2010高三数学高考《三角函数》专题学案：三角函数的图象与性质

用心 爱心 专心 第第 7 课时课时 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 用 五点法 作正弦 余弦函数的图象 五点法 作图实质上是选取函数的一个 将其四等分 分别找到图象的 点 点及 平衡点 由这五个点大致确定函数的位置与形状 2 y sinx y cosx y tanx 的图象 函 数 y sinxy cosxy tanx 图 象 注 正弦函数的对称中心为 对称轴为 余弦函数的对称中心为 对称轴为 正切函数的对称中心为 3 五点法 作 y Asin x 0 的图象 令 x x 转化为 y sinx 作图象用五点法 通过列表 描点后作图象 函数 y Asin x 的图象与函数 y sinx 的图象关系 振幅变换 y Asinx A 0 A 1 的图象 可以看做是 y sinx 的图象上所有点的纵坐标都 A 1 或 0 A0 1 的图象 可以看做是把 y sinx 的图象上各点的横坐标 1 或 0 0 的周期为 相位变换 y sin x 0 的图象 可以看做是把 y sinx 的图象上各点向 0 或向 0 或向右 0 或向右 0 0 若 A 3 2 1 3 作出函数在一个周期内的简图 若 y 表示一个振动量 其振动频率是 2 当 x 24 时 相位是 3 求 和 解 解 1 y 3sin 32 x 列表 略 图象如下 32 x 0 2 2 3 2 x 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 y030 30 2 依题意有 324 2 2 f 6 4 变式训练变式训练 1 已知函数 y 2sin 3 2 x 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在一个周期内的图象 3 说明 y 2sin 3 2 x的图象可由 y sinx 的图象经过怎样的变换而得到 解解 1 y 2sin 3 2 x的振幅 A 2 周期 T 2 2 初相 3 2 令 X 2x 3 则 y 2sin 3 2 x 2sinX 列表 并描点画出图象 x 6 12 3 12 7 6 5 X0 2 2 3 2 y sinX010 10 y 2sin 2x 3 020 20 3 2 1 1 2 3 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 x y 0 用心 爱心 专心 3 方法一方法一 把 y sinx 的图象上所有的点向左平移 3 个单位 得到 y sin 3 x的图象 再 把 y sin 3 x的图象上的点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到 y sin 3 2 x的图象 最后把 y sin 3 2 x上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标不变 即可得到 y 2sin 3 2 x的图象 方法二方法二 将 y sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到 y sin2x 的图象 再将 y sin2x 的图象向左平移 6 个单位 得到 y sin2 6 x sin 3 2 x的图象 再将 y sin 3 2 x的图象上每一点的横坐标保持不变 纵坐标伸长为原来的 2 倍 得到 y 2sin 3 2 x的图象 例例 2 已知函数 y 3sin 42 1 x 1 用五点法作出函数的图象 2 说明此图象是由 y sinx 的图象经过怎么样的变化得到的 3 求此函数的振幅 周期和初相 4 求此函数图象的对称轴方程 对称中心 解解 1 列表 x 2 2 3 2 5 2 7 2 9 42 1 x 0 2 2 3 2 3sin 42 1 x 030 30 描点 连线 如图所示 用心 爱心 专心 2 方法一方法一 先平移 后伸缩 先把 y sinx 的图象上所有点向右平移 4 个单位 得到 y sin 4 x的图象 再把 y sin 4 x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到 y sin 42 1 x的图象 最后将 y sin 42 1 x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 横 坐标不变 就得到 y 3sin 42 1 x的图象 方法二方法二 先伸缩 后平移 先把 y sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标不变 得到 y sin 2 1 x 的图 象 再把 y sin 2 1 x 图象上所有的点向右平移 2 个单位 得到 y sin 2 1 x 2 sin 42 x 的图象 最后将 y sin 42 x 的图象上所有点的纵坐标伸长到 原来的 3 倍 横坐标不变 就得到 y 3sin 42 1 x的图象 3 周期 T 2 2 1 2 4 振幅 A 3 初相是 4 4 令 42 1 x 2 k k Z 得 x 2k 2 3 k Z 此为对称轴方程 令 2 1 x 4 k k Z 得 x 2 2k k Z 对称中心为 0 2 2 k k Z 变式训练变式训练 2 已知函数 2 3 cossin3 2 xxxcoxxf RxR 的最小正周期为 且图象关 于 6 x对称 1 求 f x 的解析式 2 若函数 y 1 f x 的图象与直线 y a 在 2 0 上中有一个交点 求实数 a 的范围 解 解 1 2 3 2 2cos1 2sin 2 3 wx wxxf 12cos 2 1 2sin 2 3 wxwx 1 6 2sin wx 用心 爱心 专心 w R 1 2 2 w w T 当 w 1 时 1 6 2sin xxf 此时 6 x不是它的对称轴 w 1 6 2sin 11 6 2sin xxxf 2 6 2sin 1 xxfy 6 7 6 2 62 0 xx 如图 直线 y a 在 2 0 上与 y 1 f x 图象只有一个交点 2 1 2 1 a或 a 1 例例 3 如图为 y Asin x 的图象的一段 求其解析式 解解 方法一方法一 以 N 为第一个零点 则 A 3 T 2 36 5 2 此时解析式为 y 3sin 2x 点 N 0 6 6 2 0 3 所求解析式为 y 3sin 3 2 x 方法二方法二 由图象知 A 3 以 M 0 3 为第一个零点 P 0 6 5 为第二个零点 列方程组 6 5 0 3 解之得 3 2 2 所求解析式为 y 3sin 3 2 2 x 变式训练变式训练 3 函数 y Asin x 0 2 x R 的部分图象如图 则函数表达式为 0 2 1 2 1 y x 6 6 7 用心 爱心 专心 A y 4sin 48 x B y 4sin 48 x C y 4sin 48 x D y 4sin 48 x 答案答案 B 例例 4 设关于 x 的方程 cos2x 3sin2x k 1 在 0 2 内有两不同根 求 的值及 k 的取值范围 解 解 由 cos2x 3sin2x k 1 得 2sin 2x 6 k 1 即 sin 2x 6 2 1 k 设 c y sin 2x 6 l y 2 1 k 在同一坐标系中作出它们的图象 略 由图易知当 2 1 2 1 k 1 时 即 0 k 1 时 直线 l 与曲线 c 有两个交点 且两交点的横坐标为 从图象中还可以看出 关于 x 6 对称 故 3 变式训练变式训练 4 已知函数 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 M 4 3 0 对称 且在区间 0 2 上是单调函数 求 和 的值 解 解 由 f x 是偶函数 得 f x f x 即 sin x sin x cos sin x cos sin x 对任意 x 都成立 且 0 cos 0 依题意设 0 2 由 f x 的图象关于点 M 对称 得 f 4 3 x f 4 3 x 取 x 0 得 f 4 3 f 4 3 f 4 3 0 f 4 3 sin 4 3 2 cos 4 3 0 又 0 得 4 3 2 k 3 2 2k 1 k 0 1 2 当 k 0 时 3 2 f x sin 23 2 x 在 0 2 上是减函数 当 k 1 时 2 f x sin 2x 2 在 0 2 上是减函数 用心 爱心 专心 当 k 2 时 3 10 f x sin x 2 在 0 2 上不是减函数 3 2 或 2 1 图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换 y sin