数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告

1 / 28数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi?i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系 y?F?x?。由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点 xi 上误差而只要求所在所有给定点 xi 上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。若记?0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。2T作为误差度量的标准。F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果 F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称2 / 28为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定 S?x?的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定 S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的?22都考虑为加权平方和22?3 / 28?xi?S?xi?f?xi?i?0m2这里?xi?0 是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。 ?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y 与时间 t 的拟合曲线。本题要求我们用?t?a1t?a2t2?a3t3 对曲线进行拟合，这里m?11,?1?t,?2?t2,?3?t3,故4 / 28?1,?1?ti?0112i?12650,?1,?2?2,?1?ti3?544500,i?01111?2,?2?ti?0114i5 / 28?24983750,?1,?3?3,?1?ti4?24983750,i?0115i?3,?2?2,?3?ti?011?1193362500,?3,?3?ti6?58593218750i?01111?1,y?tiyi?,?2,y?ti2yi?,6 / 28i?0i?0?3,y?ti3yi?i?011由于?,?akjj?0n7 / 28j?dj?k?0,1,?,n?, 可以利用此式算出拟合曲线的 ai，即 ?1,?1?1,?2?1,?3?a1?1,y1?,?,?,?a?,y?2122?22? 23?2?,?,?,?a?,y?31?32?33?3?33?所以求得5，a1?2.?6?61a02?10?7，a3?10?9，?t?10?5t?10?7t2?10?9t3，误差为?8 / 28i?yi?ti?i?0,1,?11?max?i?下图可见实际测出值与拟合值的差别，下表可见拟合出的每一点的误差以及均方误差。t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55y 0 拟合值 0 误差 0 - - - - -误差平方均方误差 三、结构程序设计9 / 28在本题使用 Visual Studio c# .NET 编译程序。/在窗体的 Load 事件里调用 InitialDeal 和 Deal 函数来处理数据。 private void ResultReport_Load(object sender, e) (); (); /初始化各个变量。private void InitialDeal() int i = 0; while( 0) ti+ = (0,(“,”) * tUnit; tString = (0,(“,”) + 1); num = i; i = 0; while( 0) yi+ = (0,(“,”) * yUnit; yString = (0,(“,”) + 1); i = 0; while(i a23 += yi*yi*yi*yi*yi; i+; a32 = a23; = (“#.00E0;(#.00E0);”); = (“#.00E0;(#.00E0);”); i = 0; while(i /进行最小二乘法处理。 private void Deal() double ab11,ab12,ab13,ab21,ab22,ab23,ab31,ab32,ab33 = 0; double aDiterminal = 0; aDiterminal = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a23*a32*a11 - a12*a21*a33;10 / 28数值分析实验报告课题八： 曲线拟合的最小二乘法姓 名: 学 号： 专 业： 学 院：一、实验课题:曲线拟合的最小二乘法从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间 t 的拟合曲线。二、理论意义和实用价值。如果已知函数 f(x)在若干点 xi(i=1,2,n)处 的值 yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为 f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节11 / 28点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一些测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。所以我们设想:在大量的随机数据 X（X1、X2、X3Xn)与 Y(y1、y2、yn),从看似无规律的这两组离散数据中，找到一条一条曲线 Y=F(x),使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是曲线拟合最小二乘法。 在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。此外，由于实验或观测提供的数据个数往往很多，如果用插值法，势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很麻烦，缺乏实用价值，所12 / 28以从某些意义上来说,在解决实际问题的过程中，曲线拟合更具有实用价值。