2010年高中数学高考复 习必备精品：几何概型及随机模拟

用心 爱心 专心 几何概型及随机模拟几何概型及随机模拟 一 一 课标要求课标要求 1 了解随机数的意义 能运用模拟方法 包括计算器产生随机数来进行模拟 估计概 率 初步体会几何概型的意义 2 通过阅读材料 了解人类认识随机现象的过程 二 二 命题走向命题走向 本讲内容在高考中所占比较轻 纵贯近几年的高考对概率要求降低 但本讲内容使新加 内容 考试涉及的可能性较大 预测 2010 年高考 1 题目类型多以选择题 填空题形式出现 2 本建考试的重点内容几何概型的求值问题 我们要善于将实际问题转化为概率模 型处理 三 三 要点精讲要点精讲 1 随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数 并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的 2 随机数的产生方法 1 利用函数计算器可以得到 0 1 之间的随机数 2 在 Scilab 语言中 应用不同的函数可产生 0 1 或 a b 之间的随机数 3 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样 的概率模型为几何概率模型 4 几何概型的概率公式 P A 积 的区域长度 面积或体试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A 5 几种常见的几何概型 1 设线段 l 是线段 L 的一部分 向线段 L 上任投一点 若落在线段 l 上的点数与线段 L 的长度成正比 而与线段 l 在线段 l 上的相对位置无关 则点落在线段 l 上的概率为 P l 的长度 L 的长度 2 设平面区域 g 是平面区域 G 的一部分 向区域 G 上任投一点 若落在区域 g 上的点 数与区域 g 的面积成正比 而与区域 g 在区域 G 上的相对位置无关 则点落在区域 g 上概率为 P g 的面积 G 的面积 3 设空间区域上 v 是空间区域 V 的一部分 向区域 V 上任投一点 若落在区域 v 上的 点数与区域 v 的体积成正比 而与区域 v 在区域 v 上的相对位置无关 则点落在区域 V 上的概 率为 P v 的体积 V 的体积 四 四 典例解析典例解析 题型 1 线长问题 例 1 09 山东山东 11 在区间 1 1 上随机取一个数x cos 2 x 的值介于 0 到 1 2 之间的概率 为 用心 爱心 专心 A 1 3 B 2 C 1 2 D 2 3 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 要使cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之 间 需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x 或 2 1 3 x 区间长度为 3 2 由 几何概型知cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 故选 A 答案 A 例 2 20092009 辽宁卷文 辽宁卷文 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内 随机取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A 4 B 1 4 C 8 D 1 8 解析 长方形面积为 2 以 O 为圆心 1 为半径作圆 在矩形内部的部分 半圆 面积为 2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 2 4 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为1 4 答案 B 例 3 假设车站每隔 10 分钟发一班车 随机到达车站 问等车时间不超过 3 分钟的概率 解 以两班车出发间隔 0 10 区间作为样本空间 S 乘 客随机地到达 即在这个长度 是 10 的区间里任何一个点都 是等可能地发生 因此是几何概率问题 要使得等车的时间不超过 3 分钟 即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点 p 的长度 的长度 S a 10 3 0 3 题型 2 面积问题 例 4 投镖游戏中的靶子由边长为 1 米的四方板构成 并将 此板分成四个边长为 1 2 米的小方块 实验是向板中投镖 事件 A 表示投中阴影部分为成功 考虑事件 A 发生的概率 分析与解答 类似于引例 1 的解释 完全可以把此引例中的 实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起 既事件 组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应 则事件 A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应 这 0 S 10 用心 爱心 专心 样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件 A 的概率是合理的 这一点我们完 全可以用引例 1 的方法验证其正确性 解析 P A 1 2 2 12 1 4 例 5 CB 对讲机问题 CB 即 CitizenBand 市民波段的英文缩写 两个 CB 对讲机持有 者 莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作 他们的对讲机的接收范围为 25 公里 在下午 3 0O 时莉莉正在基地正东距基地 30 公里以内的某处向基地行驶 而霍伊在下午 3 00 时正在基 地正北距基地 40 公里以内的某地向基地行驶 试问在下午 3 0O 时他们能够通过对讲机交 谈的概率有多大 解 设 x 和 y 分别代表莉莉和霍伊距某地的距离 于是400 300 yx 则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对 x y 这里 x y 都在它们各自的限制范围内 