2011年高考数学二轮考点专题突破 空间点、直线、平面之间的关系

用心 爱心 专心 1 第二讲第二讲 空间点 直线 平面之间的关系空间点 直线 平面之间的关系 一 选择题 1 2010 山东 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 解析 A 项 平行直线的平行投影也可以是两条平行线 B 项 平行于同一直线的 两个平面可平行 可相交 C 项 垂直于同一平面的两个平面可平行 可相交 D 项 正确 答案 D 2 2010 浙江 设 l m 是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若 l m m 则 l B 若 l l m 则 m C 若 l m 则 l m D 若 l m 则 l m 解析 选项 A 由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这 个平面 选项 B 两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个 平面 选项 C 一条直线平行于一个平面 得不到这条直线平行于这个平面内任意 一条直线 选项 D 两条直线同时平行于同一平面 这两条直线可能平行 相交或 异面 故选 B 答案 B 3 2009 江西 如图 在四面体 ABCD 中 若截面 PQMN 是正方形 则在下列命题中 错误的为 A AC BD B AC 截面 PQMN C AC BD D 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 解析 截面 PQMN 为正方形 PQ MN PQ 平面 DAC 又 面 ABC 面 ADC AC PQ 面 ABC PQ AC 同理可证 QM BD 故有选 项A B D 正确 C 错误 用心 爱心 专心 2 答案 C 4 如图所示 直线 PA 垂直于 O 所在的平面 ABC 内接于 O 且 AB 为 O 的直 径 点 M 为线段 PB 的中点 现有以下命题 BC PC OM 平面 APC 点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长 其中真命题的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 PA 平面 ABC PA BC 又 BC AC BC 平面 PAC BC PC OM PA OM 平面 PAC BC 平面 PAC BC 是点 B 到平面 PAC 的距离 故 都正确 答案 A 5 2010 辽宁 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁 条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 B 1 2 622 C D 0 2 62622 解析 构成如图所示的两种三棱锥 图 1 中有 AC BD a 取 AC 中点 E AB BC 2 则 BE AC BE 易得 DE BE 在 BDE 中由三边关系可得 2 a 解得 4 a2 4 4 a2 4 0 a 2 2 图 2 取 BD 中点 F AB AD a AF BD AF BC CD BD 2 a2 1 CF 3 在 AFC 中由三边关系可得 2 2 解得 a 3a2 136262 综上 a 的取值范围为 0 故选 A 62 用心 爱心 专心 3 答案 A 二 填空题 6 2009 安徽 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的 编号 相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 三条高线的交点 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高 的垂足重合 任何三个面的面积之和都大于四个面的面积 分别作三组相对棱 中点的连线 所得的三条线段相交于一点 答案 7 2009 江西 体积为 8 的一个正方体 其全面积与球 O 的表面积相等 则球 O 的体积 等于 解析 设正方体棱长为 a 球半径为 r a3 8 a 2 4 r2 6a2 r V球 3 6 4 3 6 8 6 答案 8 6 8 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC1 P 是 BC1上一动点 则 CP PA1的最小值是 2 解析 将 BCC1沿 BC1线折到面 A1C1B 上 如图 连结 A1C 即为 CP PA1的最小 值 过点 C 作 CD C1D 于 D 点 BCC1为等腰直角三角形 CD 1 C1D 1 A1D A1C1 C1D 7 A1C 5 A1D2 CD249 12 答案 5 2 9 2009 浙江理 如图 在长方形 