三、计算过程将给定数据作散点图，始图所示，选择形如 S1(X)=a1(x)+a2(x2)+a3(x3)作为拟合曲线，这里? x =span(1,x,x2,x3)设 f(x)?Ca,b, ?span?0,?,?n?Ca,b， ?0,?,?n 是正交函数族，则*?(f,?0)?a0 ?(?0,?0)?*?(f,?)?(?1,?1) ?1? ?a1? ? ? ?*? ?(?,?)(f,?)ann?n?n?13 / 28* ak?(f,?k)/(?k,?k), ()nn(f,?k)* sn(x)?ak?k(x)?k(x). ()2k?0k?0|k|2 均方误差 |?(x)|? |f(x)?s*(x)|?(f(x)?s*(x),f(x)1/2n2n2n?(f,?k)(f,?k)214 / 28?(f,f)?(?,f)?|f|?k222? ?k?0|?k|2k?0|?k|2?根据以上公式求出：a0= a1=- ，a2= a3=nn122?. ?12所求的拟合曲线为 S1(X)=-+若取 S2(X)=a0+a1(x)+a2(x2)求出 a0=- a1= ，a2= 所求的 S2(X)=-+15 / 28四、曲线拟合图五、结构程序设计x=0:5:55y=0 ; xnum=length(x); plot(x,y,o),hold on;pi=polyfit(x,y,3) pj=polyfit(x,y,2) newx=0:55;newyi=polyval(pi,newx); newyj=polyval(pj,newx);yi=polyval(pi,x) yj=polyval(pj,x)erri=yi-yerrj=yj-yplot(x,erri,.r),hold on; plot(x,errj,*b),hold on;16 / 28S_erri=sum(erri. ) S_errj=sum(errj. )plot(newx,newyi,r,newx,newyj,b),grid off,hold off;x =0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 pi =- pj =- yi =Columns 1 through 8Columns 9 through 12yj =Columns 1 through 817 / 28Columns 9 through 12erri =Columns 1 through 8- - Columns 9 through 12- - - errj =数学与信息工程学院实课程名称：实 验 室：实验台号：班 级：18 / 28姓 名：实验日期： 验 报 告 数值分析 2016 年 4 月 13 日东华理工大学理学院数值分析实验报告123曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi?i?0,1,2,m?中，19 / 28寻找自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系 y?F?x?。由于观测数据往往不准确，因此不要求 y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点 xi 上误差而只要求所在所有给定点 xi 上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,就是要求向量?的范数若记?0,?1,?2,m?按某种标准最小。,?m?，2T如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。作为误差度量的标准。F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果 F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。最20 / 28小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定 S?x?的形式。这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定 S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的?22都考虑为加权平方和22?xi?S?xi?f?xi?21 / 28i?0m2这里?xi?0 是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。 ?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y 与时间 t 的拟合曲线。本题要求我们用?t?a1t?a2t2?a3t3 对曲线进行拟合，这里m?11,?1?t,?2?t2,?3?t3,故?1,?1?t22 / 28i?0112i?12650,?1,?2?2,?1?ti3?544500,i?01111?2,?2?ti?0114i?24983750,?1,?3?3,?1?ti4?24983750,23 / 28i?0115i?3,?2?2,?3?ti?011?1193362500,?3,?3?ti6?58593218750i?01111?1,y?tiyi?,?2,y?ti2yi?,i?024 / 28i?0?3,y?ti3yi?i?011由于?,?akjj?0nj25 / 28?dj?k?0,1,n?, 可以利用此式算出拟合曲线的 ai，即?1,?1?1,?2?1,?3?a1?1,y1?,?,?,?a?,y?2122?22? 23?2?,?,?,?a?,y?31?32?33?3?33?所以求得5，a1?2.?6?61a02?10?7，a3?10?9，?t?10?5t?10?7t2?10?9t3，误差为?i?yi?ti?i?0,1,11?26 / 28max?i?下图可见实际测出值与拟合值的差别，下表可见拟合出的每一点的误差以及均方误差。t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55y 0 拟合值 0 误差 0 - - - - -误差平方0 均方误差 三、结构程序设计27 / 28在本题使用 Visual Studio c# .NET 编译程序。/在窗体的 Load 事件里调用 I