2011年高考数学真题解析分项版04数列 文

用心 爱心 专心 1 20112011 年高考试题解析数学 文科 分项版年高考试题解析数学 文科 分项版 0404 数列数列 一 选择题一 选择题 1 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 7 7 若数列的通项公式是 则 n a n an g aaa L A 15 B 12 C D 答案 A 命题意图 本题考查数列求和 属中等偏易题 解析 法一 分别求出前 10 项相加即可得出结论 4 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 9 9 数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 A 3 44 B 3 44 1 C 44 D 44 1 答案 A 解析 由题意 得 a2 3a1 3 当 n 1 时 an 1 3Sn n 1 所以 an 2 3Sn 1 得 an 2 4an 1 故从第二项起数列等比数列 则 a6 3 44 5 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 10 10 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一 用心 爱心 专心 2 棵 相邻两棵树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 现将树坑从 1 到 20 依次编号 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小 树苗可以放置的两 个最佳坑位的编号为 A 1 和 20 B 9 和 10 C 9 和 11 D 10 和 11 7 2011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 6 设为等差数列的前项和 若 公差 n S n an 1 1a 2d 则 2 24 An SS k A 8 B 7 C 6 D 5 答案 D 解析 221111 2 1 1 1 2 21 kkkk SSaaakdakdakd 故选 D 2 1 21 244245kkk 1 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 1 1 在等差数列 n a中 2 2a 310 4 aa 则 A 12B 14C 16D 18 答案 D 二 填空题二 填空题 用心 爱心 专心 3 8 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 17 17 若数列中的最大项是第项 则 2 4 3 n n n k k 答案 4 11 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 13 13 设 其中成公比为 q 的等比数 721 1aaa 7531 aaaa 列 成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 642 aaa 答案 3 3 解析 考察综合运用等差 等比的概念及通项公式 不等式的性质解决问题的能力 难题 用心 爱心 专心 4 由题意 23 1212121 112aaa qaa qaa q 2 2222 1 12aqaaqa 而的最小值分别为 1 2 3 3 2 23qa 21222 1 1 1 2aaa aa 3 min 3q 15 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 15 15 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 S2 S6 a4 1 则 a5 答案 1 解析 设等差数列的公差为 d 解方程组得 d 2 a5 a4 d 1 11 1 6 5 26 2 31 adad ad 三 解答题三 解答题 16 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 21 21 本小题满分 14 分 1 已知两个等比数列 满足 nn ba 3 2 1 0 3322111 abababaaa 若数列唯一 求的值 n aa 2 是否存在两个等比数列 使得成公差为 nn ba 44332211 abababab 不0 的等差数列 若存在 求 的通项公式 若存在 说明理由 nn ba 不 2 假设存在这样的等比数列 则由等差数列的性质可得 21 qq 公比分别为 nn ba 用心 爱心 专心 5 整理得 44113322 abababab 11 131231 qaaqbb 要使该式成立 则 或此时数列 1 2 q101 211 qqq0 3131 aabb 22 ab 公差为 0 与题意不符 所以不存在这样的等比数列 33 ab nn ba 17 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 17 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若数列 an 的前 k 项和 Sk 35 求 k 的值 1 8 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 20 20 本题满分 13 分 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M 的价值在使用过程中逐年减少 从第 2 年到第 6 年 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元 从第 7 年开始 每年初 M 的价 值为上年初的 75 I 求第 n 年初 M 的价值 n a的表达式 II 设 12 n n aaa A n 若 n A大于 80 万元 则 M 继续使用 否则须在第 n 年初对 M 更新 证明 须在第 9 年初对 M 更新 解析 I 当6n 时 数列 n a是首项为 120 公差为10 的等差数列 120 10 1 130 10 n ann 当6n 时 数列 n a是以 6 a为首项 公比为 3 4 为等比数列 又 6 70a 所以 6 3 70 4 n n a 用心 爱心 专心 