数值分析实验报告matlab

1 / 31数值分析实验报告 matlab实验 多项式差值的振荡现象 一、实验内容 设区间-1,1上函数 2in f(x)? 11?25x 2 ，考虑区间-1,1的一个等距划分，分点为 n xi?1? ，i=0,1,2,.,n，则拉格朗日插值多项式为 Ln ?2 / 31 ? i?0 11?25xi 2 li(x) .其中， li(x)，i=0,1,2,.,n 是 Lagrange插值基函数. 1) 选择不断增大的分点数目 n=2,3,.，画出原函数 f(x)及插值多项式函数 Ln(x) 在-1,1上的图像，比较并分析实验结果. 2) 选择其他的函数，例如定义在区间-5,5上的函数 h(x) x1?x 3 / 314 ，g(x) ?arctanx ， 重复上述的实验看其结果如何. 二、实验程序 function chapter2 promps=请选择试验函数，若选 f(x)，请输入 f，若选好 h(x)，请输入 h，若选 g(x)，请输入 g：; result=inputdlg(promps,charpt 2,1,f); Nb_f=char(result); if(Nb_f=f&Nb_f=h&Nb_f=g) errordlg(试验函数选择错误！); return; end result=inputdlg(请输入插值多项式的次数 N：,charpt_2,1,10); Nd=str2num(char(result); 4 / 31if(Nd errordlg(插值多项式的次数输入错误！); return; end switch Nb_f casef f=inline(1./(1+25*x. );a=-1;b=1; caseh f=inline(x./(1+x.);a=-5;b=5; caseg f=inline(atan(x);a=-5;b=5; end x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0); x=a:b;y=Lagrange(x0,y0,x); clf; fplot(f,a b,rx); hold on; plot(x,y,b-); xlabel(x);ylabel(y=f(x) x and y=Ln(x) -); 函数 function y=Lagrange(x0,y0,x) n=length(x0); 5 / 31m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0; for k=1:n p=; for j=1:n if (j=k) p=p.*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end 三、实验结果及分析 1)选择不断增大的分点数目 n，原函数 f(x)及插值多项式函数 Ln(x)在-1,1上的 图像。 1 随着提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数的增加，在区间两端点附近与原函数偏离很远，即出现了 Runge现象。 2) 选择不断增大的分点数目 n，原函数 h(x)及插值多项式函数 Ln(x)在-1,1上的图像。6 / 31 2 选择不断增大的分点数目 n，原函数 g(x)及插值多项式函数 Ln(x)在-1,1上的图像。 3 同样，随着提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数的增加，在区间两端点附近与原函数偏离很远，即出现了 Runge现象。 4 学 生 实 验 报 告 实验课程名称 数值分析 开课实验室 数学与统计学院实验室 学 院 数学与应用数学专业班 7 / 31学 生 姓 名 学 号 开 课 时 间 2016 至 2016 学年第 一 学期 1 2 3 4 实验 多项式插值的震荡现象 问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然 Lagrange插值中使 用的节点越多，插值多项式的次数越高，我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间-1,1上函数 8 / 31f(x)? 11?25x2in 2 . 实验内容：考虑空间-1,1的一个等距划分，分点为 xi?1?则拉格朗日插值多项式为 n ， i?0，1,2 .,n, Ln(x)? ?1?25x i?0 1 9 / 312i (x). 其中，li(x),i?0,1,2,.,n 是 n次 Lagrange插值基函数。 实验要求： 选择不断增大的分点数目 n?2,3,.,画出原函数 f(x)及插值多项式函数 Ln(x)在-1,1上的图像，比较并分析实验结果。 选择其他的函数，例如定义在区间-5,5上的函数 h(x)? x1?x 4 , g(x)?arctan(x)， 10 / 31重复上述的实验看其结果如何。 首先编写拉格朗日插值函数的 Matlab实现： Matlab程序为： function y=lagrange(x0,y0,x) %Lagrange插值 n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=; for k=1:n p=; for j=1:n if(j=k) p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end 当函数为 f(x)?Matlab程序为： 11?25x 211 / 31 .时， x=linspace(-1,1,100); y=1./(1+25*x. ); plot(x,y) hold on; for i=2:2:10 x0=linspace(-1,1,i+1); y0=1./(1+25*x0. ); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,r-) hold on end 运行结果： 结果分析： Runge现象 y -1 - 12 / 310x 从图上看到在区间-1，1的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数 Ln(x)与 f(x)偏离的越远，而且出现了振荡现象。 