2011高考数学总复习 8.3 抛物线夯实基础 大纲人教版

1 8 38 3 抛物线抛物线 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 抛物线的定义 平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点为抛物线的焦点 定直线为抛物线的准线 2 抛物线的标准方程及几何性质 标准方程 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 图形 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 轴对称轴 y 0对称轴 y 0对称轴 x 0对称轴 x 0 焦点F 2 p 0 F 2 p 0 F 0 2 p F 0 2 p 准线x 2 p x 2 p y 2 p y 2 p 离心率 e 1e 1e 1e 1 M x0 y0 焦半径 MF x0 2 p MF x0 2 p MF y0 2 p MF y0 2 p 二 点击双基二 点击双基 1 北京春季高考 在抛物线 y2 2px 上 横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5 则 p 的值为 A 2 1 B 1 C 2 D 4 解析 抛物线的准线方程为 x 2 p 由抛物线的定义知 4 2 p 5 解得 p 2 答案 C 2 设 a 0 a R 则抛物线 y 4ax2的焦点坐标为 A a 0 B 0 a C 0 a16 1 D 随 a 符号而定 解析 化为标准方程 答案 C 3 以抛物线 y2 2px p 0 的焦半径 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系为 A 相交 B 相离 C 相切 D 不确定 解析 利用抛物线的定义 答案 C 4 以椭圆 25 2 x 16 2 y 1 的中心为顶点 以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于 A B 两点 则 AB 的值为 2 解析 中心为 0 0 左准线为 x 3 25 所求抛物线方程为 y2 3 100 x 又椭圆右准线方程 为 x 3 25 联立解得 A 3 25 3 50 B 3 25 3 50 AB 3 100 答案 3 100 5 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在 y 轴上 焦点在 x 轴上 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6 抛物线的通径的长为 5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 能使这抛物线方程为 y2 10 x 的条件是 要求填写合适条件的序号 解析 由抛物线方程 y2 10 x 可知 满足条件 答案 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线 x 2y 4 0 上 剖析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p 从实际分析 一般 需确定 p 和开口方向两个条件 否则 应展开相应的讨论 解 1 设所求的抛物线方程为 y2 2px 或 x2 2py p 0 过点 3 2 4 2p 3 或 9 2p 2 p 3 2 或 p 4 9 所求的抛物线方程为 y2 3 4 x 或 x2 2 9 y 前者的准线方程是 x 3 1 后者的准线方程是 y 8 9 2 令 x 0 得 y 2 令 y 0 得 x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 2 p 4 p 8 此时抛物线方程 y2 16x 焦点为 0 2 时 2 p 2 p 4 此时抛物线方程为 x2 8y 所求的抛物线的方程为 y2 16x 或 x2 8y 对应的准线方程分别是 x 4 y 2 讲评 本题考查抛物线的标准方程 易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论 先入为主 设定一种形式的标准方程后求解 以致失去一解 例 2 如图所示 直线 l1和 l2相交于点 M l1 l2 点 N l1 以 A B 为端点的曲线段 C 上 任一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等 若 AMN 为锐角三角形 AM 17 AN 3 且 NB 6 建立适当的坐标系 求曲线段 C 的方程 3 剖析 由题意所求曲线段是抛物线的一部分 求曲线方程需建立适当的直角坐标系 设出抛 物线方程 由条件求出待定系数即可 求出曲线方程后要标注 x y 的取值范围 解 以直线 l1为 x 轴 线段 MN 的垂直平分线为 y 轴 建立直角坐标系 由条件可知 曲线段 C 是以点 N 为焦点 以 l2为准线的抛物线的一段 其中 A B 分别为曲线段 C 的端点 设曲线段 C 的方程为 y2 2px p 0 xa x xb y 0 其中 xa xb为 A B 的横坐标 p MN 所以 M 2 p 0 N 2 p 0 由 AM 17 AN 3 得 xa 2 p 2 2pxa 17 xa 2 p 2 2pxa 9 联立 解得 xa p 4 代入 式 并由 p 0 解得 1 4 A x p 或 2 2 A x p 因为 AMN 为锐角三角形 所以 2 p xA 故舍去 2 2 A x p 所以 1 4 A x p 由点 B 在曲线段 C 上 得 xb BN 2 p 4 综上 曲线段 C 的方程为 y2 8x 1 x 4 y 0 讲评 本题体现了坐标法的基本思路 考查了定义法 待定系数法求曲线方程的步骤 综合 考查了学生分析问题 解决问题的能力 例 3 已知定点 F 1 0 动点 P 在 y 轴上运动 过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M 并延长 MP 到点 N 且PM PF 0 PM PN 1 求动点 N 的轨迹方程 2 直线 l 与动点 N 的轨迹交于 A B 两点 若OA OB 4 且 46 AB 430 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解 1 设 N x y 由条件易知 P 0 2 y M x 0 代入 PM PN 化简得 y2 4x x 0 4 即为点 N 的轨迹方程 2 设 l 与 y2 4x x 0 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 当 l 与 x 轴垂直时 AB 420 上 得 2 2 2 1 2 1 4 4 xy xy y1y2 2 16x1x2 由 得 y1y2 8 又由 bkxy xy4 2 ky2 4y 4b 0 所以 AB 2 1 2 1 k y