2010高考数学二轮复习（15）圆锥曲线方程学案

用心 爱心 专心 1515 圆锥曲线与方程 圆锥曲线与方程 学法导航学法导航 圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多 比较繁杂 对学生来说不一定要把所有的结 论一一记住 关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系 因此 在复习过 程中要注意下述几个问题 1 在解答有关圆锥曲线问题时 首先要考虑圆锥曲线焦点的位置 对于抛物线还应 同时注意开口方向 这是减少或避免错误的一个关键 同时勿忘用定义解题 2 在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时 可以利用方程组 消元后得到二次方程 用判别式进行判 但对直线与抛物线的对称轴平行时 直线与双曲线 的渐近线平行时 不能使用判别式 为避免繁琐运算并准确判断特殊情况 此时要注意用 好分类讨论和数形结合的思想方法 画出方程所表示的曲线 通过图形求解 当直线与圆锥 曲线相交时 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设而不求计算弦长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 差分法 设而不求 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联 系起来 相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间的关系灵活转化 往 往就能事半功倍 3 求圆锥曲线方程通常使用待定系数法 若能据条件发现符合圆锥曲线定义时 则 用定义求圆锥曲线方程非常简捷 在处理与圆锥曲线的焦点 准线有关问题 也可反用圆锥 曲线定义简化运算或证明过程 一般求已知曲线类型的曲线方程问题 可采用 先定形 后定式 再定量 的步骤 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式 根据 形 设方程的形式 注意曲线系方程的应用 如当椭圆的焦点不确定 在哪个坐标轴上时 可设方程为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 定量 由题设中的条件找到 式 中特定系数的等量关系 通过解方程得到量的大 小 4 在解与焦点三角形 椭圆 双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角 形 有关的命题时 一般需使用正余弦定理 和分比定理及圆锥曲线定义 5 要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长 中点弦 定比分点弦 弦对定点张直角等方面的应用 6 求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一 它是各种知识的综合运用 具有较 大的灵活性 求动点轨迹方程的实质是将 曲线 化成 方程 将 形 化成 数 使 我们通过对方程的研究来认识曲线的性质 求动点轨迹方程的常用方法有 直接法 定义 法 几何法 代入转移法 参数法 交轨法等 解题时 注意求轨迹的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 用心 爱心 专心 专题综合专题综合 圆锥曲线是解析几何的核心内容 是中学数学的重点 难点 是高考命题的热点之一 也是高考常见新颖题的板块 各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示 尤其是 在最近几年的高考试题中 平面向量与解析几何的融合 提高了题目的综合性 形成了题目多 变 解法灵活的特点 充分体现了高考中以能力立意的命题方向 1 1 圆锥曲线中最值和范围问题圆锥曲线中最值和范围问题 例 1 1 2009 辽宁卷理 以知F是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右 支上的动点 则PFPA 的最小值为 解析 注意到P点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当A P F 三点共线时等号成立 答案 9 例 2 2009 重庆卷文 理 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的 取值范围为 解析 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解析 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 用心 爱心 专心 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 答案 21 1 例 3 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上 一动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 考点定位 本小题考查抛物线的定义 点到直线的距离 综合题 解析 1 直线 2 1lx 为抛物线 2 4yx 的准线 由抛物线的定义知 P到 2 l的距离等 于P到抛物线的焦点 0 1 F的距离 故本题化为在抛物线 2 4yx 上找一个点P使得P到 点 0 1 F和直线 2 l的距离之和最小 最小值为 0 1 F到直线 1 4 360lxy 的距离 即2 5 604 min d 故选择 A 解析 2 如图 由题意可知 22 3 1 06 2 34 d 答案 A A 例 4 2009 山东卷文 本小题满分 14 分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为E 1 求轨迹E的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个 交点A B 且OAOB O为坐标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l与轨迹E只有一个公 