ABCD 中 AB 2 BC 1 E 为 DC 的中点 F 为线 段 EC 端点除外 上一动点 现将 AFD 沿 AF 折起 使平面 ABD 平面 ABC 在平 用心 爱心 专心 4 面 ABD 内过点 D 作 DK AB K 为垂足 设 AK t 则 t 的取值范围是 解析 如图 在平面 ADF 内过 D 作 DH AF 垂足为 H 连结 HK 过 F 点作 PF BC 交 AB 于点 P 设 FAB 则 cos 2 2 2 5 5 设 DF x 则 1 x 2 DK 平面 ABC DH AF 则 AH HK 在 Rt ADF 中 AF DH 1 x2 x2 1 x2 ADF 和 APF 都是直角三角形 PF AD Rt ADF Rt APF AH AP DF x 1 1 x2 在 Rt AHK 中 cos AH AK 在 Rt APF 中 cos AP AF cos x 1 1 x2 t x 1 x2 1 t 1 x 2 1 2 t 1 1 t 1 2 即 2 2 1 1 x2 t 2 5 5 2 2 t2 1 t2 t 2 5 5 即 1 t2 2 t 1 1 2 1 1 t2 4 5 5 4 1 2 综上知 t 1 1 2 用心 爱心 专心 5 答案 1 2 1 三 解答题 10 2010 江苏镇江调研 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA PB 底面 ABCD 是菱形 且 ABC 60 点 M 是 AB 的中点 点 E 在棱 PD 上 满足 DE 2PE 求证 1 平面 PAB 平面 PMC 2 直线 PB 平面 EMC 证明 1 PA PB M 是 AB 的中点 PM AB 底面 ABCD 是菱形 BA BC ABC 60 ABC 是等边三角形 则 CM AB PM CM M AB 平面 PMC AB 平面 PAB 平面 PAB 平面 PMC 2 连 BD 交 MC 于 F 连 EF 由 CD 2BM CD BM 易得 CDF MBF DF 2BF DE 2PE EF PB EF 平面 EMC PB 平面 EMC PB 平面 EMC 11 2009 广东理 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点 E 是正方形 BCC1B1 的中心 点 F G 分别是棱 C1D1 AA1的中点 设点 E1 G1分别是点 E G 在平面 用心 爱心 专心 6 DCC1D1内的正投影 1 求以 E 为顶点 以四边形 FGAE 在平面 DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的 体积 2 证明 直线 FG1 平面 FEE1 3 求异面直线 E1G1与 EA 所成角的正弦值 1 解 点 A E G F 在平面 DCC1D1的投影分别为点 D E1 G1 F 连结 EF EE1 EG1 ED 则 VE DE1FG1 VF EE1G1 VD EE1G1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 2 证明 点 E 在平面 DCC1D1的正投影为点 E1 则 EE1 面 DCC1D1 FG1 平面 DCC1D1 EE1 FG1 在 E1FG1中 FG1 FD2 1 G1D2 12 E1F E1G1 2 FC2 1 E1C2 12 FE FG E1G 4 FG1 FE1 2 12 12 1 FE1 EE1 E1 FG1 平面 FEE1 3 解 取正方形 ADD1A1的中心为 M 连结 EM AM 则 EM 綊 E1G1 且 EM 面 AA1D1D EM AM AM AG2 MG22 AE EM 2 AB2 BC 2 2 AG26 sin AEM AM AE 2 6 3 3 异面直线 E1G1与 EA 所成角的正弦值为 3 3 12 2009 海南 宁夏卷 如右图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 每条侧棱的长都 是底面边长的倍 P 为侧棱 SD 上的点 2 用心 爱心 专心 7 1 求证 AC SD 2 若 SD 平面 PAC 求二面角 P AC D 的大小 3 在 2 的条件下 侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在 求 SE EC 的值 若不存在 试说明理由 解 1 证明 连接 BD 设 AC 交 BD 于点 O 由题意知 SO AC 在正方形 ABCD 中 AC BD 又 SO BD O AC 平面 SBD AC SD 2 设正方形 ABCD 的边长为 a 则 SD a 2 又 OD a SDO 60 2 2 连接 OP 由 1 知 AC 平面 SBD AC OP 且 AC OD POD 是二面角 P AC D 的平面角 由 SD 平面 PAC 知 SD OP