2011届高三数学精品复习之(16)双曲线及其性质

用心 爱心 专心 20112011 届高三数学精品复习之双曲线及其性质届高三数学精品复习之双曲线及其性质 1 方程1 22 n y m x 表示双曲线 mn0 n 0 双曲线的标准方程是 1 22 n y m x a2 m b2 n 焦点在 x 轴上 若 m0 双曲线的标准方程是 1 22 m x n y a2 n b2 m 焦点在 y 轴上 举例 已知k是常数 若双曲线1 25 22 k y k x 的焦距与k的取值无关 则k的取值范 围是 A 25 C 2 k 0 D 0 k 2 解析 方程表示双曲线 k 5 2 k 0 2 k 0 或 0 k5 当 2 k 0 时 方程为 1 52 22 k x k y a2 2 k b2 5 k 则 c2 7 与k无关 当 0 k5 时 方程为 1 25 22 k y k x a2 k 5 b2 k 2 则 c2 2k 7 与k有关 故选 C 巩固 1 若1 12 22 k y k x 表示焦点在 y 轴上的双曲线 则它的半焦距 c 的取值范围 是 巩固 2 双曲线 22 1mxy 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则m A 1 4 B 4 C 4 D 1 4 2 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 关于 x 轴 y 轴 原点对称 P x y 是双曲线上一点 则 x a y R 双曲线的焦准距为 c b2 双曲线的通经 过焦点且垂直于实轴的弦 长为 2 a b2 过焦点的弦中 端点在同一支上时通经最短 端点在两支上时实轴最短 等轴双曲线的离 用心 爱心 专心 心率为2 渐近线方程为xy 反比例函数 x k y 的图象是一个经过旋转的等轴双曲 线 渐近线为两坐标轴 对称轴为直线xy 举例 1 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的中心 右焦点 右顶点 右准线与 x 轴的交点 依次为 O F A H 当 HF 2 3 AF 时 OA HF 的最大值为 解析 HF c b2 AF c a c b2 2 3 c a c ac 2 3 c 2a e 2 OA HF ac b2 e e 1 记 f e e e 1 函数 f e 在 1 2 上递增 f e f 2 2 3 举例 2 已知函数 x y 1 的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹 则这个定长为 解析 双曲线 x y 1 的实轴所在的直线为 y x 实轴与双曲线的交点即顶点为 A1 1 1 和 A2 1 1 2a A1A2 22 此即 定长 注 我们可以再由等轴双曲线的性质得 c 2 进而得该双曲线的焦点坐标为 2 2 2 2 巩固 1 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右准线与两条渐近线交于 A B 两点 右焦点为 F 且 FBFA 0 那么双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 3 32 巩固 2 过双曲线 2x2 y2 2 的右焦点 F 的直线交双曲线于 A B 两点 若 AB 4 则这样 的直线有 条 迁移 已知双曲线1 4 2 2 y x 的实轴 A1A2 虚轴为 B1B2 将坐标系的右半平面沿 y 轴折起 使双曲线的右焦点 F2折至点 F 若点 F 在平面 A1 B1B2内的射影恰好是该双曲线左顶点 A1 则直线 B1F 与平面 A1 B1B2所成角的正切值为 3 熟悉双曲线的渐近线的几何特征 无限接近双曲线但与双曲线不相交 和代数特征 渐 近线方程是双曲线标准方程中的 1 换为 0 平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有 用心 爱心 专心 一个交点 但不相切 体现在代数上 直线方程代入曲线方程得到的是一次方程 已知渐 近线方程为 kxy 则双曲线方程为 222 yxk 其中 是待定的参数 渐近 线不能唯一地确定双曲线 双曲线的焦点到渐近线的距离等于半虚轴长 b 举例 1 双曲线01 22 ytx的一条渐近线与直线012 yx垂直 则双曲线的离心 率为 A 5 B 2 5 C 2 3 D 3 解析 双曲线01 22 ytx的渐近线方程为 0 22 ytx即 y tx t 0 t 2 1 双曲线方程为 1 4 2 2 y x 离心率为 2 5 选B 举例 2 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为60o的 直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 解析 根据双曲线的图形特点知 双曲线渐近线的倾角大于或等于 600时 过焦点且倾斜 角为 600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 于是有 a b 3 c2 a2 3a2 得 e 2 巩固 1 与双曲线1 169 22 yx 有共同渐近线 且过 23 3 A的双曲线的一个焦点到一 条渐近线的距离是 A 4 2 B 22C 4 23 D 