共点B1 当R为何值时 A1B1 取得最大值 并求最大值 解解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy 用心 爱心 专心 当m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解 方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点A B 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A B 且OAOB 用心 爱心 专心 3 当 4 1 m时 轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于A1 由 2 知 2 1 t R k 即 222 1 tRk 因为l与轨迹E只有一个公共点B1 由 2 知 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 有唯一解 则 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 由 得 2 2 2 2 2 2 3 4 1 4 R t R R k R 此时A B重合为B1 x1 y1 点 由 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 中 21 xx 所以 22 2 1 22 441616 143 tR x kR B1 x1 y1 点在椭圆上 所以 2 22 11 2 14 1 43 R yx R 所以 222 111 2 4 5OBxy R 在直角三角形OA1B1中 22222 1111 22 44 55 ABOBOARR RR 因为 2 2 4 4R R 当且仅当2 1 2 R 时取等号 所以 2 11 541AB 即 当2 1 2 R 时 A1B1 取得最大值 最大值为 1 命题立意 本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系 以及直线与椭圆的位置关系 可 以通过解方程组法研究有没有交点问题 有几个交点的问题 2 2 圆锥曲线中的定值定点问题圆锥曲线中的定值定点问题 例 5 2009 北京理 本小题共 14 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线C的方程 用心 爱心 专心 设直线l是圆 22 2O xy 上动点 0000 0 P xyx y 处的切线 l与双曲线 C交 于不同的两点 A B 证明AOB 的大小为定值 解法解法 1 1 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 且 222 000 164 34820 xxx 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx cos OA OB AOB OA OB 且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 的大小为90 用心 爱心 专心 解法解法 2 2 同解法 1 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 1212 0OA OBx xy y AOB 的大小为90 22 00 2xy 且 00 0 x y 22 00 02 02xy 从而当 2 0 340 x 时 方程 和 方程 的判别式均大于零 3 3 圆锥曲线与其他章节的综合问题圆锥曲线与其他章节的综合问题 例 6 点 00 P xy在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 00 cos sin 0 2 xayb 直线 2 l与直线 00 1 22 1 xy lxy ab 垂直 O 为坐标原点 直线 OP 的倾斜角为 直线 2 l的倾斜角为 I 证明 点P是椭圆 22 22 1 xy ab 与直线 1 l的唯一交点 II 证明 tan tan tan 构成等比数列 解 本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程 直线和曲线的几何性质 等比数 列等基础知识 考查综合运用知识分析问题 解决问题的能力 本小题满分 13 分 解 I 方法一 由 00 22 1 xy xy ab 得 2 2 0 2 0 b yax x a y 代入椭圆 22 22 1 xy ab 得 2222 2 00 24222 000 21 1 0 b xb xb xx aa ya yy 将 0 0 cos sin xa yb 代入上式 得 222 2 coscos0 xaxa 从而cos xa 用心 爱心 专心 因此 方程组 22 22 00 22 1 1 xy ab xy xy ab 有唯一解 0 0 xx yy 即直线 1 l与椭圆有唯一交点 P 方法二 显然 P 是椭圆与 1 l的交点 若 Q 111 cos sin 02ab 是椭圆与 1 l的交点 代入 1 l的方程 cossin 1xy ab 得 11 coscossinsin1 即 11 cos 1 故 P 与 Q 重合 方法三 在第一象限内 由 22 22 1 xy ab 可得 2222 00 bb yaxyax aa 椭圆在点 P 处的切线斜率 2 00 0 2 22 0 0 bxb x ky x a y a ax 切线方程为 2 0 00 2 0 b x yxxy a y 即 00 22 1 x xy y ab 因此 1 l就是椭圆在点 P 处的切线 w w w k s 5 u c o m 根据椭圆切线的性质 P 是椭圆与直线 1 l的唯一交点 II 0 0 tantan yb xa 1 l的斜率为 2 0 2 0 x b y a 2 l的斜率为 2 0 2 0 tantan y aa x bb 由此得 2 tantantan0 tan tan tan 构成等比数列 4 创新性试题创新性试题 例 7 2009 北京理 点P在直线 1l yx 上 若存在过P的直线交抛物线 2 yx 于 A B两点 且 PAAB 则称点P为 点 那么下列结论中正确的是 A 直线l上的所有点都是 点 