x 无实数解 故不存在 0 0 xe 使曲线 yg x 在点 0 xx 处的切线与y轴垂直 12分 21 本小题满分12分 已知线段2 3CD CD的中点为O 动点A满足2ACADa a为正常数 1 建立适当的直角坐标系 求动点A所在的曲线方程 2 若2a 动点B满足4BCBD 且OAOB 试求AOB 面积的最大值和最 小值 21 1 以O为圆心 CD所在直线为轴建立平面直角坐标系 若22 3ACADa 即03a 动点A所在的曲线不存在 若22 3ACADa 即3a 动点A所在的曲线方程为 用心 爱心 专心 0 33 yx 若22 3ACADa 即3a 动点A所在的曲线方程为 22 22 1 3 xy aa 4 分 2 当2a 时 其曲线方程为椭圆 2 2 1 4 x y 由条件知 A B两点均在椭圆 2 2 1 4 x y 上 且OAOB 设 11 A x y 22 B xy OA的斜率为k 0 k 则OA的方程为ykx OB的方程 为 1 yx k 解方程组 2 2 1 4 ykx x y 得 2 1 2 4 14 x k 2 2 1 2 4 14 k y k 同理可求得 2 2 2 2 4 4 k x k 2 2 2 4 4 y k AOB 面积 2 12 2 11 11 2 Skxx k 22 22 1 2 14 4 k kk 8 分 令 2 1 1 kt t 则 2 2 2 1 22 99 499 4 t S tt tt 令 2 2 991125 49 1 24 g tt ttt 所以 25 4 4 g t 即 4 1 5 S 当0k 时 可求得1S 故 4 1 5 S 故S的最小值为 4 5 最大值为 1 12 分 2 另解 令 1122 cos sin sin cos A rrBrr 则 2222 11 2222 22 1 cossin1 4 1 sincos1 4 rr rr 解得 2 1 222 2 2 222 44 cos4sin1 3sin 44 sin4cos1 3cos r r 所以 22 12 222 1664 49sincos169sin 2 r r 而 2 sin 20 1 因此 1 2 14 1 25 Srr 即最大值是 1 最小值是 4 5 22 本小题满分 12 分 函数 01 1 x f xx x 的反函数为 1 fx 数列 n a和 n b满足 1 1 2 a 1 1 nn afa 函数 1 yfx 的图象在点 1 nfnnN 处的切线在 y 轴上的截距为 n b 1 求数列 n a 的通项公式 2 若数列 2 n nn b aa 的项中仅 5 2 55 b aa 最小 求 的取值范围 用心 爱心 专心 3 令函数 2 1 2 1 1 x g xfxf x x 01x 数列 n x满足 1 1 2 x 01 n x 且 1 nn xg x 其中nN 证明 222 23112 12231 nn nn xxxxxx x xx xx x 21 8 22 解 1 令 1 x y x 解得 1 y x y 由01 x 解得0 y 函数 f x的反函数 1 0 1 x fxx x 则错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 得 1 11 1 nn aa 1 n a 是以 2 为首项 1 为公差的等差数列 故 1 1 n a n 4 分 2 1 0 1 x fxx x 1 2 1 1 fx x 1 yfx 在点 1 n fn 处的切线方程为 2 1 1 1 n yxn nn 令0 x得 2 2 1 n n b n 2 22 2 1 24 n nn b nnn aa 仅当5n 时取得最小值 4 55 5 2 的取值范围为 9 11 8 分 3 22 1 222 11 0 1 11111 xxxxx g xfxf xx xxxxx 所以 1 2 1 1 1 n nnnn n x xxxx x 又因01 n x 则 1 nn xx 显然 12 1 1 2 nn xxx 10 分 1 2 1111121 1 2 14482 22 12 1 n nnnn n n n x xxxx x x x 2 11 11 1111 1121 11 8 nnnn nnnn nnnnnnnn xxxx xxxx x xx xxxxx 222 23112 1223112231 21111111 8 nn nnnn xxxxxx x xx xx xxxxxxx 111 21 11211 2 88 nn xxx 12 分 1 1 1 2 n x 1 1 12 n x 1 1 021 n x 222 23112 122311 21121 2 88 nn nnn xxxxxx x xx xx xx 14 分 用心 爱心 专心 仙游一模仙游一模 20 本小题共 14 分 设 M 是由满足下列条件的函数 xf构成的集合 方程 xf0 x有实数根 函数 xf的导数 x f 满足1 0 xf 1 判断函数 4 sin 2 xx xf 是否是集合 M 中的元素 并说明理由 2 集合 M 中的元素 xf具有下面的性质 若 xf的定义域为 D 则对于任 意 m n D 都存在 0 x m n 使得等式 0 xfmnmfnf 成立 试用这一性质证明 方程0 xxf只有一个实数根 20 解 1 因为xxfcos 4 1 2 1 所以 4 3 4 1 x f满足条件 1 0 xf 又因为当0 x时 0 0 f 所以方程0 xxf有实数根 0 所以函数 4 sin 2 xx xf 是集合 M 中的元素 2 假设方程0 xxf存在两个实数根 则0 0 ff 不妨设 根据题意存在数 c 使得等式 cfff 成立 因为 且 ff 所以1 c f 与已知1 0 xf矛盾 所以方程0 xxf只有一个实数根 21 本小题共 14 分 用心 爱心 专心 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 20 15 10 55101520 P A F B