当函数为 h(x)? x1?x 4 ,时 Matlab程序为： x=linspace(-5,5,100); y=x./(1+x.); plot(x,y) hold on; for i=2:2:10 x0=linspace(-5,5,i+1); y0=x0./(1+x0.); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,r-) hold on end 13 / 31运行结果： Runge现象 -5 y -4-3-2-1 0x 12345 结果分析： 从图上看到在区间-5，5的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数 Ln(x)与 h(x)偏离的越远，而且出现了振荡现象。 当函数为 g(x)?arctan(x) 14 / 31x=linspace(-5,5,100); y=atan(x); plot(x,y) hold on; for i=2:2:10 x0=linspace(-5,5,i+1); y0=atan(x0); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,r-) hold on end 运行结果： Runge现象 y -5 -4-3-2-1 0x 12345 15 / 31结果分析： 从图上看到在区间-5，5的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数 Ln(x)与 g(x)偏离的越远，而且出现了振荡现象。 实验 编制以函数xkn 为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作 3次 k?0 多项式二乘拟合。 n *k 取权数 wi1，求拟合曲线?ak 平方误差?，并作离散数据xi,yix 中的参数ak、 k?0* 16 / 31的拟合函数 y?(x)的图像。 Matlab 程序如下： x0=-1:2; y0=- - - ; alph=polyfit(x0,y0,n);%ployfit为最小二乘拟合函数，alph为系数，主要用于方便矩阵的存取，其基本元素是无须定义维数的矩阵.MATLAB 自问世以来,就是以数值计算称.MATLAB进行数值计算的基本单位是复数数组，这使得MATLAB高度“向量化”.经过十几年的完善和扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具.由于它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的.MATLAB 中包括了被称作工具箱的各类应用问题的求解工具.工具箱实际上是对 MATLAB进行扩展应用的一系列 MATLAB函数，它可用来求解各类学科的问题，包括信号处理、图象处理、控制系统辨识、神经网络等.随着MATLAB版本的不断升级，其所含的工具箱的功能也越来越丰富，因此，应用范围也越来越广泛，MATLAB 提供的工具箱已覆盖信号处理、系统控制、统计计算、优化计算、神17 / 31经网络、小波分析、偏微分方程、模糊逻辑、动态系统模拟、系统辨识和符号运算等领域.当前它的使用范围涵盖了工业、电子、医疗、建筑等各行各业.MATLAB 中包括了图形界面编辑 GUI，让使用者也可以象 VB、VC、VJ、DELPHI 等那样进行一般的可视化的程序编辑.在命令窗口键入simulink，就出现(SIMULINK) 窗口.以往十分困难的系统仿真问题，用 SIMULINK只需拖动鼠标即可轻而易举地解决问题，这也是近来受到重视的原因所在. MATLAB 语言由美国 The MathWorks 开发,最早是由用Fortran语言编写的，用来方便地调用 LINPACK和 EISPACK矩阵代数软件包的程序.后来他创立了 MATHHWORKS公司，对 MATLAB作了大量的、坚持不懈的改进.Cleve 是 The MathWork公司的主席和首席科学家.曾任密歇系教授.他在两个计算机硬件制造商 Intel公司的 Hypercube组织和Arden Computers 公司工作了五年.他的主要专业兴趣在于数值分析和科学计算.他是 MATLAB软件的创始者，也是著名的矩阵计算软件包 LINPACK和 EISPACK的著作这一，已撰写了三本有相关数值方法的教材.同时，他在 SIAM历任期刊编辑、委员会成员和副总裁，并从 1996年开始担任理事会成员. 18 / 312. Matlab入门知识 Matlab变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多 63个字符.在 MATLAB中，变量名区分字母的大小写. 赋值语句: 变量=表达式 或 表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵. clear命令用于删除 MATLAB工作空间中的变量.who 和 whos这两个命令用于显示在 MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单.who 命令只显示出驻留变量的名称，whos 在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息. 利用 MAT文件可以把当前 MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下 来，扩展名是.文件的生成和装入由 save和 load命令来完成.常用格式为：19 / 31 save 文件名 变量名表 -append-ascii load 文件名 变量名表 -ascii 其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat 文件进行操作.变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可