2 巩固 2 曲线 C x2 y2 1 x 0 上一点 P a b 到它的一条斜率为正的渐近线的距离为 它的离心率 则 a b 的值是 曲线 C 的左焦点为 F M x y y 0 是曲线 C 上的 动点 则直线 MF 的倾角的范围是 迁移 曲线 C 2 1yx 与直线 y kx 1 有两个不同的公共点 则 k 的取值范围是 4 研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时 往往用定义 关注定义中的 绝对值 由此导 致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的 举例 1 已知向量a 5 x 62 y b 5 x 62 y 双曲线a b 1 上一点 M 到 F 7 0 的 距离为 11 N 是 MF 的中点 O 为坐标原点 则 ON A 2 1 B 2 11 C 2 21 D 2 1 或 2 21 用心 爱心 专心 解析 双曲线方程为 1 2425 22 yx 左支上的点到右焦点 F 7 0 的距离的最小值为 12 M 是双曲线右支上的点 记左焦点为 F 则 MF MF 2a 即 MF 21 在 MFF 中 ON 中位线 ON 2 21 故选 C 注 本题中 若将 M 到 F 7 0 的距离换为 13 将有两 种情况 M 可能在双曲线的右支上 也可能在左支上 举例 2 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x a b 0 两焦点 为 F1 F2 点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点 过 焦点 F2作 F1QF2的平分线的垂线 垂足为 M 则 M 点轨迹是 A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 D 圆的一部分 解析 不妨设 Q 在双曲线的右支 延长 F2M 交 QF1于 P 在 QF1F2中 QM 既是角平分线又是高 故 QP QF2 又 QF1 QF2 2a QF1 QP 2a 即 PF1 2a 在 PF1F2中 MO 是中位线 MO a M 点轨迹是圆的一部分 选 D 巩固 1 已知点 P 在双曲线的左支上 点 M 在其右准线上 F1是双曲线的左焦点 且满足 PMFO OMOP OMOP 1 1 OPOF OPOF 则此双曲线的离心率为 巩固 2 F1 F2分别为双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 左右焦点 P 为双曲线左支上的任 意一点 若 1 2 2 PF PF 最小值为 8a 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 迁移 P 是双曲线1 169 22 yx 的右支上一点 M N 分别是圆 x 5 2 y2 4 和 x 5 2 y2 1 上的点 则 PM PN 的最大值为 A 6 B 7 C 8 D 9 5 研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形 焦点三角形 问题时 在运用定义的同时还经 常用到正 余弦定理 举例 1 双曲线 1 1 2 2 ny n x 的两焦点为 F1 F2 P 在双曲线上 且满足 PF1 PF2 22 n 则 P F1F2的面积为 X Y F1F2 Q M P O 用心 爱心 专心 A 2 1 B 1 C 2 D 4 解析 不妨设 F1 F2是双曲线的左右焦点 P 为右支上一点 PF1 PF2 2n PF1 PF2 22 n 由 解得 PF1 2 n n PF2 2 n n 得 PF1 2 PF2 2 4n 4 F1F2 2 PF1 PF2 又由 分别平方后作差得 PF1 PF2 2 选 B 举例 2 等轴双曲线 x2 y2 a2 a 0 上有一点 P 到中心的距离为 3 那么点 P 到双曲线两个 焦点的距离之积等于 解析 由 平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和 得 2 PF1 2 PF2 2 36 4c2 又 c2 2 a2 得 PF1 2 PF2 2 18 4 a2 而 PF1 PF2 2 a 由 2得 PF1 PF2 9 巩固 1 已知椭圆1 1625 22 yx 与双曲线1 2 2 2 2 n y m x m 0 n 0 具有相同的焦点 F1 F2 设两曲线的一个交点为 Q QF1F2 900 则双曲线的离心率为 巩固 2 双曲线1 169 22 yx 两焦点为 F1 F2 点 P 在双曲线上 直线 PF1 PF2倾斜角之 差为 3 则 PF1F2面积为 A 163B 323C 32D 42 提高 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x a b 0 两焦点为 F1 F2 点 P 为双曲线右支上除顶点 外的任一点 则 PF1F2的内心的横坐标为 A a B c C c a 2 D 与 P 点的位置有关 答案答案 1 巩固 1 1 巩固 2 A 2 巩固 1 A 巩固 2 3 迁移 5 5 3 巩固 1 C 用心 爱心 专心 巩固 2 2 1 4 0 迁移 2 1 4 巩固 1 2 巩固 2 1 3 迁移 D