B 直线l上仅有有限个点是 点 C 直线l上的所有点都不是 点 用心 爱心 专心 D 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 答案答案 A 解析解析 本题主要考查阅读与理解 信息迁移以及学生的学习潜力 考查学生分析问题和解 决问题的能力 属于创新题型 本题采作数形结合法易于求解 如图 设 1A m nP x x 则 2 22Bmxnx 2 A Byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 消去n 整理得关于x的方程 22 41 210 xmxm 1 222 41 4 21 8850mmmm 恒成立 方程 1 恒有实数解 应选 A 5 5 探究型的存在性问题探究型的存在性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径 解决非传统完备问题的能力 是命 题者根据学科特点 将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的 要求考生自己观察 分析 创造性地运用所学知识和方法解决问题 例例 8 8 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 3 2 2 求 a b 的值 C 上是否存在点 P 使得当 l 绕 F 转到某一位置时 有 OBOAOP 成立 若存在 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程 若不存在 说明理由 解析 本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力 第一问直接运用点到直线的距离 公式以及椭圆有关关系式计算 第二问利用向量坐标关系及方程的思想 借助根与系数关 系解决问题 注意特殊情况的处理 解 设 0 cF 当l的斜率为 1 时 其方程为Ocyx 0 到l的距离为 已知椭圆 C 的离心率为 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 2 2 两点 当 l 的斜率为 1 时 坐标原点 O 到 l 的距离为 用心 爱心 专心 22 00 c c 故 2 2 2 c 1 c w w w k s 5 u c o m 由 3 3 a c e 得 3 a 22 cab 2 C 上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有OBOAOP 成立 由 知 C 的方程为 2 2x 2 3y 6 设 2211 yxByxA 1 xkylxl的方程为轴时 设不垂直当 C OBOAOPP 使上的点成立的充要条件是 点的坐标为 2121 yyxxP 且6 3 2 2 21 2 21 yyxx 整理得 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyxxyxyx 632 632 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxCBA上 即在 又 故 0332 2121 yyxx 将 并化简得代入 632 1 22 yxxky 0636 32 2222 kxkxk w w w k s 5 u c o m 于是 2 2 21 32 6 k k xx 21x x 2 2 32 63 k k 2 2 21 2 21 32 4 2 1 k k xxkyy 代入 解得 2 2 k 此时 2 3 21 xx 于是 2 2121 xxkyy 2 k 即 2 2 3 k P w w w k s 5 u c o m 因此 当2 k时 2 2 2 3 P 022 yxl的方程为 用心 爱心 专心 当2 k时 2 2 2 3 P 022 yxl的方程为 当l垂直于x轴时 由 0 2 OBOA知 C 上不存在点 P 使 OBOAOP 成立 综上 C 上存在点 2 2 2 3 P使OBOAOP 成立 此时l的方程为 022 yx 专题突破专题突破 1 椭圆 5x2 ky2 5 的一个焦点是 0 2 那么k等于 B A 1 B 1 C 5 D 5 2 2008 年陕西卷 双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 的左 右焦点分别是 12 FF 过 1 F作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M点 若 2 MF垂直于x轴 则双曲线的离心 率为 B A 6 B 3 C 2 D 3 3 3 点P是双曲线 22 1 412 xy 上的一点 1 F 2 F分别是双曲线的左 右两焦点 12 90FPF 则 12 PFPF 等于 D A48 B32 C16 D24 4 抛物线 2 24 0 yax a 上有一点M 它的横坐标是 3 它到焦点的距离为 5 则抛物 线的方程为 A 2 8yx B 2 12yx C 2 20yx D 2 16yx 5 不论k取值何值 直线 2 yk xb 与曲线 22 1xy 总有公共点 则实数b的取 值范围是 B A 3 3 B 3 3 C 2 2 D 2 2 6 2008 年浙江 已知 12 FF 为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点 过 1 F的直线交椭圆于 用心 爱心 专心 AB 两点 若 22 12F AF B 则AB 8 7 2008 上海理科 某海域内有一孤岛 岛四周的海平面 视为平面 上有一浅水区 含 边界 其边界是长轴长为 2a 短轴长为 2b的椭圆 已知岛上甲 乙导航灯的海拔高度 分别为h1 h2 且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上 现有船只 经过该海域 船只的大小忽略不计 在船上测得甲 乙导航灯的仰角分别为 1 2 那么船只已进入该浅水区的判别条件是 h1cot 1 h2cot 2 2a 8 2008 辽宁文科 在平面直角坐标系xOy中 点P到两点 0 3 0 3 的 距离之和等于 4 设点P的轨迹为C 写出C的方程 设直线y kx 1 与C交于A B两点 k为何值时 OBOA 此时 AB 的