2011年高考数学 第四章 第五节三角函数的综合应用

1 同步检测训练同步检测训练 一 选择题 1 2009 福建质检 已知函数 f x 满足 f x f x 且当 x 0 时 f x x cosx 则 f 2 f 3 f 4 的大小关系是 A f 2 f 3 f 4 B f 2 f 4 f 3 C f 4 f 3 f 2 D f 3 f 4 f 2 答案 B 解析 函数 f x 满足 f x f x 则其对称轴为 x 当 x 0 时 f x x cosx f x 1 sinx 0 f x 为增函数 则在 2 上 f x 为减函数 3 与 相距最 近 其函数值最大 2 与 相距最远 其函数值最小 则 f 2 f 3 f 4 的大小关系是 f 2 f 4 0 x R 对定义域内的任意 x 都满足条件 f x f x 1 f x 2 若 A sin x 9 B sin x 9 则有 A A B B A B C A B D A0 x R 对定义域内的任意 x 都满足条件 f x f x 1 f x 2 也满足条件 f x 1 f x 2 f x 3 两式相加得 f x f x 3 周期为 6 又 A sin x 9 sin x 9 B sin x 9 sin x 9 它们相差 3 个周期 则有 A B 故选 B 4 2009 江西五校 4 月 若对可导函数 f x g x 当 x 0 1 时恒有 f x g x f x g x 若已知 是一锐角三角形的两个内角 且 记 F x g x 0 f x g x 则下列不等式正确的是 A F sin F sin C F cos F cos D F cos F cos 答案 A 解析 F x g x 0 F x sin cos F sin 2 2 F cos 故选 A 5 2008 北京丰台 若 f x 2cos2x sin2x a a 为实常数 在区间上的最小值为 3 0 2 4 则 a 的值为 A 4 B 3 C 4 D 6 答案 C 解析 f x 2cos2x sin2x a 1 cos2x sin2x a 1 a 2sin 33 2x 6 2 当 k x k k Z 时函数为增函数 当 k x k k Z 时函数为减函 3 6 6 2 3 数 在区间上的最小值 f 1 a 2sin a 4 故选 C 0 2 2 2 2 6 6 设两个向量 a 2 2 cos2 和 b 其中 m 为实数 若 m m 2 sin a 2b 则 的取值范围是 m A 6 1 B 4 8 C 1 D 1 6 答案 A 解析 2b 2m m 2sin 2 2m 2 cos2 m 2sin 2m 2 2 m cos2 2sin 即 4m2 9m 4 1 sin2 2sin 又 2 1 sin2 2sin 2 2 4m2 9m 4 2 解得 m 2 4 1 4 1 2 1 m 又 2m 2 2 m 2 m 6 2 1 故选 A 2 m 7 如右图 l1 l2 l3是同一平面内的三条平行直线 l1与 l2间的距离是 1 l2与 l3间的距 离是 2 正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 l2 l3上 则 ABC 的边长是 A 2 B 3 4 6 3 C D 3 17 4 2 21 3 答案 D 解析 设其边长为 a AB 与 l2 的夹角为 易知 1 asin 2 asin 60 于是 cos sin 0 tan cos sin a 故选 D 3 2 5 2 3 5 1 sec 5 2 7 3 2 7 2 7 3 2 21 3 8 若 0 x 则下列命题中正确的是 2 A sinx x 3 3 C sinxx2 4 2 4 2 答案 D 3 解法一 特殊值法 令 x sin x2 排除选项 A B C 故选 D 6 6 1 2 4 2 1 9 解法二 f x sinx f x cosx 3x 3 g x sinx g x cosx x 4x2 2 8 2 当 x 时 f x 先正后负 f x 先增后减 0 2 f 0 0 f 1 0 0 2 g 0 g 0 0 g 0 2 4 2 g x 在恒大于 0 故选 D 0 2 二 填空题 9 若 x 则函数 y 的值域是 4 3 2sin x f 6 cosx 答案 1 4 3 解析 tanx 1 x 2sinxcos 6 2cosxsin 6 cosx3 4 3 1 tanx y 1 4 33 10 2008 湖北五市联考 若函数 f x 1 cosx 10 1 cosx 10 x 0 则其最大 值等于 答案 210 或 1024 解析 由二项式定理可得 f x C010cos0 x C110cos1x C1010cos10 x C010cos0 x C110cos1x C210cos2x C1010cos10 x 2 C010cos0 x C210cos2x C1010cos10 x 所以 f x 的最大值为 2 C010 C210 C1010 210 1024 11 2009 沈阳二测 给出下列命题 函数 y sin x 不是周期函数 函数 y tanx 在定义域内为增函数 函数 y cos2x 的最小正周期为 1 x 2 函数 y 4sin 2x x R 的一个对称中心为 0 3 6 其中正确命题的序号为 答案 解析 对于 函数 y sin x 不是周期函数 则 正确 对于 函数 y tanx 在定义 域内不是单调函数 则 不正确 对于 函数 y cos2x 不是周期函数 则 不正确 1 x 对于 经验证函数 y 4sin 2x x R 的一个对称中心为 0 则 正确 综上所 3 6 4 述 应填 三 解答题 12 已知函数 f x sin 2x 2sin2 x x R 3 6 12 求函数 f x 的最小正周期 求使函数 f x 取得最大值时 x 的集合 解 f x sin 2x 1 cos2 x 3 6 12 2 sin2 x cos2 x 1 3 2 12 1 2 12 2sin 2 x 1 2sin 2x 1 12 6 3 T 2 2 当 f x 取最大值时 sin 2x 1 有 3 2x 2k 即 x k k Z 3 2 5 12 所求 x 的集合为 x R x k k Z 5 12 13 2008 江西 7 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 所对的边长 a 2 tan 3 tan 4 sinBsinC cos2 求 A B 及 b c A B 2 C 2 A 2 解 由 tan tan 4 得 A B 2 C 2 cot tan 4 化简得 4 C 2 C 2 1 sinC 2cos C 2 所以 sinC 又 C 0 1 2 即 C 或 C 6 5 6 由 sinBsinC cos2得 A 2 sinBsinC 1 cos B C 1 2 即 cos B C 1 所以 B C A B C 6 2 3 由正弦定理 得 a sinA b sinB c sinC b c a 2 2 sinB sinA3 1 2 3 2 14 5 如右图 在平面四边形 ABCD 中 AB AD 1 BAD 而 BCD 是正三角形 1 将四边形 ABCD 面积 S 表示为 的函数 2 求 S 的最大值及此时 角的值 解 1 ABD 的面积 S1 1 1 sin sin 1 2 1 2 BDC 是正三角形 则 BDC 的面积 S2 BD2 3 4 而在 ABD 中由余弦定理可知 BD2 12 12 2 1 1 cos 2 2cos 于是四边形 ABCD 面积 S sin 2 2cos 1 2 3 4 S sin 其中 0 3 2 3 2 由 S sin及 0 3 2 3 则 0 0 若该函数图象上的一个最高 2 点坐标为 3 与其相邻的对称中心的坐标是 0 6 12 1 求函数 y Asin x 的解析式 2 理 求函数图象在 x 处的切线方程 4 文 求函数的最小值 并写出函数取得最小值时自变量 x 的集合 解 1 由题意知 A 3 T 1 4 6 12 4 所以 T 2 2 T y 3sin 2x 又由 2 2k k Z 2k k Z 因为 所以 6