Y X 已知 lnf xx 2 17 0 22 g xxmxm 直线l与函数 f x g x的图象 都相切 且与函数 f x的图象的切点的横坐标为1 求直线l的方程及m的值 若 1 h xf xg x 其中 g x 是 g x的导函数 求函数 h x的 最大值 当0ba 时 求证 2 2 ba f abfa a 21 解 1 fx x 1 1 f 直线l的斜率为1 且与函数 f x的图象的切 点坐标为 1 0 直线l的方程为1yx 又 直线l与函数 yg x 的图象相切 方程组 2 1 17 22 yx yxmx 有一解 由上述方程消去y 并整理得 2 2 1 90 xmx 依题意 方程 有两个相等的实数根 2 2 1 490m 解之 得4m 或2m 0m 2m 由 可知 2 17 2 22 g xxx 2g xx ln 1 2 1 h xxxx 1 1 11 x h x xx 当 1 0 x 时 0h x 当 0 x 时 0h x 当0 x 时 h x取最大值 其最大值为 2 2 ln ln2lnln 1 22 abba f abfaaba aa 0ba 0aba 1 0 22 ba a 由 知当 1 0 x 时 0 h xh 当 1 0 x 时 ln 1 xx ln 1 22 baba aa 2 2 ba f abfa a 广东二模广东二模 19 19 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知定点 A 0 1 点 B 在圆 22 1 16F xy 上运动 F为圆心 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P 用心 爱心 专心 I 求动点 P 的轨迹E的方程 若曲线 222 21Q xaxya 被轨迹E包围着 求 实数a的最小值 II 已知 2 0 M 2 0 N 动点G在圆F内 且满足 2 MGNGOG 求 MG NG A的取值范围 19 19 解析 解析 I 由题意得 PAPB 4 2PAPFPBPFrAF P 点轨迹是以 A F 为焦点的椭圆 3 分 设椭圆方程为 22 22 1 yx ab 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 则 2222 24 2 1 3aaabcb 故 点p的轨迹方程为 22 1 3 yx 4 4 分 曲线 222 21Q xaxya 化为 22 1xay 则曲线Q是圆心在 0 a 半径为 1 的圆 而轨迹 E 22 1 3 yx 4 为焦点在 Y 轴上的椭圆 短轴上的顶点为 3 0 3 0 6 分 结合它们的图像知 若曲线Q被轨迹 E 包围着 则3131a a的最小值为31 8 分 II 设 G xy 由 2 MGNGOG 得 222222 2 2 xyxyxy 化简得 22 2xy 即 22 2xy 10 分 而 2 2 MG NGxxy AA y 22 4xy 2 2 1 y 点G在圆 22 1 16F xy 内 22 1 16xy 22 1 1635025yyy 12 分 2 22148y GA GB A的取值范围为 2 48 14 分 20 20 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 设数列 n a的前n项和为 n S 且 1 1a 1 1 nn Sa 求数列 n a的通项公式 是否存在实数 使得数列 2 n n Sn 为等差数列 若存在 求出 的值 若不存在 则说明理由 求证 23 1223341 12222 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn aaaaaaaa 20 20 解析 解析 1 10 nn aS 2n 时 1 10 nn aS 用心 爱心 专心 得 1 111 0 02 n nnnnnnn n a aaSSaaa a 2 n 2 分 由 1 210 nn aS 及 1 1a 得 21211 10112aSaSa n a是首项为1 公比为 2 的等比数列 1 2n n a 4 分 解法一 解法一 由 知 1 2 21 1 2 n n n S 5 分 若 2 n n Sn 为等差数列 则 123 2 24 38SSS 则成等差数列 6 分 132 5 2 2 8664SSS 1 8 分 当1 时 221 nn nn SnSnn 显然 1 n 成等差数列 存在实数1 使得数列 2 n n Sn 成等差数列 9 分 解法二 解法二 由 知 1 2 21 1 2 n n n S 5 分 2 21 21 1 2 nnnn n Snnn 7 分 要使数列 2 n n Sn 成等差数列 则只须10 即1 即可 8 分 故存在实数1 使得数列 2 n n Sn 成等差数列 9 分 11 1 2211 2 1 1 21 21 2121 kk kkkk kk aa 10 分 23 1223341 2222 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn aaaaaaaa 02221 11111111 2 212 12 12121212121 kk 11 2 221 k 12 分 11 0 213 k 111 2 1 3221 k 23 1223341 12222 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn aaaaaaaa 14 分 用心 爱心 专心 21 21 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 设函数 2 22ln 1 f xxxx 求函数 xf的单调区间 当 1 1 1 xe e 时 是否存在整数m 使不等式 22 2mf xmme 恒成 立 若存在 求整数m的值 若不存在 请说明理由 关于x的方程 axxxf 2 在 2 0上恰有两个相异实根 求实数a