6 因此 第n年初 M 的价值 n a的表达式为 6 120 10 1 130 10 6 3 70 7 4 n n n nn n a an II 设 n S表示数列 n a的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得 当16n 时 1205 1 1205 1 1255 nn Snn nAnn 当7n 时 66 678 6 333 570704 1 780210 444 3 780210 4 nn nn n n SSaaa A n 因为 n a是递减数列 所以 n A是递减数列 又 8 69 6 89 33 780210 780210 4779 44 8280 7680 864996 AA 所以须在第 9 年初对 M 更新 19 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 20 20 本小题共 12 分 已知 n a 是以a为首项 q 为公比的等比数列 n S为它的前n项和 当成等差数列时 求 q 的值 134 S S S 当 m S n S 成等差数列时 求证 对任意自然数也成等差数列 i S m kn ki k k aaa 当成等差数列 则 mni SSS2 nmi SSS 当时 由 得 即 1q 2 nmi SSS 2namaia 2nmi 用心 爱心 专心 7 220 m ki kn k aaaaaa 当时 由 得 1q 2 nmi SSS 1 1 1 2 111 nmi aqaqaq qqq 化简得 20 min qqq 1111 22 2 0 m ki kn kkmin m ki kn k aaaaqaqaqaqqqq 综上 对任意自然数也成等差数列 m kn ki k k aaa 20 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 17 17 本小题满分 12 分 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 n b 中的 245 bbb 求数列的通项公式 n b 数列的前 n 项和为 求证 数列是等比数列 n b n S 5 4 n S 本小题主要考查等差数列 等比数列及其求和公式等基础知识 同时考查基本运算能力 解析 1 设成等差数列的三个正数分别为 a d a a d 依题意 得 a d a a d 15 解得 a 5 所以中的依次为 7 d 10 18 d n b 345 b b b 依题意 有 7 d 18 d 100 解得 d 2 或 d 13 舍去 故的第 3 项为 5 公比为 2 n b 由 即 解得 312 2bb 12 52b 1 5 4 b 所以是以为首项 2 为公比的等比数列 其通项公式为 n b 5 4 13 5 25 2 4 nn n b 2 数列的前 n 项和即 n b 2 5 12 5 4 5 2 124 n n n S 2 5 5 2 4 n n S 用心 爱心 专心 8 所以 1 1 1 2 5 555 2 4 2 5 425 2 4 n n n n S S S 因此是以为首项 公比为 2 的等比数列 5 4 n S 5 2 21 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 20 20 本小题满分 12 分 等比数列中 分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且中的 n a 123 a a a 123 a a a 任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 求数列的通项公式 n a 若数列满足 求数列的前项和 n b 1 ln nnn baa n b2n 2n S 解析 由题意知 因为是等比数列 所以公比为 3 所以数列 123 2 6 18aaa n a 的通项公式 n a 1 2 3n n a 22 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 21 21 本小题满分 13 分 在数 1 和 100 之间插入个实数 使得这个数构成递增的等比数列 将这n2n 个数的乘积记作 再令 2n n T lg nn aT 1n 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前项和 1 tantan nnn baa n bn n S 命题意图 本题考察等比和等差数列 指数和对数运算 两角差的正切公式等基本知 用心 爱心 专心 9 识 考察灵活运用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 由 知 1 tantantan 2 tan 3 nnn baann 1n 又 tan 3 tan 2 tan 3 tan 2 tan1 1tan 2 tan 3 nn nn nn tan 3 tan 2 tan 2 tan 3 1 tan1 nn nn 所以数列的前项和为 n bn tan 12 tan 1 3 tan 22 tan 23 tan 2 tan 3 tan 1 3 tan 12 tan 23 tan 22 tan 3 tan 2 tan1tan1tan1 tan 2 tan3 tan1 n Snn nn n n n 解题指导 做数列题时应优先运用数列的相关性质 本题考察的是等比数列前 n 项积 自然想到等比数列性质 倒序相乘法是借鉴倒 2 211212 10 nnn ttttt t 序相加法得到的 这样处理就避免了对 n 奇偶性的讨论 第二问的数列求和应联想常规的方法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法 而出 现时自然应该联想正切的和角或差角公式 本题只要将这两个知识点有机结合tantan 起来就可以创造性的把问题解决 23 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 20 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设设 b 0 数列数列满足满足 n aba 1 2 1 1 1 n na nba a n n n 1 求数列求数列的通项公式 的通项公式 n a 2 证明 对于一切正整数证明 