则所有这样的有序 数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域 每一 个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离 不超过 25 公里时发生 如右图 因此构成该事件的点 由满足不等式 25 22 yx 的数对组成 此不等式等价于625 22 yx 右图中的方形区域代表基本事件组 阴影部分代 表所求事件 方形区域的面积为 1200 平方米公 里 而事件的面积为 4 625 25 4 1 2 于是有41 0 90 2 4800 625 1200 4 625 p 例 6 意大利馅饼问题 山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板 边长 为 18 厘米 挂于前门附近的墙上 顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种 意大利馅饼中的一个 投镖靶中画有三个同心圆 圆心在靶的中心 当投镖击中半径为 1 厘 米的最内层圆域时 可得到一个大馅饼 当击中半径为 1 厘米到 2 厘米之间的环域时 可得 到一个中馅饼 如果击中半径为 2 厘米到 3 厘米之间的环域时 可得到一个小馅饼 如果击 中靶上的其他部分 则得不到谄饼 我们假设每一个顾客都能投镖中靶 并假设每个圆的周 边线没有宽度 即每个投镖不会击中线上 试求一顾客将嬴得 a 一张大馅饼 b 一张中馅饼 c 一张小馅饼 d 没得到馅饼的概率 解析 我们实验的样本空间可由一个边长为 18 的正方形表示 右图表明 R 和子区域 r1 r2 r3和 r 它们分别表示得大馅饼 中馅饼 小馅饼或没得到馅饼的事件 用心 爱心 专心 01 0 32418 1 2 2 1 1 的面积 的面积 R r rpa 03 0 324 3 18 1 2 2 22 2 2 的面积 的面积 R r rpb 05 0 324 5 18 2 3 2 22 3 3 的面积 的面积 R r rpc 91 0 324 3 18 3 324 2 2 4 4 的面积 的面积 R r rpd 题型 3 体积问题 例 7 1 在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌 今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜 下观察 求发现大肠杆菌的概率 解析 由于取水样的随机性 所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比 即 2 400 0 005 2 如果在一个 5 万平方公里的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架贮藏着石油 假 如在这海领域里随意选定一点钻探 问钻到石油的概率是多少 解析 由于选点的随机性 可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的 因而所求概 率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比 即等于 40 50000 0 0008 例 8 在线段 0 1 上任意投三个点 问由 0 至三点的三线段 能构成三角形与不能构成 三角形这两个事件中哪一个事件的概率大 解析 设 0 到三点的三线段长分别为 x y z 即相应的 z 右端点坐标为 x y z 显然1 0 zyx 这三条线 1 C 段构成三角形的充要条件是 A D xzyyzxzyx 在线段 0 1 上任意投三点 x y z 与立方体 0 1 y 10 x 10 y 10 z中的点 zyx 1 一一对应 可见所求 构成三角形 的概率 等价于 x B 边长为 1 的立方体 T 中均匀地掷点 而点落在 xzyyzxzyx 区域中的概率 这也就是落在图中由 ADC ADB BDC AOC AOB BOC 所围成的区域 G 中的概率 由于 1 TV 2 1 1 2 1 3 1 31 33 GV 2 1 TVGVp 由此得 能与不能构成三角形两事件的概率一样大 用心 爱心 专心 题型 4 随机模拟 例 9 随机地向半圆 2 02yaxx a为正常数 内掷一点 点落在园内任何区域 的概率与区域的面积成正比 求原点与该点的连线与x轴的夹角小于 4 的概率 解析 半圆域如图 设A 原点与该点连线与x轴夹角小于 4 由几何概率的定义 22 2 11 42 1 2 aa A P A a 的面积 半园的面积 11 2 例 10 随机地取两个正数x和y 这两个数中的每一个都不超过 1 试求x与y之和不 超过 1 积不小于 0 09 的概率 解析 01 01xy 不等式确定平面域S A 1 0 09xyxy 则A发生的充要条件为01 10 09xyxy 不 等式确定了S的子域A 故 0 9 0 1 0 9 1 A P Axdx x 的面积 S的面积 0 40 18ln30 2 例 11 曲线 y x2 1 与 x 轴 y 轴围成一个区域 A 直线 x 1 直线 y 1 x 轴围成一个正 方形 向正方形中随机地撒一把芝麻 利用计算机来模拟这个试验 并统计出落在区域 A 内 的芝麻数与落在正方形中的芝麻数 答案 如下表 由计算机产生两例 0 1 之间的随机数 它们分别表示随机点 x y 的坐 标 如果一个点 x y 满足 y x2 1 就表示这个点落在区域 A 内 在下表中最后一列相应 地就填上 1 否则填 0 xy计数 0 5988950 9407940 0 5122840 1189611 0 4968410 7844170 0 1127960 6906341 0 3596000 3714411 0 1012600 6505121 0 9473860 9021270 0 1176180 3056731 0 5164650 2229071 0 y x y x a 4 x 1 y y 1 y 0 9 0 10 y y 用心 爱心 专心 0 5963930 9696950 五 五 思维总结思维总结 1 几何概率是考研大纲上要求的基本内容 也是近年来新增考察内容之一 2 有关几何概率的题目难度不大 但需要准确理解题意 利用图形分析问题