2011高考数学总复习 8.7 圆锥曲线的综合问题夯实基础 大纲人教版

1 8 78 7 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 解析几何考查的重点是圆锥曲线 在历年的高考中 占解析几何总分值的四分之三以 上 解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体 通常从以下几个方面进行考查 1 位置问题 直线与圆锥曲线的位置关系问题 是研究解析几何的重点内容 常涉及 直线与曲线交点的判断 弦长 面积 对称 共线等问题 其解法是充分利用方程思想以及 韦达定理 2 最值问题 最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容 其解法 是设变量 建立目标函数 转化为求函数的最值 3 范围问题 范围问题主要是根据条件 建立含有参变量的函数关系式或不等式 然 后确定参数的取值范围 其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围 运用求函数 的值域 最值以及二次方程实根的分布等知识 以上这些问题由于综合性较强 所以备受命题者的青睐 常用来综合考查学生在数形结 合 等价转化 分类转化 逻辑推理等多方面的能力 二 点击双基二 点击双基 1 方程 22 2 2 yx x y 3 表示的曲线是 A 直线 B 双曲线 C 椭圆 D 抛物线 解析 原方程变形为 2 3 2 2 22 yx yx 2 它表示点 x y 到点 2 2 与定直线 x y 3 0 的距离比是2 故选 B 答案 B 2 若点 x y 在椭圆 4x2 y2 4 上 则 2 x y 的最小值为 A 1 B 1 C 3 2 3 D 以上都不对 解析 2 x y 的几何意义是椭圆上的点与定点 2 0 连线的斜率 显然直线与椭圆相切时 取得最值 设直线 y k x 2 代入椭圆方程消去 y 得 4 k2 x2 4k2x 4k2 4 0 令 0 k 3 2 3 kmin 3 2 3 答案 C 3 双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 的离心率为 e1 双曲线 2 2 b y 2 2 a x 1 的离心率为 e2 则 e1 e2的最小值 为 A 42 B 2 C 22 D 4 2 解析 e1 e2 2 e12 e22 2e1e2 2 22 a ba 2 22 b ab 2 a ba 22 b ab 22 2 2 2 a b 2 2 b a 2 a b b a 2 2 2 2 8 当且仅当 a b 时取等号 故选 C 答案 C 4 若椭圆 x2 a2y2 a2的长轴长是短轴长的 2 倍 则 a 解析 方程化为 2 2 a x y2 1 若 a2 1 2 a 2 2 a 2 当 0 a20 b 0 且交抛物线 y2 2px p 0 于 M x1 y1 N x2 y2 两点 1 写出直线 l 的截距式方程 2 证明 1 1 y 2 1 y b 1 3 3 当 a 2p 时 求 MON 的大小 剖析 易知直线 l 的方程为 a x b y 1 欲证 1 1 y 2 1 y b 1 即求 21 21 yy yy 的值 为此只需求直线 l 与抛物线 y2 2px 交点的纵坐标 由根与系数的关系易得 y1 y2 y1y2的值 进而证得 1 1 y 2 1 y b 1 由OM ON 0 易得 MON 90 亦可由 kOM kON 1 求得 MON 90 1 解 直线 l 的截距式方程为 a x b y 1 2 证明 由 及 y2 2px 消去 x 可得 by2 2pay 2pab 0 点 M N 的纵坐标 y1 y2为 的两个根 故 y1 y2 b pa2 y1y2 2pa 所以 1 1 y 2 1 y 21 21 yy yy pa b pa 2 2 b 1 3 解 设直线 OM ON 的斜率分别为 k1 k2 则 k1 1 1 x y k2 2 2 x y 当 a 2p 时 由 2 知 y1y2 2pa 4p2 由 y12 2px1 y22 2px2 相乘得 y1y2 2 4p2x1x2 x1x2 2 2 21 4 p yy 2 22 4 4 p p 4p2 因此 k1k2 21 21 xx yy 2 2 4 4 p p 1 所以 OM ON 即 MON 90 讲评 本题主要考查直线 抛物线等基本知识 考查运用解析几何的方法分析问题和解决问 题的能力 例 2 黄冈高三调研 已知椭圆 C 的方程为 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 的两 条渐近线为 l1 l2 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 使 l l1 又 l 与 l2交于 P 点 设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A B 如图 1 当 l1与 l2夹角为 60 双曲线的焦距为 4 时 求椭圆 C 的方程 4 2 当FA AP时 求 的最大值 剖析 1 求椭圆方程即求 a b 的值 由 l1与 l2的夹角为 60 易得 a b 3 3 由双曲线的距 离为 4 易得 a2 b2 4 进而可求得 a b 2 由FA AP 欲求 的最大值 需求 A P 的坐标 而 P 是 l 与 l1的交点 故需求 l 的方