对于一切正整数 n 12 1 n n ba 解析解析 用心 爱心 专心 10 11 1 11 11 1 1 1 111111 1 11 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1111 1 111 nnnn nnn nnnnn nnnn n nn nnn n a aa nnba nnbnnn BBB aabb aaabb nnnn b aaaa nn na aa bBBB bbbb B AA 解 由题得 令 当时 数列是一个等差数列 当时 数列是一个等比数列 n 1n 1n 1 1 n 1n n 11111111 1111 1 11111 1 1 11 1b 1 111 1 1 111 1 2 11 2 2222 n n n n nn n n n n nn BB bbbbbbb bb B b bbbbb nbnb aa bnb abbbb b baab 1 b 当时 不等式左边右边 1 11 1 11112 21 112 1 b 1b 1 12121 1 1 1 21 1 21 1 21 1 012n 1 1 nn nn nn nnnnnnn n nnnnnnn n nbnb bbb bbb nbbbnbbbbb b nbbbbbbbb b bb b 当时 即证即证 即证 即证 即证 当时 即证 212 2 1 1 1 1 2n 11 1a1 nn nn n n bbb bb bb 即证 利用数学归纳法可以证明 同理当时 不等式成立 综合得对于一切正整数n 2 24 20112011 年高考全国新课标卷文科年高考全国新课标卷文科 17 17 本小题满分 12 分 已知等比数列中 n a 3 1 3 1 1 qa 1 为数列前项的和 证明 n s n an 2 1 n n a s 2 设 求数列的通项公式 nn aaab 32313 logloglog n b 17 分析 1 直接用等比数列通项公式与求和公式 2 代人化简得到等差数列在求其 和 解 1 2 1 3 1 3 1 3 1 1n n n n n a sa 用心 爱心 专心 11 2 1 21 logloglog 2 32313 nn n aaab nn 点评 本题考查等比 等差数列的通项公式与求和公式 注意正确用公式计算 25 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 19 19 本题满分 14 分 已知公差不为 0 的等差数列的首项 n a 为 且 成等比数列 求数列的通项公式 对 1 aaaR 1 1 a 2 1 a 4 1 a n a 试比较 与的大小 nN 2 2 22 111 n aaa 1 1 a 解析 22 214111 2 214 111 3 aa aada ad aaa 1 daa 数列的通项公式 n a 111 1 1 n aandanana 记因为 所以 2 2 22 111 n n T aaa 2 2 n n aa 2 1 111 222 n n T a 11 1 1 22 1 1 2 n a 从而当时 当时 11 1 2 n a 0a 1 1 n T a 0a 1 1 n T a 26 26 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 20 20 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知数列已知数列与与满足满足 且且 n a n b 11 2 1 n nnnn bab a 1 3 1 2 n n bnN 1 2a 求 求的值的值 23 a a 设设 证明证明是等比数列是等比数列 2121nnn caa nN n c 设设为为的前的前 n n 项和项和 证明证明 n S n a 21212 12212 1 3 nn nn SSSS nnN aaaa 解析 由 可得 1 3 1 2 n n bnN 2 1 n n b n 是奇数 是偶数 用心 爱心 专心 12 11 2 1 n nnnn bab a 当 n 1 时 由 得 12 21 aa 1 2a 2 3 2 a 当 n 2 时 可得 23 25 aa 3 8a 证明 对任意 nN 21 212 221 n nn aa 2 221 221 n nn aa 得 即 于是 所以是等比数列 21 2121 3 2 n nn aa 21 3 2 n n c 1 4 n n c c n c 证明 由 知 当且时 1 2a kN 2k 21131532123 kkk aaaaaaaa 2 3 2 2 故对任意 3523 222 k 1 21 2 1 4 32 1 4 k k kN 由 得所以 2121 2 2221 kk k a 21 2 1 2 2 k k a kN 因此 于是 21234212 2 kkk k Saaaaaa 2122kkk SSa 21 1 2 2 k k 故 212 212 kk kk SS aa 21 21 1 2 2 2 k k k 21 2 1 2 2 k k 2 22 12 221 k kk kk 1 1 44 41 kkk k 所以 21212 12212 1 3 nn nn SSSS nnN aaaa 命题意图 本小题主要等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证 能力 综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 27 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 20 20 设 M 为部分正整数组成的集合 数列的首项 前 n 项 n a1 1 a 和为 已知对任意整数 k 属于 M 当 n k 时 都成立 n S 2 knknkn SSSS 1 设 M 1 求的值 2 2 a 5 a 2 设 M 3 4 求数列的通项公式 n a 用心 爱心 专心 13 由 5 6 得 532442421541 222 9 222 10 nnnnnn aadaadaadaad 由 9 10 得 成 54214122321 2 nnnn aaddaddaadd a 2 n n 等差 设公差为 d 在 1 2 中分别取 n 4 n 5 得 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 28 20